任意の整数は素数である(数学ジョーク)

はじめに

　皆さん知っていますか？任意の整数は素数なんですよ？(ただし$0$と$\pm1$は除く)
　もっとも簡単な合成数である$6$も実は素数なんです。
　え？どういうことかって？
　それはこれからお見せしましょう。

環のすり替えトリック

　そもそも素数ってなんでしたっけ？

　なるほど、じゃあ同型$R\simeq R'$があるとき$R$の素数$p$から次のようにして$R'$の素数を構成できますね。

　では任意の整数$n$に対してその素因数$p$を一つ取り、$n=pn'$とおくと
$$\Z\simeq n'\Z\quad(a\leftrightarrow n'a)$$
が成り立つから$\Z$の素数$p$に対して$pn'=n$は$n'\Z$の素数になるじゃあないか。なんてこった。

　とまあ、そんなジョークというか小ネタでした。つまり、例えば$6$は整数環$\Z$の素数ではないけど$2\Z$や$3\Z$(にヘンテコな演算を入れた環)の素数ではあるよねという話です。
　なお誤解の無いように言っておくと$n\Z$上の掛け算$\otimes$は$n$倍写像$\Z\to n\Z$が誘導する演算、つまり
$$a\otimes b=n\times(a/n)\times(b/n)$$
によって定義するものとしました。
　また同様の議論によって任意の素数$p$は$\frac1p\Z$上の合成数($p$倍写像$\frac1p\Z\to\Z$によって$p\in\frac1p\Z$は$p^2\in\Z$に写る)となるので、任意の整数は合成数であるとも言えますね。