(2×3×5×7×11×13)¹⁰の桁数（一橋 2014）のクッソつまらない解法を思いついてしまったのでメモ

こちらの動画 で紹介されていて知った問題です．しかしこの動画より遥かにつまらない解法を思いついてしまったのでメモします．

まずは$2\times3\times5\times7\times11\times13=30030$を求めます．

そして$(3.003\times10^4)^{10}=3.003^{10}\times10^{40}$を評価すればいいことが分かりますがこれ普通に$3.003^{10}$を$2$桁$\times$$2$桁で計算して挟めばいけばいいんじゃねと思いました．つまり
\begin{align*} 3.0^2 &=9.0 \end{align*}

\begin{align*} 3.0^4 &=(3.0^2)^2\\ &=9.0^2\\ &=81 \end{align*}

\begin{align*} 3.0^8 &=81^2\\ &=6561\\ &>6500 \end{align*}

\begin{align*} 3.003^{10} &>3.0^{10}\\ &=3.0^8\times3.0^2\\ &>6500\times9.0\\ &=58500 \end{align*}
で下から抑られて，
\begin{align*} 3.1^2 &=9.61\\ &<9.7 \end{align*}

\begin{align*} 3.1^4 &=(3.1^2)^2\\ &<9.7^2\\ &=94.09\\ &<95 \end{align*}

\begin{align*} 3.1^8 &=(3.1^4)^2\\ &<95^2\\ &=9025\\ &<9100 \end{align*}

\begin{align*} 3.003^{10} &<3.1^{10}\\ &=3.1^8\times3.1^2\\ &<9100\times9.7\\ &=88270 \end{align*}
で上から抑えられました．

まとめると
\begin{gather} 58500<3.003^{10}<88270\\ 58500\times10^{40}<3.003^{10}\times10^{40}<88270\times10^{40}\\ 5.8500\times10^{44}<(2\times3\times5\times7\times11\times13)^{10}<8.8270\times10^{44} \end{gather}

よって$(2\times3\times5\times7\times11\times13)^{10}$は$45$桁です．