特異点論入門〜これほど簡単な入門記事は多分ない〜part8

$R$-加群の列$M_{\bullet}:\cdots\to M_{i+1}\to M_{i}\to M_{i-1}\to\cdots$が完全(exact)とは、$\Im(M_{i+1}\to M_{i})=\Ker(M_{i}\to M_{i-1})$が成り立つことをいう。($\Im(M_{i+1}\to M_{i})\subset\Ker(M_{i}\to M_{i-1})$が成り立つ時は複体(complex)という。)
また、加群$M$に関する完全列$\cdots\to F_{k}\to F_{k-1}\to\cdots F_{0}\to M\to0$の各$i$で$F_{i}$が自由加群であるとき、$F_{\bullet}\to M\to 0$を$M$の自由分解(free resolution)という

$f_{1},\dots,f_{p}\in R$が正則列(regular sequepce)
$\defa\begin{cases} \igen{f_{1},\dots,f_{p}}M\neq M\\ f_{i}\text{は}M/\igen{f_{1},\dots,f_{i-1}}M\text{の零因子ではない} (i=1,\dots,p) \end{cases}$

環$R$をAbel群として直和分解$R=\oplus_{d=0}^{\infty} R_{d}$する。($R_{d}$が全てAbel群)
積に関して$R_{d}\cdot R_{e}\subset R_{d+e}$であるとき$R$を次数環(graded ring)といい、$R_{d}$の元を斉次元(homogeneous element)という。
$\m:=\oplus_{d>0}R_{d}$を無縁イデアル(irrelevamt ideal)という

環$R$を次数環とする。$R$-加群$M$をAbel群として直和分解$M=\oplus_{d\in \mathbb{Z}} M_{d}$する。($M_{d}$が全てAbel群)
積に関して$R_{d}\cdot M_{e}\subset M_{d+e}$であるときMを次数加群(graded module)といい、$M_{d}$の元を斉次元(homogeneous element)という。

また次数$R$-加群$M=\oplus_{d\in \mathbb{Z}} M_{d}$から次数$R$-加群$N=\oplus_{d\in \mathbb{Z}} N_{d}$への写像$f:M\to N$が次数加群の(または、次数を保つ)準同型とは、$f(M_{d})\subset N_{d}$である加群準同型のことをいう。

次数加群$M=\oplus_{d\in \mathbb{Z}} M_{d}$と整数$l\in\mathbb{Z}$に対して
$M(l)=\oplus_{d\in \mathbb{Z}} M(l)_{d}=\oplus_{d\in \mathbb{Z}} M_{d+l}$
この操作を次数の付け替え(twist)という。

このとき$R$の$l$次斉次元$f$による準同型$\varphi:M\to N$は次数加群としての次数準同型$\varphi:M(-l)\supset M(-l)_{d}\ni F\mapsto fF\in N_{d}\subset N$を誘導する。実際$F\in M(-l)_{d}$は$(d-l)$次であって、$f$を乗じることで$fF$は$d$次になる。

$f_{1},\dots,f_{p}$を斉次元の列とし、$d_{i}=\deg f_{i}$とする。
このときKoszul複体を以下で定義。

• $p=1$のとき
  $K_{\bullet}(f_{1}):0\to K_{1}\overset{f_{1}}{\to}K_{0}\to0$
  ここで$K_{1}=R(-d_{1}), \ K_{0}=R$とし、$f_{i}$を乗じる$R$の次数を保つ準同型になる。
• $p=2$のとき
  $\begin{eqnarray} \begin{array}{l} K_{\bullet}(f_{1}):&0\to &K(-d_{2})_{1}&\overset{f_{1}}{\longrightarrow}&K(-d_{2})_{0}&\to0\\ &&-f_{2}\downarrow&& \ \ \downarrow f_{2}\\ K_{\bullet}(f_{1}):&0\to & \quad K_{1}&\overset{f_{1}}{\longrightarrow}&\quad K_{0}&\to0 \end{array} \end{eqnarray}$
  斜めに二つの複体をくっつけると、
  $$K_{\bullet}(f_{1},f_{2}):0\to K(-d_{2})_{1}\overset{ \begin{eqnarray} \left( \begin{array}{cc} f_{1} \\ -f_{2} \end{array} \right) \end{eqnarray} }{\longrightarrow} K(-d_{2})_{0}\oplus K_{1}\overset{(f_{2}, f_{1})}{\longrightarrow} K_{0}\to0$$
  書き換えると
  $$K_{\bullet}(f_{1},f_{2}):0\to R(-d_{1}-d_{2})\overset{ \begin{eqnarray} \left( \begin{array}{cc} f_{1} \\ -f_{2} \end{array} \right) \end{eqnarray} }{\longrightarrow} R(-d_{2})\oplus R(-d_{1})\overset{(f_{2}, f_{1})}{\longrightarrow} R\to0$$
  ここで新しく
  $K_{2}:=R(-d_{1}-d_{2}), K_{1}:=R(-d_{2})\oplus R(-d_{1}), K_{0}:=R$
  とする。
• $p-1$まで決まったとすると、
  $\begin{eqnarray} \begin{array}{l} K_{\bullet}(f_{1},\dots,f_{p-1}):&0\to &K(-d_{p})_{p-1}&\overset{\partial_{p-1}}{\longrightarrow}\cdots\overset{\partial_{1}}{\longrightarrow}&K(-d_{p})_{0}&\to0\\ &&\quad \downarrow_{(-1)^{p-1}f_{p}}&& \ \ \downarrow_{f_{p}}\\ K_{\bullet}(f_{1},\dots,f_{p-1}):&0\to & \quad K_{p-1}&\overset{\partial_{p-1}}{\longrightarrow}\cdots\overset{\partial_{1}}{\longrightarrow}&\quad K_{0}&\to0 \end{array} \end{eqnarray}$
  斜めに二つの複体をくっつけると、
  $$K_{\bullet}(f):0\to K(-d_{p})_{p-1}\overset{ \begin{eqnarray} \left( \begin{array}{cc} \partial_{p-1} \\ (-1)^{p-1}f_{p} \end{array} \right) \end{eqnarray} }{\longrightarrow} K(-d_{p})_{p-2}\oplus K_{p-1}\to \cdots\to K(-d_{p})_{0}\oplus K_{1}\overset{(f_{p},\partial_{1})}{\longrightarrow} K_{0}\to0$$
  書き換えると、$d=d_{1}+\cdots+d_{p}$として
  $$K_{\bullet}(f_{1},f_{2}):0\to R(-d)\overset{ \begin{eqnarray} \left( \begin{array}{cc} f_{1} \\ -f_{2} \\ f_{3} \\ \vdots \\ (-1)^{p-1}f_{p} \end{array} \right) \end{eqnarray} }{\longrightarrow} R(-d+d_{1})\oplus\cdots\oplus R(-d+d_{p})\to\cdots\to R(-d_{p})\oplus\cdots\oplus R(-d_{1})\overset{(f_{p},\dots,f_{1})}{\longrightarrow} R\to0$$
  ここで新しく
  $K_{p}:=R(-d_{1}-\cdots-d_{p}), \cdots,K_{1}:=R(-d_{p})\oplus\cdots\oplus R(-d_{1}), K_{0}:=R$
  とする。
  参考記事

複体$C_{\bullet}:\cdots\to C_{k}\overset{\partial_{k}}{\longrightarrow} C_{k-1}\to\cdots$に対して
$H_{k}(C_{\bullet})\defe\Ker(\partial_{k})/\Im(\partial_{k+1})$
を$k$次ホモロジー群(homology group)という。
$C_{k}$において完全であることと$k$次ホモロジー群が$0$であることは同値。