任意の整数は素数である(数学ジョーク)

はじめに

皆さん知っていますか？任意の整数は素数なんですよ？(ただし$0$と$\pm1$は除く)
もっとも簡単な合成数である$6$も実は素数なんです。
え？どういうことかって？
それはこれからお見せしましょう。

環のすり替えトリック

そもそも素数ってなんでしたっけ？

なるほど、じゃあ同型$R\simeq R'$があるとき$R$の素数$p$から次のようにして$R'$の素数を構成できますね。

では任意の整数$n$に対してその素因数$p$を一つ取り、$n=pn'$とすると
$\Z\simeq n'\Z\quad(a\leftrightarrow n'a)$
であるから$\Z$の素数$p$に対して$pn'=n$は$n'\Z$の素数になるじゃあないか。なんてこった。

とまあ、そんなジョークというか小ネタでした。
つまり、例えば$6$は整数環$\Z$の素数ではないけど$2\Z$や$3\Z$の素数ではあるよねという話です。
ちなみに誤解の無いように言っておくと$n\Z$上の掛け算$\otimes$は
$a\otimes b=a\times b\div n\quad$(ただし$\times,\div$は通常の($\Z$上の)掛け算および割り算)
と定義されています。

また同様の議論によって任意の素数$p$は$\frac1p\Z$上の合成数($\frac1p\Z$上の$p$は$\Z$上の$p^2$に対応する)となるので、任意の整数は合成数であるとも言えますね。