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みゆ🌹の魔法 その4 n乗和の公式を作る裏ワザ

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みゆ🌹の魔法 その4 n乗和の公式を作る裏ワザ

n乗和の公式ってなんだっけ?


こーゆーのです。

$$\sum_{k=1}^{m}k^0=1^0+2^0+3^0+\cdots+m^0=m$$
$$\sum_{k=1}^{m}k^1=1^1+2^1+3^1+\cdots+m^1=\frac{m(m+1)}2$$
$$\sum_{k=1}^{m}k^2=1^2+2^2+3^2+\cdots+m^2=\frac{m(m+1)(2m+1)}6$$
$$\sum_{k=1}^{m}k^3=1^3+2^3+3^3+\cdots+m^3=\frac{m^2(m+1)^2}4$$
$$\sum_{k=1}^{m}k^4=1^4+2^4+3^4+\cdots+m^4=\frac{m(m+1)(2m+1)(3m^2+3m-1)}{30}$$
$$\sum_{k=1}^{m}k^5=1^5+2^5+3^5+\cdots+m^5=\frac{m^2(m+1)^2(2m^2+2m-1)}{12}$$
$$\sum_{k=1}^{m}k^6=1^6+2^6+3^6+\cdots+m^6=\frac{m(m+1)(2m+1)(3m^4+6m^3-3m+1)}{42}$$
$$\sum_{k=1}^{m}k^7=1^7+2^7+3^7+\cdots+m^7=\frac{m^2(m+1)^2(3m^4+6m^3-m^2-4m+2)}{24}$$
$$\sum_{k=1}^{m}k^8=1^8+2^8+3^8+\cdots+m^8=\frac{m(m+1)(2m+1)(5m^6+15m^5+5m^4-15m^3-m^2+9m-3)}{90}$$
$$\sum_{k=1}^{m}k^9=1^9+2^9+3^9+\cdots+m^9=\frac{m^2(m+1)^2(2m^6+6m^5+m^4-8m^3+m^2+6m-3)}{20}$$
$$\sum_{k=1}^{m}k^n=1^n+2^n+3^n+\cdots+m^n=???$$


学校で覚えさせられた方も多いんじゃないでしょうか。でも、もう丸暗記の必要はありません!

とっておきの裏ワザがございます(*´艸`*)


魔法の手順


[準備するもの] みんな大好きパスカルの三角形(適当な段まで)
$$\begin{array}{c} &&&&&&1\\ &&&&&1&&1\\ &&&&1&&2&&1\\ &&&1&&3&&3&&1\\ &&1&&4&&6&&4&&1\\ &1&&5&&10&&10&&5&&1\\ 1&&6&&15&&20&&15&&6&&1\\ &&&&&&\vdots\\ \\ \end{array}$$



右端の $1$ をバッサリ消して、間に「$+$」を埋めます。
:$$\begin{array}{c} &&&&&1\\ &&&&1&+&2\\ &&&1&+&3&+&3\\ &&1&+&4&+&6&+&4\\ &1&+&5&+&10&+&10&+&5\\ 1&+&6&+&15&+&20&+&15&+&6\\ &&&&&&\vdots\\ \end{array}$$


$n$ 段目の和は $2^n-1$ です。が、今はあえてこんな感じにします。
:$$\begin{array}{c} &&&&&1&\textcolor{#e00}=&\textcolor{#e00}1\\ &&&&1&+&2&\textcolor{#e00}=&\textcolor{#e00}2\\ &&&1&+&3&+&3&\textcolor{#e00}=&\textcolor{#e00}3\\ &&1&+&4&+&6&+&4&\textcolor{#e00}=&\textcolor{#e00}4\\ &1&+&5&+&10&+&10&+&5&\textcolor{#e00}=&\textcolor{#e00}5\\ 1&+&6&+&15&+&20&+&15&+&6&\textcolor{#e00}=&\textcolor{#e00}6\\ &&&&&&\vdots\\ \end{array}$$

ここから、各項に重み付けをして等式が成り立つようにしていきましょう。

一段目の $1\textcolor{#e00}{=1}$ については正しいので、すべての段の左から一項目(いっこうめ)を $1$ 倍してあげます。(つまり何もしない)
:$$\begin{array}{c} &&&&&\textcolor{#070}1&\textcolor{#e00}=&\textcolor{#e00}1\\ &&&&\textcolor{#070}1&+&2&\textcolor{#e00}=&\textcolor{#e00}2\\ &&&\textcolor{#070}1&+&3&+&3&\textcolor{#e00}=&\textcolor{#e00}3\\ &&\textcolor{#070}1&+&4&+&6&+&4&\textcolor{#e00}=&\textcolor{#e00}4\\ &\textcolor{#070}1&+&5&+&10&+&10&+&5&\textcolor{#e00}=&\textcolor{#e00}5\\ \textcolor{#070}1&+&6&+&15&+&20&+&15&+&6&\textcolor{#e00}=&\textcolor{#e00}6\\ &&&&&&\vdots\\ \end{array}$$

二段目の $\textcolor{#070}{1}+2\textcolor{#e00}{=2}$ については二項目(にこうめ)を $\frac12$ 倍すれば辻褄が合うので、すべての段の二項目(にこうめ)を $\frac12$ 倍してあげます。
:$$\begin{array}{c} &&&&&\textcolor{#070}1&\textcolor{#e00}=&\textcolor{#e00}1\\ &&&&\textcolor{#070}1&+&\textcolor{#070}{\frac22}&\textcolor{#e00}=&\textcolor{#e00}2\\ &&&\textcolor{#070}1&+&\textcolor{#070}{\frac32}&+&3&\textcolor{#e00}=&\textcolor{#e00}3\\ &&\textcolor{#070}1&+&\textcolor{#070}{\frac42}&+&6&+&4&\textcolor{#e00}=&\textcolor{#e00}4\\ &\textcolor{#070}1&+&\textcolor{#070}{\frac52}&+&10&+&10&+&5&\textcolor{#e00}=&\textcolor{#e00}5\\ \textcolor{#070}1&+&\textcolor{#070}{\frac62}&+&15&+&20&+&15&+&6&\textcolor{#e00}=&\textcolor{#e00}6\\ &&&&&&\vdots\\ \end{array}$$

三段目の $\textcolor{#070}{1}+\textcolor{#070}{\frac32}+3\textcolor{#e00}{=3}$ については三項目(さんこうめ)を $\frac16$ 倍すれば辻褄が合うので、すべての段の三項目(さんこうめ)を $\frac16$ 倍してあげます。
:$$\begin{array}{c} &&&&&\textcolor{#070}1&\textcolor{#e00}=&\textcolor{#e00}1\\ &&&&\textcolor{#070}1&+&\textcolor{#070}{\frac22}&\textcolor{#e00}=&\textcolor{#e00}2\\ &&&\textcolor{#070}1&+&\textcolor{#070}{\frac32}&+&\textcolor{#070}{\frac36}&\textcolor{#e00}=&\textcolor{#e00}3\\ &&\textcolor{#070}1&+&\textcolor{#070}{\frac42}&+&\textcolor{#070}{\frac66}&+&4&\textcolor{#e00}=&\textcolor{#e00}4\\ &\textcolor{#070}1&+&\textcolor{#070}{\frac52}&+&\textcolor{#070}{\frac{10}6}&+&10&+&5&\textcolor{#e00}=&\textcolor{#e00}5\\ \textcolor{#070}1&+&\textcolor{#070}{\frac62}&+&\textcolor{#070}{\frac{15}6}&+&20&+&15&+&6&\textcolor{#e00}=&\textcolor{#e00}6\\ &&&&&&\vdots\\ \end{array}$$


四段目の $\textcolor{#070}{1}+\textcolor{#070}{\frac42}+\textcolor{#070}{\frac66}+4\textcolor{#e00}{=4}$ については四項目(よんこうめ)を $0$ 倍すれば辻褄が合うので、すべての段の四項目(よんこうめ)を $0$ 倍してあげます。(つまり $0$ にする)
:$$\begin{array}{c} &&&&&\textcolor{#070}1&\textcolor{#e00}=&\textcolor{#e00}1\\ &&&&\textcolor{#070}1&+&\textcolor{#070}{\frac22}&\textcolor{#e00}=&\textcolor{#e00}2\\ &&&\textcolor{#070}1&+&\textcolor{#070}{\frac32}&+&\textcolor{#070}{\frac36}&\textcolor{#e00}=&\textcolor{#e00}3\\ &&\textcolor{#070}1&+&\textcolor{#070}{\frac42}&+&\textcolor{#070}{\frac66}&+&\textcolor{#070}{0}&\textcolor{#e00}=&\textcolor{#e00}4\\ &\textcolor{#070}1&+&\textcolor{#070}{\frac52}&+&\textcolor{#070}{\frac{10}6}&+&\textcolor{#070}{0}&+&5&\textcolor{#e00}=&\textcolor{#e00}5\\ \textcolor{#070}1&+&\textcolor{#070}{\frac62}&+&\textcolor{#070}{\frac{15}6}&+&\textcolor{#070}{0}&+&15&+&6&\textcolor{#e00}=&\textcolor{#e00}6\\ &&&&&&\vdots\\ \end{array}$$

五段目の $\textcolor{#070}{1}+\textcolor{#070}{\frac52}+\textcolor{#070}{\frac{10}6}+\textcolor{#070}{0}+5\textcolor{#e00}{=5}$ については五項目(ごこうめ)を $-\frac1{30}$ 倍すれば辻褄が合うので、すべての段の五項目(ごこうめ)を $-\frac1{30}$ 倍してあげます。
:$$\begin{array}{c} &&&&&\textcolor{#070}1&\textcolor{#e00}=&\textcolor{#e00}1\\ &&&&\textcolor{#070}1&+&\textcolor{#070}{\frac22}&\textcolor{#e00}=&\textcolor{#e00}2\\ &&&\textcolor{#070}1&+&\textcolor{#070}{\frac32}&+&\textcolor{#070}{\frac36}&\textcolor{#e00}=&\textcolor{#e00}3\\ &&\textcolor{#070}1&+&\textcolor{#070}{\frac42}&+&\textcolor{#070}{\frac66}&+&\textcolor{#070}{0}&\textcolor{#e00}=&\textcolor{#e00}4\\ &\textcolor{#070}1&+&\textcolor{#070}{\frac52}&+&\textcolor{#070}{\frac{10}6}&+&\textcolor{#070}{0}&+&\textcolor{#070}{-\frac{5}{30}}&\textcolor{#e00}=&\textcolor{#e00}5\\ \textcolor{#070}1&+&\textcolor{#070}{\frac62}&+&\textcolor{#070}{\frac{15}6}&+&\textcolor{#070}{0}&+&\textcolor{#070}{-\frac{15}{30}}&+&6&\textcolor{#e00}=&\textcolor{#e00}6\\ &&&&&&\vdots\\ \end{array}$$

六段目の $\textcolor{#070}{1}+\textcolor{#070}{\frac62}+\textcolor{#070}{\frac{15}6}+\textcolor{#070}{0}+\textcolor{#070}{-\frac{15}{30}}+6\textcolor{#e00}{=5}$ については六項目(ろっこうめ)を $0$ 倍すれば辻褄が合うので、すべての段の六項目(ろっこうめ)を $0$ 倍してあげます。(つまり $0$ にする)
:$$\begin{array}{c} &&&&&\textcolor{#070}1&\textcolor{#e00}=&\textcolor{#e00}1\\ &&&&\textcolor{#070}1&+&\textcolor{#070}{\frac22}&\textcolor{#e00}=&\textcolor{#e00}2\\ &&&\textcolor{#070}1&+&\textcolor{#070}{\frac32}&+&\textcolor{#070}{\frac36}&\textcolor{#e00}=&\textcolor{#e00}3\\ &&\textcolor{#070}1&+&\textcolor{#070}{\frac42}&+&\textcolor{#070}{\frac66}&+&\textcolor{#070}{0}&\textcolor{#e00}=&\textcolor{#e00}4\\ &\textcolor{#070}1&+&\textcolor{#070}{\frac52}&+&\textcolor{#070}{\frac{10}6}&+&\textcolor{#070}{0}&+&\textcolor{#070}{-\frac{5}{30}}&\textcolor{#e00}=&\textcolor{#e00}5\\ \textcolor{#070}1&+&\textcolor{#070}{\frac62}&+&\textcolor{#070}{\frac{15}6}&+&\textcolor{#070}{0}&+&\textcolor{#070}{-\frac{15}{30}}&+&\textcolor{#070}{0}&\textcolor{#e00}=&\textcolor{#e00}6\\ &&&&&&\vdots\\ \end{array}$$

以上の操作をお好きな段まで繰り返したら、残りの段を全部消してこんな風にトッピングするとできあがりっ!
:$$\begin{array}{c} \textcolor{#070}m\textcolor{#e00}~~\textcolor{#e00}{=}~~\displaystyle\textcolor{#e00}{1~~\sum_{k=1}^mk^0}\\ \textcolor{#070}{m^2}~~+~~\textcolor{#070}{\frac22m}\textcolor{#e00}~~\textcolor{#e00}{=}~~\displaystyle\textcolor{#e00}{2~~\sum_{k=1}^mk^1}\\ \textcolor{#070}{m^3}~~+~~\textcolor{#070}{\frac32m^2}~~+~~\textcolor{#070}{\frac36m}\textcolor{#e00}~~\textcolor{#e00}{=}~~\displaystyle\textcolor{#e00}{3~~\sum_{k=1}^mk^2}\\ \textcolor{#070}{m^4}~~+~~\textcolor{#070}{\frac42m^3}~~+~~\textcolor{#070}{\frac66m^2}~~+~~\textcolor{#070}{0m}\textcolor{#e00}~~\textcolor{#e00}{=}~~\displaystyle\textcolor{#e00}{4~~\sum_{k=1}^mk^3}\\ \textcolor{#070}{m^5}~~+~~\textcolor{#070}{\frac52m^4}~~+~~\textcolor{#070}{\frac{10}6m^3}~~+~~\textcolor{#070}{0m^2}~~+~~\textcolor{#070}{-\frac{5}{30}m}\textcolor{#e00}~~\textcolor{#e00}{=}~~\displaystyle\textcolor{#e00}{5~~\sum_{k=1}^mk^4}\\ \textcolor{#070}{m^6}+\textcolor{#070}{\frac62m^5}~~+~~\textcolor{#070}{\frac{15}6m^4}~~+~~\textcolor{#070}{0m^3}~~+~~\textcolor{#070}{-\frac{15}{30}m^2}~~+~~\textcolor{#070}{0m}\textcolor{#e00}~~~~=~~~~\displaystyle\textcolor{#e00}{6~~\sum_{k=1}^mk^5}\\ \vdots \end{array}$$


ちなみに、左辺の合計を右辺に関わらず $0$ になるように重みをつけていくと、二項目は $\frac12$ 倍ではなく $-\frac12$ 倍することになります。不思議なことに、それ以外の項の倍率に変化はなく、そのようにして最後の段まで作った場合の右辺はこうなります。
:$$\begin{array}{c} \textcolor{#070}m\textcolor{#e00}~~\textcolor{#e00}{=}~~\displaystyle\textcolor{#e00}{1~~\sum_{k=0}^{m-1}k^0}\\ \textcolor{#070}{m^2}~~+~~\textcolor{#070}{-\frac22m}\textcolor{#e00}~~\textcolor{#e00}{=}~~\displaystyle\textcolor{#e00}{2~~\sum_{k=0}^{m-1}k^1}\\ \textcolor{#070}{m^3}~~+~~\textcolor{#070}{-\frac32m^2}~~+~~\textcolor{#070}{\frac36m}\textcolor{#e00}~~\textcolor{#e00}{=}~~\displaystyle\textcolor{#e00}{3~~\sum_{k=0}^{m-1}k^2}\\ \textcolor{#070}{m^4}~~+~~\textcolor{#070}{-\frac42m^3}~~+~~\textcolor{#070}{\frac66m^2}~~+~~\textcolor{#070}{0m}\textcolor{#e00}~~\textcolor{#e00}{=}~~\displaystyle\textcolor{#e00}{4~~\sum_{k=0}^{m-1}k^3}\\ \textcolor{#070}{m^5}~~+~~\textcolor{#070}{-\frac52m^4}~~+~~\textcolor{#070}{\frac{10}6m^3}~~+~~\textcolor{#070}{0m^2}~~+~~\textcolor{#070}{-\frac{5}{30}m}\textcolor{#e00}~~\textcolor{#e00}{=}~~\displaystyle\textcolor{#e00}{5~~\sum_{k=0}^{m-1}k^4}\\ \textcolor{#070}{m^6}~~+~~\textcolor{#070}{-\frac62m^5}~~+~~\textcolor{#070}{\frac{15}6m^4}~~+~~\textcolor{#070}{0m^3}~~+~~\textcolor{#070}{-\frac{15}{30}m^2}~~+~~\textcolor{#070}{0m}\textcolor{#e00}~~~~=~~~~\displaystyle\textcolor{#e00}{6~~\sum_{k=0}^{m-1}k^5}\\ \vdots \end{array}$$



まとめ


お気づきの方もおられるかと思いますが、実は各項につけた重み(倍率)はベルヌーイ数です。

もちろん、ベルヌーイ数を知らない方でもこの裏ワザで知らないうちに求められているので心配はいりません^ー^
(実際、私もこれがベルヌーイ数と呼ばれているものだということを知ったのは後からです。)

より厳密には、最初に求めていた方、つまり右辺が $\displaystyle(n+1)\sum_{k=1}^mk^n$ の方の倍率は和算家の関さんとベルヌーイさんがそれぞれ別々に発見した歴史的ベルヌーイ数(関・ベルヌーイ数)$\hat{B}_n$ で、現代数学で一般的に使われるいわゆるベルヌーイ数 $B_n$ とは微妙に違います。(左辺の合計が $0$ になるように求めた方、つまり右辺が $\displaystyle (n+1)\sum_{k=0}^{m-1}k^n$ の方の倍率が $B_n$ です)

$$\begin{align} \displaystyle\sum_{k=1}^mk^n=&\frac1{n+1}\sum_{k=0}^n\binom{n+1}k\hat B_km^{n+1-k}\\ \displaystyle\sum_{k=0}^{m-1}k^n=&\frac1{n+1}\sum_{k=0}^n\binom{n+1}kB_km^{n+1-k} \end{align}$$

両者の違いは $k^m$ を足すか足さないかということですが、値としては $\hat{B}_1=-B_1=\frac12$ となること以外全て $\hat{B}_n=B_n$ です。面白いですね!
投稿日:2021年2月1日

投稿者

https://mathlog.info/articles/323         数学を愛する会 副会長 COO CTO       ガラパゴ数学 開拓者             猫舌・甘党・薄味派

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