1を表現する

#とは

「こんな見た目の式の値が1なんて！」
をやる(語彙力)

例

$$\sqrt[3]{2+\sqrt5}+ \sqrt[3]{2-\sqrt5}$$
は1になる．
実際，
$x=\sqrt[3]{2+\sqrt5}\ ,\ y=\sqrt[3]{2-\sqrt5}\ , \ t=x+y$
とすると，
$$\begin{align*} &x^3+y^3=4\ ,\ xy=-1\\ &t^3=x^3+y^3+3xy(x+y)=4-3t\\ &\therefore (t-1)(t^2+t+4)=0\\ \end{align*}$$
明らかに$t$は実数なので，$t=1$となる．

構成

$x=\sqrt[3]{a+\sqrt{b}}\ ,\ y=\sqrt[3]{a-\sqrt{b}}$
として，$x+y=1$となるように$a,b$を決定する．
見た目を整える為に$a,b$は正の整数とする．
すると，$x^3+y^3=2a\ ,\ xy=\sqrt[3]{a^2-b}$
となる．
これより，$(x+y)^3$の展開から，
$1=2a+3\sqrt[3]{a^2-b}$
であるから，$(1-2a)^3=27(a^2-b)$
展開して，$8a^3+15a^2-6a-1-27b=0$
を得る．
$\mod 3$で考えると$a=3k-1$であることがわかる．ただし$k$は正の整数．
これを代入し整理すると，$b=8k^3-3k^2$
従って，正の整数$k$を用いて，
$$1=\sqrt[3]{3k-1+k\sqrt{8k-3}}+\sqrt[3]{3k-1-k\sqrt{8k-3}}$$
一応，これが1であることを確認しよう．
$$x=\sqrt[3]{3k-1+k\sqrt{8k-3}}\ ,\ y=\sqrt[3]{3k-1-k\sqrt{8k-3}}\ ,\ t=x+y$$
とし，$x^3+y^3=6k-2\ ,\ xy=-(2k-1)$
なので，$t^3=6k-2-(6k-3)t$
$\therefore (t-1)(t^2+t+6k-2)=0$
ここで，$k$が正の整数であり，$t$は明らかに実数なので，$t=1$

おわりに

この手法で，他の有理数も表現できるが，計算がやや面倒である．
新たな1の表現を考えるかもしれない．