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高校数学解説
みゆ🌹の魔法 その４ ｎ乗和の公式を作る裏ワザ
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みゆ🌹の魔法 その４ ｎ乗和の公式を作る裏ワザ
ｎ乗和の公式ってなんだっけ？
こーゆーのです。
$$\sum_{k=1}^{m}k^0=1^0+2^0+3^0+\cdots+m^0=m$$
$$\sum_{k=1}^{m}k^1=1^1+2^1+3^1+\cdots+m^1=\frac{m(m+1)}2$$
$$\sum_{k=1}^{m}k^2=1^2+2^2+3^2+\cdots+m^2=\frac{m(m+1)(2m+1)}6$$
$$\sum_{k=1}^{m}k^3=1^3+2^3+3^3+\cdots+m^3=\frac{m^2(m+1)^2}4$$
$$\sum_{k=1}^{m}k^4=1^4+2^4+3^4+\cdots+m^4=\frac{m(m+1)(2m+1)(3m^2+3m-1)}{30}$$
$$\sum_{k=1}^{m}k^5=1^5+2^5+3^5+\cdots+m^5=\frac{m^2(m+1)^2(2m^2+2m-1)}{12}$$
$$\sum_{k=1}^{m}k^6=1^6+2^6+3^6+\cdots+m^6=\frac{m(m+1)(2m+1)(3m^4+6m^3-3m+1)}{42}$$
$$\sum_{k=1}^{m}k^7=1^7+2^7+3^7+\cdots+m^7=\frac{m^2(m+1)^2(3m^4+6m^3-m^2-4m+2)}{24}$$
$$\sum_{k=1}^{m}k^8=1^8+2^8+3^8+\cdots+m^8=\frac{m(m+1)(2m+1)(5m^6+15m^5+5m^4-15m^3-m^2+9m-3)}{90}$$
$$\sum_{k=1}^{m}k^9=1^9+2^9+3^9+\cdots+m^9=\frac{m^2(m+1)^2(2m^6+6m^5+m^4-8m^3+m^2+6m-3)}{20}$$
$$\sum_{k=1}^{m}k^n=1^n+2^n+3^n+\cdots+m^n=？？？$$
学校で覚えさせられた方も多いんじゃないでしょうか。でも、もう丸暗記の必要はありません！
とっておきの裏ワザがございます(*´艸｀*)
魔法の手順
$$\begin{array}{c} &&&&&&1\\ &&&&&1&&1\\ &&&&1&&2&&1\\ &&&1&&3&&3&&1\\ &&1&&4&&6&&4&&1\\ &1&&5&&10&&10&&5&&1\\ 1&&6&&15&&20&&15&&6&&1\\ &&&&&&\vdots\\ \\ \end{array}$$
右端の $1$ をバッサリ消して、間に「$+$」を埋めます。
:$$\begin{array}{c} &&&&&1\\ &&&&1&+&2\\ &&&1&+&3&+&3\\ &&1&+&4&+&6&+&4\\ &1&+&5&+&10&+&10&+&5\\ 1&+&6&+&15&+&20&+&15&+&6\\ &&&&&&\vdots\\ \end{array}$$
$n$ 段目の和は $2^n-1$ です。が、今はあえてこんな感じにします。
:$$\begin{array}{c} &&&&&1&\textcolor{#e00}=&\textcolor{#e00}1\\ &&&&1&+&2&\textcolor{#e00}=&\textcolor{#e00}2\\ &&&1&+&3&+&3&\textcolor{#e00}=&\textcolor{#e00}3\\ &&1&+&4&+&6&+&4&\textcolor{#e00}=&\textcolor{#e00}4\\ &1&+&5&+&10&+&10&+&5&\textcolor{#e00}=&\textcolor{#e00}5\\ 1&+&6&+&15&+&20&+&15&+&6&\textcolor{#e00}=&\textcolor{#e00}6\\ &&&&&&\vdots\\ \end{array}$$
ここから、各項に重み付けをして等式が成り立つようにしていきましょう。
一段目の $1\textcolor{#e00}{=1}$ については正しいので、すべての段の左から一項目を $1$ 倍してあげます。（つまり何もしない）
:$$\begin{array}{c} &&&&&\textcolor{#070}1&\textcolor{#e00}=&\textcolor{#e00}1\\ &&&&\textcolor{#070}1&+&2&\textcolor{#e00}=&\textcolor{#e00}2\\ &&&\textcolor{#070}1&+&3&+&3&\textcolor{#e00}=&\textcolor{#e00}3\\ &&\textcolor{#070}1&+&4&+&6&+&4&\textcolor{#e00}=&\textcolor{#e00}4\\ &\textcolor{#070}1&+&5&+&10&+&10&+&5&\textcolor{#e00}=&\textcolor{#e00}5\\ \textcolor{#070}1&+&6&+&15&+&20&+&15&+&6&\textcolor{#e00}=&\textcolor{#e00}6\\ &&&&&&\vdots\\ \end{array}$$
二段目の $\textcolor{#070}{1}+2\textcolor{#e00}{=2}$ については二項目を $\frac12$ 倍すれば辻褄が合うので、すべての段の二項目を $\frac12$ 倍してあげます。
:$$\begin{array}{c} &&&&&\textcolor{#070}1&\textcolor{#e00}=&\textcolor{#e00}1\\ &&&&\textcolor{#070}1&+&\textcolor{#070}{\frac22}&\textcolor{#e00}=&\textcolor{#e00}2\\ &&&\textcolor{#070}1&+&\textcolor{#070}{\frac32}&+&3&\textcolor{#e00}=&\textcolor{#e00}3\\ &&\textcolor{#070}1&+&\textcolor{#070}{\frac42}&+&6&+&4&\textcolor{#e00}=&\textcolor{#e00}4\\ &\textcolor{#070}1&+&\textcolor{#070}{\frac52}&+&10&+&10&+&5&\textcolor{#e00}=&\textcolor{#e00}5\\ \textcolor{#070}1&+&\textcolor{#070}{\frac62}&+&15&+&20&+&15&+&6&\textcolor{#e00}=&\textcolor{#e00}6\\ &&&&&&\vdots\\ \end{array}$$
三段目の $\textcolor{#070}{1}+\textcolor{#070}{\frac32}+3\textcolor{#e00}{=3}$ については三項目を $\frac16$ 倍すれば辻褄が合うので、すべての段の三項目を $\frac16$ 倍してあげます。
:$$\begin{array}{c} &&&&&\textcolor{#070}1&\textcolor{#e00}=&\textcolor{#e00}1\\ &&&&\textcolor{#070}1&+&\textcolor{#070}{\frac22}&\textcolor{#e00}=&\textcolor{#e00}2\\ &&&\textcolor{#070}1&+&\textcolor{#070}{\frac32}&+&\textcolor{#070}{\frac36}&\textcolor{#e00}=&\textcolor{#e00}3\\ &&\textcolor{#070}1&+&\textcolor{#070}{\frac42}&+&\textcolor{#070}{\frac66}&+&4&\textcolor{#e00}=&\textcolor{#e00}4\\ &\textcolor{#070}1&+&\textcolor{#070}{\frac52}&+&\textcolor{#070}{\frac{10}6}&+&10&+&5&\textcolor{#e00}=&\textcolor{#e00}5\\ \textcolor{#070}1&+&\textcolor{#070}{\frac62}&+&\textcolor{#070}{\frac{15}6}&+&20&+&15&+&6&\textcolor{#e00}=&\textcolor{#e00}6\\ &&&&&&\vdots\\ \end{array}$$
四段目の $\textcolor{#070}{1}+\textcolor{#070}{\frac42}+\textcolor{#070}{\frac66}+4\textcolor{#e00}{=4}$ については四項目を $0$ 倍すれば辻褄が合うので、すべての段の四項目を $0$ 倍してあげます。（つまり $0$ にする）
:$$\begin{array}{c} &&&&&\textcolor{#070}1&\textcolor{#e00}=&\textcolor{#e00}1\\ &&&&\textcolor{#070}1&+&\textcolor{#070}{\frac22}&\textcolor{#e00}=&\textcolor{#e00}2\\ &&&\textcolor{#070}1&+&\textcolor{#070}{\frac32}&+&\textcolor{#070}{\frac36}&\textcolor{#e00}=&\textcolor{#e00}3\\ &&\textcolor{#070}1&+&\textcolor{#070}{\frac42}&+&\textcolor{#070}{\frac66}&+&\textcolor{#070}{0}&\textcolor{#e00}=&\textcolor{#e00}4\\ &\textcolor{#070}1&+&\textcolor{#070}{\frac52}&+&\textcolor{#070}{\frac{10}6}&+&\textcolor{#070}{0}&+&5&\textcolor{#e00}=&\textcolor{#e00}5\\ \textcolor{#070}1&+&\textcolor{#070}{\frac62}&+&\textcolor{#070}{\frac{15}6}&+&\textcolor{#070}{0}&+&15&+&6&\textcolor{#e00}=&\textcolor{#e00}6\\ &&&&&&\vdots\\ \end{array}$$
五段目の $\textcolor{#070}{1}+\textcolor{#070}{\frac52}+\textcolor{#070}{\frac{10}6}+\textcolor{#070}{0}+5\textcolor{#e00}{=5}$ については五項目を $-\frac1{30}$ 倍すれば辻褄が合うので、すべての段の五項目を $-\frac1{30}$ 倍してあげます。
:$$\begin{array}{c} &&&&&\textcolor{#070}1&\textcolor{#e00}=&\textcolor{#e00}1\\ &&&&\textcolor{#070}1&+&\textcolor{#070}{\frac22}&\textcolor{#e00}=&\textcolor{#e00}2\\ &&&\textcolor{#070}1&+&\textcolor{#070}{\frac32}&+&\textcolor{#070}{\frac36}&\textcolor{#e00}=&\textcolor{#e00}3\\ &&\textcolor{#070}1&+&\textcolor{#070}{\frac42}&+&\textcolor{#070}{\frac66}&+&\textcolor{#070}{0}&\textcolor{#e00}=&\textcolor{#e00}4\\ &\textcolor{#070}1&+&\textcolor{#070}{\frac52}&+&\textcolor{#070}{\frac{10}6}&+&\textcolor{#070}{0}&+&\textcolor{#070}{-\frac{5}{30}}&\textcolor{#e00}=&\textcolor{#e00}5\\ \textcolor{#070}1&+&\textcolor{#070}{\frac62}&+&\textcolor{#070}{\frac{15}6}&+&\textcolor{#070}{0}&+&\textcolor{#070}{-\frac{15}{30}}&+&6&\textcolor{#e00}=&\textcolor{#e00}6\\ &&&&&&\vdots\\ \end{array}$$
六段目の $\textcolor{#070}{1}+\textcolor{#070}{\frac62}+\textcolor{#070}{\frac{15}6}+\textcolor{#070}{0}+\textcolor{#070}{-\frac{15}{30}}+6\textcolor{#e00}{=5}$ については六項目を $0$ 倍すれば辻褄が合うので、すべての段の六項目を $0$ 倍してあげます。（つまり $0$ にする）
:$$\begin{array}{c} &&&&&\textcolor{#070}1&\textcolor{#e00}=&\textcolor{#e00}1\\ &&&&\textcolor{#070}1&+&\textcolor{#070}{\frac22}&\textcolor{#e00}=&\textcolor{#e00}2\\ &&&\textcolor{#070}1&+&\textcolor{#070}{\frac32}&+&\textcolor{#070}{\frac36}&\textcolor{#e00}=&\textcolor{#e00}3\\ &&\textcolor{#070}1&+&\textcolor{#070}{\frac42}&+&\textcolor{#070}{\frac66}&+&\textcolor{#070}{0}&\textcolor{#e00}=&\textcolor{#e00}4\\ &\textcolor{#070}1&+&\textcolor{#070}{\frac52}&+&\textcolor{#070}{\frac{10}6}&+&\textcolor{#070}{0}&+&\textcolor{#070}{-\frac{5}{30}}&\textcolor{#e00}=&\textcolor{#e00}5\\ \textcolor{#070}1&+&\textcolor{#070}{\frac62}&+&\textcolor{#070}{\frac{15}6}&+&\textcolor{#070}{0}&+&\textcolor{#070}{-\frac{15}{30}}&+&\textcolor{#070}{0}&\textcolor{#e00}=&\textcolor{#e00}6\\ &&&&&&\vdots\\ \end{array}$$
以上の操作をお好きな段まで繰り返したら、残りの段を全部消してこんな風にトッピングするとできあがりっ！
:$$\begin{array}{c} \textcolor{#070}m\textcolor{#e00}~~\textcolor{#e00}{=}~~\displaystyle\textcolor{#e00}{1~~\sum_{k=1}^mk^0}\\ \textcolor{#070}{m^2}~~+~~\textcolor{#070}{\frac22m}\textcolor{#e00}~~\textcolor{#e00}{=}~~\displaystyle\textcolor{#e00}{2~~\sum_{k=1}^mk^1}\\ \textcolor{#070}{m^3}~~+~~\textcolor{#070}{\frac32m^2}~~+~~\textcolor{#070}{\frac36m}\textcolor{#e00}~~\textcolor{#e00}{=}~~\displaystyle\textcolor{#e00}{3~~\sum_{k=1}^mk^2}\\ \textcolor{#070}{m^4}~~+~~\textcolor{#070}{\frac42m^3}~~+~~\textcolor{#070}{\frac66m^2}~~+~~\textcolor{#070}{0m}\textcolor{#e00}~~\textcolor{#e00}{=}~~\displaystyle\textcolor{#e00}{4~~\sum_{k=1}^mk^3}\\ \textcolor{#070}{m^5}~~+~~\textcolor{#070}{\frac52m^4}~~+~~\textcolor{#070}{\frac{10}6m^3}~~+~~\textcolor{#070}{0m^2}~~+~~\textcolor{#070}{-\frac{5}{30}m}\textcolor{#e00}~~\textcolor{#e00}{=}~~\displaystyle\textcolor{#e00}{5~~\sum_{k=1}^mk^4}\\ \textcolor{#070}{m^6}+\textcolor{#070}{\frac62m^5}~~+~~\textcolor{#070}{\frac{15}6m^4}~~+~~\textcolor{#070}{0m^3}~~+~~\textcolor{#070}{-\frac{15}{30}m^2}~~+~~\textcolor{#070}{0m}\textcolor{#e00}~~~~=~~~~\displaystyle\textcolor{#e00}{6~~\sum_{k=1}^mk^5}\\ \vdots \end{array}$$
ちなみに、左辺の合計を右辺に関わらず $0$ になるように重みをつけていくと、二項目は $\frac12$ 倍ではなく $-\frac12$ 倍することになります。不思議なことに、それ以外の項の倍率に変化はなく、そのようにして最後の段まで作った場合の右辺はこうなります。
:$$\begin{array}{c} \textcolor{#070}m\textcolor{#e00}~~\textcolor{#e00}{=}~~\displaystyle\textcolor{#e00}{1~~\sum_{k=0}^{m-1}k^0}\\ \textcolor{#070}{m^2}~~+~~\textcolor{#070}{-\frac22m}\textcolor{#e00}~~\textcolor{#e00}{=}~~\displaystyle\textcolor{#e00}{2~~\sum_{k=0}^{m-1}k^1}\\ \textcolor{#070}{m^3}~~+~~\textcolor{#070}{-\frac32m^2}~~+~~\textcolor{#070}{\frac36m}\textcolor{#e00}~~\textcolor{#e00}{=}~~\displaystyle\textcolor{#e00}{3~~\sum_{k=0}^{m-1}k^2}\\ \textcolor{#070}{m^4}~~+~~\textcolor{#070}{-\frac42m^3}~~+~~\textcolor{#070}{\frac66m^2}~~+~~\textcolor{#070}{0m}\textcolor{#e00}~~\textcolor{#e00}{=}~~\displaystyle\textcolor{#e00}{4~~\sum_{k=0}^{m-1}k^3}\\ \textcolor{#070}{m^5}~~+~~\textcolor{#070}{-\frac52m^4}~~+~~\textcolor{#070}{\frac{10}6m^3}~~+~~\textcolor{#070}{0m^2}~~+~~\textcolor{#070}{-\frac{5}{30}m}\textcolor{#e00}~~\textcolor{#e00}{=}~~\displaystyle\textcolor{#e00}{5~~\sum_{k=0}^{m-1}k^4}\\ \textcolor{#070}{m^6}~~+~~\textcolor{#070}{-\frac62m^5}~~+~~\textcolor{#070}{\frac{15}6m^4}~~+~~\textcolor{#070}{0m^3}~~+~~\textcolor{#070}{-\frac{15}{30}m^2}~~+~~\textcolor{#070}{0m}\textcolor{#e00}~~~~=~~~~\displaystyle\textcolor{#e00}{6~~\sum_{k=0}^{m-1}k^5}\\ \vdots \end{array}$$
まとめ
お気づきの方もおられるかと思いますが、実は各項につけた重み（倍率）はベルヌーイ数です。
もちろん、ベルヌーイ数を知らない方でもこの裏ワザで知らないうちに求められているので心配はいりません＾ー＾
（実際、私もこれがベルヌーイ数と呼ばれているものだということを知ったのは後からです。）
より厳密には、最初に求めていた方、つまり右辺が $\displaystyle(n+1)\sum_{k=1}^mk^n$ の方の倍率は和算家の関さんとベルヌーイさんがそれぞれ別々に発見した歴史的ベルヌーイ数（関・ベルヌーイ数）$\hat{B}_n$ で、現代数学で一般的に使われるいわゆるベルヌーイ数 $B_n$ とは微妙に違います。（左辺の合計が $0$ になるように求めた方、つまり右辺が $\displaystyle (n+1)\sum_{k=0}^{m-1}k^n$ の方の倍率が $B_n$ です）
$$\begin{align} \displaystyle\sum_{k=1}^mk^n=&\frac1{n+1}\sum_{k=0}^n\binom{n+1}k\hat B_km^{n+1-k}\\ \displaystyle\sum_{k=0}^{m-1}k^n=&\frac1{n+1}\sum_{k=0}^n\binom{n+1}kB_km^{n+1-k} \end{align}$$
両者の違いは $k^m$ を足すか足さないかということですが、値としては $\hat{B}_1=-B_1=\frac12$ となること以外全て $\hat{B}_n=B_n$ です。面白いですね！
投稿日：2021年2月1日
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みゆ🌹 ฅ^•ω•^ฅ ＠ 数学を愛する会
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数学を愛する会 副会長 CCO / ガラパゴ数学 開拓者 / 猫舌・甘党・薄味派
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