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$$\newcommand{C}[2]{{{}_{#1}\mathrm{C}_{#2}}} \newcommand{floor}[1]{{\lfloor{#1}\rfloor}} $$

はじめに

共通テストとかで出てきそうなやつを言い換えただけ

問題

Sを求めよ.
$$S=\sum_{k=1}^n\floor{\sqrt{k}}$$

解答

$$\begin{align} S&=\sum_{k=1}^n\sum_{m=1}^\floor{\sqrt{k}}1\\ &=\sum_{1\leq m^2\leq k \leq n}1\\ &=\sum_{m=1}^\floor{\sqrt{n}}(n-m^2+1)\\ &=\floor{\sqrt{n}}(n+1)-\frac{\floor{\sqrt{n}}(\floor{\sqrt{n}}+1)(2 \floor{\sqrt{n}}+1)}6\\ \therefore S&=\frac{\floor{\sqrt{n}}}6(6n-2\floor{\sqrt{n}}^2-3 \floor{\sqrt{n}}+5)\\ \end{align}$$

おわりに

なにこれ

投稿日:2021115

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