任意の整数は素数である(数学ジョーク)

はじめに

　皆さん知っていますか？任意の整数は素数なんですよ？(ただし$0$と$\pm 1$は除く)
　もっとも簡単な合成数である$6$も実は素数なんです。
　え？どういうことかって？
　それはこれからお見せしましょう。

環のすり替えトリック

　そもそも素数ってなんでしたっけ？

　なるほど、じゃあ同型$R\simeq R^{\prime }$があるとき$R$の素数$p$から次のようにして$R^{\prime }$の素数を構成できますね。

　では任意の整数$n$に対してその素因数$p$を一つ取り、$n=p{n}^{\prime }$とおくと
$$\mathbb{Z}\simeq n^{\prime }\mathbb{Z}(a\leftrightarrow n^{\prime }a)$$
が成り立つから$\mathbb{Z}$の素数$p$に対して$p{n}^{\prime }=n$は$n^{\prime }\mathbb{Z}$の素数になるじゃあないか。なんてこった。

　とまあ、そんなジョークというか小ネタでした。つまり、例えば$6$は整数環$\mathbb{Z}$の素数ではないけど$2\mathbb{Z}$や$3\mathbb{Z}$(にヘンテコな演算を入れた環)の素数ではあるよねという話です。
　なお誤解の無いように言っておくと$n\mathbb{Z}$上の掛け算$\otimes$は$n$倍写像$\mathbb{Z}\to n\mathbb{Z}$が誘導する演算、つまり
$$a\otimes b=n\times (a/n)\times (b/n)$$
によって定義するものとしました。
　また同様の議論によって任意の素数$p$は$\frac{1}{p}\mathbb{Z}$上の合成数($p$倍写像$\frac{1}{p}\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}$によって$p\in \frac{1}{p}\mathbb{Z}$は$p^2\in \mathbb{Z}$に写る)となるので、任意の整数は合成数であるとも言えますね。