1を表現する

#とは

「こんな見た目の式の値が1なんて！」
をやる(語彙力)

例

$\sqrt[3]{2 + \sqrt{5}} + \sqrt[3]{2 - \sqrt{5}}$
は1になる．
実際，
$x = \sqrt[3]{2 + \sqrt{5}}, y = \sqrt[3]{2 - \sqrt{5}}, t = x + y$
とすると，
$\begin{aligned} x^{3} + y^{3} = 4, x y = - 1 \\ t^{3} = x^{3} + y^{3} + 3 x y (x + y) = 4 - 3 t \\ ∴ (t - 1) (t^{2} + t + 4) = 0 \end{aligned}$
明らかに $t$ は実数なので， $t = 1$ となる．

構成

$x = \sqrt[3]{a + \sqrt{b}}, y = \sqrt[3]{a - \sqrt{b}}$
として， $x + y = 1$ となるように $a, b$ を決定する．
見た目を整える為に $a, b$ は正の整数とする．
すると， $x^{3} + y^{3} = 2 a, x y = \sqrt[3]{a^{2} - b}$
となる．
これより， $(x + y)^{3}$ の展開から，
$1 = 2 a + 3 \sqrt[3]{a^{2} - b}$
であるから， $(1 - 2 a)^{3} = 27 (a^{2} - b)$
展開して， $8 a^{3} + 15 a^{2} - 6 a - 1 - 27 b = 0$
を得る．
$\mod 3$ で考えると $a = 3 k - 1$ であることがわかる．ただし $k$ は正の整数．
これを代入し整理すると， $b = 8 k^{3} - 3 k^{2}$
従って，正の整数 $k$ を用いて，
$1 = \sqrt[3]{3 k - 1 + k \sqrt{8 k - 3}} + \sqrt[3]{3 k - 1 - k \sqrt{8 k - 3}}$
一応，これが1であることを確認しよう．
$x = \sqrt[3]{3 k - 1 + k \sqrt{8 k - 3}}, y = \sqrt[3]{3 k - 1 - k \sqrt{8 k - 3}}, t = x + y$
とし， $x^{3} + y^{3} = 6 k - 2, x y = - (2 k - 1)$
なので， $t^{3} = 6 k - 2 - (6 k - 3) t$
$∴ (t - 1) (t^{2} + t + 6 k - 2) = 0$
ここで， $k$ が正の整数であり， $t$ は明らかに実数なので， $t = 1$