和

はじめに

共通テストとかで出てきそうなやつを言い換えただけ

問題

Sを求めよ．
$$S=\sum _{k=1}^n\lfloor \sqrt{k}\rfloor$$

解答

$$\begin{array}{rl}S& =\sum _{k=1}^n\sum _{m=1}^{\lfloor \sqrt{k}\rfloor }1\\ & =\sum _{1\le m^2\le k\le n}1\\ & =\sum _{m=1}^{\lfloor \sqrt{n}\rfloor }(n-m^2+1)\\ & =\lfloor \sqrt{n}\rfloor (n+1)-\frac{\lfloor \sqrt{n}\rfloor (\lfloor \sqrt{n}\rfloor +1)(2\lfloor \sqrt{n}\rfloor +1)}{6}\\ \therefore S& =\frac{\lfloor \sqrt{n}\rfloor }{6}(6n-2{\lfloor \sqrt{n}\rfloor }^2-3\lfloor \sqrt{n}\rfloor +5)\end{array}$$

おわりに

なにこれ