自作問題No.15

問題

$n$を自然数として、数列$\{a_n\}$を$5a_{n+2}={\displaystyle 6a_{n+1}-5a_n,a_1=\frac{3}{5},a_2=2a_1^2-1}$、数列$\{b_n\}$を$b_n=\sqrt{1-a_n^2}$と定義する。

(1)$|a_n|<1$と$0<b_n<1$を示せ。

(2)$5^n{a}_n$と$5^n{b}_n$がそれぞれ整数であることを示せ。

(3)$5^n{a}_n$と$5^n{b}_n$をそれぞれ$5$で割った余りを求めよ。

(4)$a_n$が$5$項以上連続して正の値をとることはないことを示せ。