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自作問題No.15

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問題

$n$を自然数として、数列$\{a_n\}$$5a_{n+2}=\displaystyle6a_{n+1}-5a_{n},a_1=\frac{3}{5},a_2=2a_1^2-1$、数列$\{b_n\}$$b_n=\sqrt{1-a_n^2}$と定義する。

(1)$|a_n|<1$$0< b_n<1$を示せ。

(2)$5^na_n$$5^nb_n$がそれぞれ整数であることを示せ。

(3)$5^na_n$$5^nb_n$をそれぞれ$5$で割った余りを求めよ。

(4)$a_n$$5$項以上連続して正の値をとることはないことを示せ。

投稿日:20201230

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投稿者

Tokyo Tech 22B理学院 作問サークル(非公式)所属。 主に高校数学の自作問題を投稿します。 まれに問題の解答例、解説を書くこともあります。

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