(2×3×5×7×11×13)¹⁰の桁数（一橋 2014）のクッソつまらない解法を思いついてしまったのでメモ

こちらの動画 で紹介されていて知った問題です．しかしこの動画より遥かにつまらない解法を思いついてしまったのでメモします．

まずは$2\times 3\times 5\times 7\times 11\times 13=30030$を求めます．

そして$(3.003\times {10}^4{)}^{10}={3.003}^{10}\times {10}^{40}$を評価すればいいことが分かりますがこれ普通に${3.003}^{10}$を$2$桁$\times$$2$桁で計算して挟めばいけばいいんじゃねと思いました．つまり
$$\begin{array}{rl}{3.0}^2& =9.0\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}{3.0}^4& =({3.0}^2{)}^2\\ & ={9.0}^2\\ & =81\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}{3.0}^8& ={81}^2\\ & =6561\\ & >6500\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}{3.003}^{10}& >{3.0}^{10}\\ & ={3.0}^8\times {3.0}^2\\ & >6500\times 9.0\\ & =58500\end{array}$$
で下から抑られて，
$$\begin{array}{rl}{3.1}^2& =9.61\\ & <9.7\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}{3.1}^4& =({3.1}^2{)}^2\\ & <{9.7}^2\\ & =94.09\\ & <95\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}{3.1}^8& =({3.1}^4{)}^2\\ & <{95}^2\\ & =9025\\ & <9100\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}{3.003}^{10}& <{3.1}^{10}\\ & ={3.1}^8\times {3.1}^2\\ & <9100\times 9.7\\ & =88270\end{array}$$
で上から抑えられました．

まとめると
$$\begin{array}{c}58500<{3.003}^{10}<88270\\ 58500\times {10}^{40}<{3.003}^{10}\times {10}^{40}<88270\times {10}^{40}\\ 5.8500\times {10}^{44}<(2\times 3\times 5\times 7\times 11\times 13{)}^{10}<8.8270\times {10}^{44}\end{array}$$

よって$(2\times 3\times 5\times 7\times 11\times 13{)}^{10}$は$45$桁です．