【層理論第1回】前層と層

ホモロジー代数,層理論

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はじめに

こんにちは！今年もよろしくお願いします！今回から層理論について説明したいと思います．層という概念は非常に便利で様々な数学に現れる対象で，色々な数学分野を統一的に扱う力を持っています．第1回は前層と層についてお話しします．

前層

前層の定義

層を定義する前に前層というものを定義します．前層は位相空間 $X$ の開集合 $U$ に対して， $U$ 上の函数全体を対応させる対応を抽象化して定義されるものです．函数はより小さな開集合に制限することができました．これと同様により小さな開集合上の函数に制限するというような写像たちを考えることで前層は定義されます．

前層

$X$ を位相空間とする． $X$ 上のアーベル群の前層 $F$ とは次のデータ

$X$ の開集合 $U$ に対してアーベル群 $F (U)$ ，
$X$ の開集合の組 $U \subset V$ に対してアーベル群の準同形 $ρ_{U, V} : F (V) \to F (U)$

が定まっていて以下の条件を満たすことをいう：
(1) 任意の $X$ の開集合 $U$ に対して $ρ_{U, U} = {id}_{F (U)}$ である．
(2) 任意の開集合の三つ組 $U \subset V \subset W$ に対して $ρ_{U, W} = ρ_{U, V} \circ ρ_{V, W}$ ．すなわち次の図式が可換である：
$F (W) ρ_{V, W} ρ_{U, W} F (V) ρ_{U, V} F (U) .$

$F (U)$ の元を $F$ の $U$ 上の切断と呼ぶ． $Γ (U; F) = F (U)$ とも書くことがある． $ρ_{U, V}$ を制限写像とも呼ぶ．誤解がない場合は $s \in F (V)$ に対して $ρ_{U, V} (s)$ を $s |_{U}$ とも書く．

二つ目の条件は $W$ 上の函数を $V$ に制限してからさらに $U$ に制限することは一気に $U$ に制限することと同じだということの類似です．前層 $F$ に関する制限写像であることを強調するために $ρ_{U, V}^{F}$ とも書きます．以下ではアーベル圏に値を取る前層だけを考えるので単に前層と言います．

前層は函手であると見ることもできる．すなわち，位相空間 $X$ に対して圏 $T_{X}$ を対象が $X$ の開集合で
${Hom}_{T_{X}} (U, V) = {\begin{cases} {i : U \to V 包含写像} & (U \subset V) \\ \emptyset & (U ⊄ V) \end{cases}$
と定めると，前層とは $T_{X}$ からアーベル群の圏 $A b$ への反変函手のことである．ここではアーベル群に値を取る前層を考えたが， $A b$ を $R$ 加群の圏・環の圏などに取り替えることで $R$ 加群や環に値を取る前層を考えることもできる．

前層の例

$X$ を位相空間とする．
(i) 任意の $U$ に対して $F (U) = 0$ として制限写像をすべて $ρ_{U, V} = 0$ とすれば， $F$ は前層になる．これを零前層と呼び単に $0$ であらわす．
(ii) $M$ をアーベル群として，任意の開集合 $U$ に対して $F (U) = {f : U \to M ∣ f は U 上の定数函数}$ として制限写像を通常の函数の制限として定めれば， $F$ は前層になる（定数前層と呼ぶこともある）．
(iii) より一般に $x \in X$ に対してアーベル群 $M_{x}$ が定まっているときに $F (U) = \prod_{x \in U} M_{x}$ として制限写像を単なる制限とすれば， $F$ は前層になる．
(iv) 開集合 $U$ に対して $C_{X}^{0} (U) = {f : U \to R ∣ f は U 上連続}$ として，制限写像を通常の函数の制限として定めれば $C_{X}^{0}$ は前層になる．
(v) $X$ が $C^{\infty}$ 級多様体であるとする．このとき，開集合 $U$ に対して $C_{X}^{\infty} (U) = {f : U \to R ∣ f は U 上 C^{\infty} 級}$ として，制限写像を通常の函数の制限として定めれば $C_{X}^{\infty}$ は前層になる．
(vi) $X$ が $C$ 内の領域であるとする．このとき，開集合 $U$ に対して $O_{X} (U) = {f : U \to C ∣ f は U 上正則}$ として，制限写像を通常の函数の制限として定めれば $O_{X}$ は前層になる．また $M_{X} (U) = {U 上の有理型函数}$ と定めると $M_{X}$ も前層になる．
(vii) $X = R^{n}$ とする．このとき，開集合 $U$ に対して $L^{1} (U) = {f : U \to R ∣ f は U 上可積分}$ として，制限写像を通常の函数の制限として定めれば $L^{1}$ は前層になる．

前層の間の射を定義しましょう．前層は各開集合にアーベル群が対応するものなので各開集合に対してそれらのアーベル群の間の写像のデータとするのが自然です．さらに前層には制限写像というデータも付いているので，これらと両立するという条件も加える必要があるでしょう．こうして次の定義を得ます．

前層の射

$F, G$ を位相空間 $X$ 上の前層とする．前層の射 $φ : F \to G$ とは， $X$ の開集合 $U$ に対して $φ_{U} : F (U) \to G (U)$ が定まっていて，任意の開集合の組 $U \subset V$ に対して $φ_{U} \circ ρ_{U, V}^{F} = ρ_{U, V}^{G} \circ φ_{V}$ を満たすことをいう．言い換えると前層の射とは前層を函手だとみなしたときの函手間の射（自然変換）である．このように射を定義した $X$ 上の前層全体のなす圏を $PSh (X)$ と書く．

二つの前層の射 $φ, φ^{'} : F \to G$ に対して， $(φ + φ^{'})_{U} := φ_{U} + φ_{U}^{'}$ と定めると $φ + φ^{'}$ は前層の射となります．こうして前層の射の集合に加法が入ります．さらに前層の射 $φ : F \to G$ に対して， $K (U) := Ker φ_{U}, I (U) := Im φ_{U}$ と定めると，これらは前層になることが確認できます．これらを核と像と定めることで $PSh (X)$ はアーベル圏をなすことが分かります．核と像の定義から前層の射の列 $F \overset{φ}{\to} G \overset{ψ}{\to} H$ が完全であることは，任意の $X$ の開集合 $U$ に対して $F (U) \overset{φ_{U}}{\to} G (U) \overset{ψ_{U}}{\to} H (U)$ が完全であることと同値です．

前層の茎

点がある普通の空間で前層を扱う際に便利な茎という概念を導入します．

前層の茎

$F$ を位相空間 $X$ 上の前層とする． $x \in X$ に対して $x$ の開近傍を渡る帰納系 ${F (U), ρ_{U, V}}_{U}$ に関する帰納極限を
$F_{x} := \underset{x \in U}{\lim_{\to}} F (U)$
と書き， $F$ の $x$ における茎と呼ぶ． $x$ の開近傍 $U$ に対して定まる標準的な写像 $F (U) \to F_{x}$ を $ρ_{x, U}$ と書き， $s \in F (U)$ に対して $s_{x} := ρ_{x, U} (s)$ と書く．

$s_{x}$ は $x$ における函数の値 $s (x)$ とは異なります． $s_{x}$ は $x$ 一点の情報だけでなく $x$ の十分小さな近傍の情報も持っています． $x$ からちょっとだけ染み出している感覚です．帰納極限の性質から $x \in X$ に対して任意の $F_{x}$ の元はある $x$ の開近傍 $U$ と $s \in F (U)$ により $s_{x}$ の形にあらわされます．また $s \in F (U)$ が $x \in U$ に対して $s_{x} = 0$ を満たすならば，ある $x$ の $U$ 内の開近傍 $U_{x}$ が存在して $s |_{U_{x}} = 0$ となります．

帰納極限の性質から， $φ : F \to G$ を位相空間 $X$ 上の前層の射とすると任意の $x \in X$ に対して $φ_{x} : F_{x} \to G_{x}$ であって任意の $x$ の開近傍 $U$ に対して $φ_{x} \circ ρ_{x, U}^{F} = ρ_{x, U}^{G} \circ φ_{U}$ が成り立つものが唯一つ存在します．すなわち，次の図式を可換にするものが唯一つ存在します：
$F (U) φ_{U} G (U) F_{x} φ_{x} G_{x} .$
$φ : F \to G, ψ : G \to H$ を前層の射とすると，一意性から任意の $x \in X$ に対して $ψ_{x} \circ φ_{x} = (ψ \circ φ)_{x}$ が分かります．帰納極限は完全性を保つので，任意の $x \in X$ に対して $F \mapsto F_{x}$ は完全函手 $PSh (X) \to A b$ となります．

層

以下では $X$ を位相空間とします．前層にさらに条件を加えて層を定義します．

層の定義

前層は開集合上の函数空間を対応させる対応の類似でした．層はそのクラスの函数に属することが局所的な性質であるような函数空間の対応を抽象化したものです．すなわち，層は前層のうち貼り合わせ条件と呼ばれるものを満たすもののことです．

層

$X$ 上の前層 $F$ が層であるとは次の貼り合わせ条件を満たすことをいう：
任意の開集合 $U$ と任意の $U$ の開被覆 ${U_{i}}_{i \in I}$ 対して， $s_{i} \in F (U_{i}) (i \in I)$ が与えられ任意の $i, j \in I$ に対して $s_{i} |_{U_{i} \cap U_{j}} = s_{j} |_{U_{i} \cap U_{j}}$ を満たすならば， $s \in F (U)$ が一意的に存在して任意の $i \in I$ に対して $s |_{U_{i}} = s_{i}$ を満たす．

テキストによっては貼り合わせ条件は
(S1) $s \in F (U)$ が任意の $i \in I$ に対して $s |_{U_{i}} = 0$ を満たすなら $s = 0$ ．
(S2) $s_{i} \in F (U_{i}) (i \in I)$ が与えられ任意の $i, j \in I$ に対して $s_{i} |_{U_{i} \cap U_{j}} = s_{j} |_{U_{i} \cap U_{j}}$ を満たすならば， $s \in F (U)$ が存在して任意の $i \in I$ に対して $s |_{U_{i}} = s_{i}$ を満たす．
と二つに分解されていることもあります．ちなみに $U = \emptyset$ のとき空な添字集合からなる開被覆を取れば $F (\emptyset) = 0$ であることも分かります．上で見た前層の例たちが層になるかを見てみましょう．

層の例・層にならない前層の例

(i) 零前層 $0$ は層になる． $s_{i}$ たちとして $0$ しか取れないからである． $0$ を零層とも呼ぶ．
(ii) $M$ をアーベル群としたとき $M$ に対応する定数前層は一般には層ではない．例えば $X = {0, 1}$ に離散位相を入れて $M = Z$ とすれば， $U = X$ と $U_{0} = {0}, s_{0} = 0, U_{1} = {1}, s_{1} = 1$ とすれば $s_{0} |_{U_{0} \cap U_{1}} = 0 = s_{1} |_{U_{0} \cap U_{1}}$ だが $X$ 上の定数函数 $s$ で $s |_{U_{i}} = s_{i} (i = 0, 1)$ となるものは取れない．
定数前層の代わりに $M_{X} (U) = {f : U \to M ∣ f は U 上の局所定数函数}$ とすれば $M_{X}$ は層になることが分かる． $M_{X}$ を $M$ に対応する（ $M$ を茎に持つ）定数層と呼ぶ．
(iii) $x \in X$ に対してアーベル群 $M_{x}$ が定まっているときに $F (U) = \prod_{x \in U} M_{x}$ として制限写像を単なる制限として定めた前層 $F$ は層である．
(iv) $C_{X}^{0}$ は層である．局所的に連続な函数を貼り合わせて作った函数も連続だからである．
(v) $X$ が $C^{\infty}$ 級多様体のとき， $C_{X}^{\infty}$ は層である． $C^{\infty}$ 級であるという性質も局所的なものだからである．
(vi) $X$ が $C$ 内の領域のとき， $O_{X}, M_{X}$ は層である．
(vii) $X = R^{n}$ のとき， $L^{1}$ は層ではない．有界領域上の $0$ でない定数函数はその上で可積分だが，貼り合わせて非有界な定数函数を作ると可積分ではないからである．
可積分函数の前層の代わりに $L_{loc}^{1} (U) = {f : U \to R ∣ f は U 上局所可積分}$ とすれば $L_{loc}^{1}$ は層になることが分かる．

上の例で見たように層であるというのはそこに属していることが局所的な条件であるということに対応します．つまり局所的なものを貼り合わせて大域的なものを作れるということを表しているのが層というものなのです．
層に対してすぐ分かる大切な性質として次があります．

$F$ を $X$ 上の層とする． $s, t \in F (U)$ に対して $s = t \Leftrightarrow s_{x} = t_{x} (\forall x \in U)$ である．

差を考えれば $t = 0$ の場合に示せば十分である． $\Rightarrow$ は良い． $s_{x} = 0 (\forall x \in U)$ とすると $x$ の $U$ 内の開近傍 $U_{x}$ が存在して $s |_{U_{x}} = 0$ である． ${U_{x}}_{x \in U}$ は $U$ の開被覆なので $s = 0$ である．

層の間の射は前層の射と同じもので定義しておきます．

層の射

$X$ 上の層 $F, G$ に対して層の射 $φ : F \to G$ とは $F, G$ を前層と見たときの射のことである．このように射を定義した $X$ 上の層全体のなす圏を $Sh (X)$ と書く．

言い換えると $Sh (X)$ は $PSh (X)$ の充満部分圏であるということです．前層のときと同様に射の集合には加法が定義できます．実はアーベル圏にもなるのですが，それは第2回で見ていきましょう．

層化

上で見たように前層であって層ではないものがあります．その際に定数前層に対して定数層を， $L^{1}$ に対して $L_{loc}^{1}$ を与えるような「与えられた前層に一番近い層」を作る操作が欲しくなってきます．このような操作は存在するというのが次の定理です．

層化の存在

$X$ 上の前層 $F$ に対して， $X$ 上の層 $F^{+}$ と前層の射 $θ : F \to F^{+}$ の組 $(F^{+}, θ)$ であって次の条件（普遍性）を満たすものが唯一つ存在する：
任意の $X$ 上の層 $G$ と前層の射 $φ : F \to G$ に対して，層の射 $\tilde{φ} : F^{+} \to G$ が一意的に存在して $φ = \tilde{φ} \circ θ$ を満たす．すなわち，次の図式を可換にする層の射 $\tilde{φ}$ が一意的に存在する：
$F θ φ F^{+} \tilde{φ} G .$
さらに任意の $x \in X$ に対して茎に誘導される射 $θ_{x} : F_{x} \to F_{x}^{+}$ は同形である．

定理中の条件は $F$ からどんな層 $G$ への射も必ず層 $F^{+}$ を通って行けということを言っているので，この意味で「 $F$ に一番近い層」と言えるのです．また，普遍性から $F$ が層なら $F^{+} ≃ F$ となります．

概略

$[F]$ を茎を並べて作った層 $[F] (U) = \prod_{x \in U} F_{x}$ を考える（これは一般的な記号ではない）．これが層になることは上の例で見た． $F (U) ∋ s \mapsto (s_{x})_{x \in U} \in [F] (U)$ により前層の射 $ε : F \to [F]$ が定まる．この $[F]$ の切断は近くの点でもバラバラに茎の元を対応させて良いので，とんでもなく大きな層である．もっともとの $F$ に近づけるために各点近傍で $F$ の切断でコントロールされているように条件をつけて $F^{+}$ を定義する．つまり
$F^{+} (U) := {f \in [F] (U) ∣ \forall x \in U, \exists V : x の U 内の開近傍, f (y) = s_{y} (\forall y \in V)}$
と定義する． $F^{+}$ を定義するときの条件は局所的だから $F^{+}$ は層になる． $ε$ の像は $F^{+}$ に入るので値域を制限して $θ$ が得られる．定義から各点の近傍では $F$ の切断から来ているものなので $θ_{x}$ が同形はすぐ分かる．普遍性の条件をチェックするために開集合 $U$ と $f \in F^{+} (U)$ に対して ${\tilde{φ}}_{U} (f)$ を定めよう．定義から $U$ の開被覆 ${U_{i}}_{i \in I}$ と $s_{i} \in F (U_{i}) (i \in I)$ で $f (x) = (s_{i})_{x} (x \in U_{i})$ を満たすものが存在する．すると
$(φ_{U_{i}} (s_{i}) |_{U_{i} \cap U_{j}} - φ_{U_{j}} (s_{j}) |_{U_{i} \cap U_{j}})_{x} = φ_{x} ((s_{i} |_{U_{i} \cap U_{j}} - s_{j} |_{U_{i} \cap U_{j}})_{x}) = 0$
であり $G$ は層なので，補題1から $φ_{U_{i}} (s_{i}) |_{U_{i} \cap U_{j}} - φ_{U_{j}} (s_{j}) |_{U_{i} \cap U_{j}} = 0$ である．再び $G$ が層であることを用いればある $t \in G (U)$ が存在して $t |_{U_{i}} = φ_{U_{i}} (s_{i}) (i \in I)$ を満たす． $t$ は ${U_{i}}_{i \in I}$ と $s_{i}$ のとり方によらず $f$ のみによることがチェックできるので ${\tilde{φ}}_{U} (f) := t$ と定めれば良い．作り方から $φ = \tilde{φ} \circ θ$ を満たすことが分かり，射の一意性もやはり補題1を用いれば分かる．

層化

$F$ を $X$ 上の前層とする．上の定理中の条件を満たす層と前層の射の組 $(F^{+}, θ)$ を $F$ の層化，または付随した層と呼ぶ．多くの場合 $θ$ は省略して単に $F^{+}$ を $F$ の層化という．

層化の例

(i) 定数層は定数前層の層化である．
(ii) $L_{loc}^{1}$ は $L^{1}$ の層化である．

このようにして層でない前層が現れても層化することで層を作り出すことができるのです．実は前層の圏をアーベル圏だとみなしたときに出てきた $K$ は層ですが， $I$ は層ではないという問題があります．それでは層としての像をここから作るにはどうすれば良いでしょうか？答えは層化を取ることです！これは次回考えます．

随伴としての層化

層化の普遍性は層の圏から前層の圏への埋め込み函手 $ι : Sh (X) \to PSh (X)$ との随伴ともみなせる．実際， $F \in PSh (X), G \in Sh (X)$ に対して定理2から
${Hom}_{Sh (X)} (F^{+}, G) ≃ {Hom}_{PSh (X)} (F, ι (G))$
は自然同値であることが分かる．