文献あり

k-ナッチ数のk-リュカ数による表現

はじめに

　この記事では$k$-ナッチ数を$k$-リュカ数の和として表す公式を導出します。
　いま多項式
$$f(x)=x^k-\sum^{k-1}_{j=0}x^j$$
に対し、その根をそれぞれ$\a_1,\a_2,\ldots,\a_k$とすると$k$-ナッチ数$F_n^{(k)}$、$k$-リュカ数$L_n^{[k]}$はそれぞれ
$$F_n^{[k]}=\sum^k_{j=1}\frac{\a_j^n}{f'(\a_j)},\quad L_n^{[k]}=\sum^k_{j=1}\a_j^n$$
と表せるのでした。
　よって$k$-リュカ数は$k$-ナッチ数を用いて次のように表せることが直ちにわかります。

$$L_n^{[k]}=\sum^{k-1}_{j=1}(k-j)F_{n+j-1}^{[k]}+kF_{n-1}^{[k]}$$

\begin{align} L_n^{[k]} &=\sum^k_{i=1}f'(\a_i)\frac{\a_i^n}{f'(\a_i)}\\ &=\sum^k_{i=1}\l(k\a_i^{k-1}-\sum^{k-1}_{j=0}j\a_i^{j-1}\r)\frac{\a_i^n}{f'(\a_i)}\\ &=k\sum^k_{i=1}\frac{\a_i^{n+k-1}}{f'(\a_i)} -\sum^{k-1}_{j=1}j\sum^k_{i=1}\frac{\a_i^{n+j-1}}{f'(\a_i)}\\ &=kF_{n+k-1}^{[k]}-\sum^{k-1}_{j=1}jF_{n+j-1}^{[k]}\\ &=\sum^{k-1}_{j=1}(k-j)F_{n+j-1}^{[k]}+kF_{n-1}^{[k]} \end{align}
とわかる。

　では逆に$k$-ナッチ数を$k$-リュカ数で表現しようとするとどうなるのでしょうか。それを考えてみたところ以下のような式が得られました。

$$F_n^{[k]} =\frac{k-1}{2(2k)^k-(k+1)^{k+1}} \l(\sum^{k-1}_{j=1}(k+1)^{k-1-j}((k+1)^j-2(2k)^{j-1})L_{n-j+1}^{[k]} +\frac{2((2k)^{k-1}-(k+1)^{k-1})}{k-1}L_{n-k+1}^{[k]}\r)$$

　かなりごちゃごちゃしていますが、具体的に$k=2,3,4,5,6$のときを計算してみると
\begin{eqnarray} F_n^{[2]}&=&\frac{L_n^{[2]}+2L_{n-1}^{[2]}}{5} \quad\l(=\frac{L_{n+1}^{[2]}+L_{n-1}^{[2]}}{5}\r) \\F_n^{[3]}&=&\frac{1}{88}(8L_n^{[3]}+4L_{n-1}^{[3]}+20L_{n-2}^{[3]}) \\&=&\frac{2L_n^{[3]}+L_{n-1}^{[3]}+5L_{n-2}^{[3]}}{22} \\F_n^{[4]}&=&\frac{1}{1689}(75L_{n}^{[4]}+45L_{n-1}^{[4]}-3L_{n-2}^{[4]}+258L_{n-3}^{[4]}) \\&=&\frac{25L_{n}^{[4]}+15L_{n-1}^{[4]}-L_{n-2}^{[4]}+86L_{n-3}^{[4]}}{563} \\F_n^{[5]}&=&\frac{1}{38336}(864L_{n}^{[5]}+576L_{n-1}^{[5]}+96L_{n-2}^{[5]}-704L_{n-3}^{[5]}+4352L_{n-4}^{[5]}) \\&=&\frac{27L_{n}^{[5]}+18L_{n-1}^{[5]}+3L_{n-2}^{[5]}-22L_{n-3}^{[5]}+136L_{n-4}^{[5]}}{1198} \\F_n^{[6]}&=&\frac{1}{1029685}(12005L_{n}^{[6]}+8575L_{n-1}^{[6]}+2695L_{n-2}^{[6]}-7385L_{n-3}^{[6]}-24665L_{n-4}^{[6]}+92810L_{n-5}^{[6]}) \\&=&\frac{2401L_{n}^{[6]}+1715L_{n-1}^{[6]}+539L_{n-2}^{[6]}-1477L_{n-3}^{[6]}-4933L_{n-4}^{[6]}+18562L_{n-5}^{[6]}}{205937} \end{eqnarray}
となります。$k=6$のときの分母に現れる$205937$は素数なこともあって、とても実用的とは言えなさそうですね。

証明

　上で$k$-リュカ数を$k$-ナッチ数で表したときを思い出すと、$\a=\a_1,\a_2,\ldots,\a_k$に対し$\frac{1}{f'(\a)}$を負の冪を許した$\a$についての多項式で表せればよいことになります。つまりは以下の等式を示します。

$\dis\frac{1}{f'(\a)}=\frac{k-1}{2(2k)^k-(k+1)^{k+1}}\l(\sum^{k-1}_{j=1}(k+1)^{k-1-j}((k+1)^j-2(2k)^{j-1})\a^{-j+1}+\frac{2((2k)^{k-1}-(k+1)^{k-1})}{k-1}\a^{-k+1}\r)$

　まず
\begin{align} (x-1)f(x)&=x^{k+1}-2x^k+1\\ ((x-1)f(x))'&=x^k((k+1)x-2k)\\ (\a-1)f'(\a)&=\a^{k-1}((k+1)\a-2k) \end{align}
より
$$\frac1{f'(\a)}=\frac{1}{\a^{k-1}}\cdot\frac{\a-1}{(k+1)\a-2k}$$
が成り立ち、また$\frac{1}{(k+1)\a-2k}$の有理化を考えると
\begin{eqnarray} \frac{1}{(k+1)\a-2k}&=&-\frac1{\prod^k_{j=1}(2k-(k+1)\a_j)}\cdot\frac{\prod^k_{j=1}(2k-(k+1)\a_j)}{2k-(k+1)\a} \\&=&-\frac{1}{(k+1)^kf(\frac{2k}{k+1})}\cdot\frac{(k+1)^{k-1}f(\frac{2k}{k+1})}{\frac{2k}{k+1}-\a} \end{eqnarray}
となるので、このそれぞれの因子を具体的に計算してみましょう。

$$(k+1)^kf\l(\frac{2k}{k+1}\r)=\frac{(k+1)^{k+1}-2(2k)^k}{k-1}$$

$$(x-1)f(x)=x^{k+1}-2x^k+1$$
に注意すると
\begin{eqnarray} (k+1)^kf\l(\frac{2k}{k+1}\r)&=&(k+1)^k\frac{(\frac{2k}{k+1})^{k+1}-2(\frac{2k}{k+1})^k+1}{\frac{2k}{k+1}-1} \\&=&\frac{(2k)^{k+1}-2(k+1)(2k)^k+(k+1)^{k+1}}{2k-(k+1)} \\&=&\frac{(k+1)^{k+1}-2(2k)^k}{k-1} \end{eqnarray}
とわかる。

$$\frac{(k+1)^{k-1}f(\frac{2k}{k+1})}{\frac{2k}{k+1}-\a} =\frac{1}{\a-1}\l(\sum^{k-1}_{j=1}(k+1)^{j-1}((k+1)^{k-j}-2(2k)^{k-1-j})\a^{j}+\frac{2((2k)^{k-1}-(k+1)^{k-1})}{k-1}\r)$$

　これは以下の補題から直ちに得られます。

$$\frac{f(x)}{x-\a}=\frac1{\a-1}\l(\sum^{k-1}_{j=1}(x^{k-j}-2x^{k-j-1}+1)\a^j+(1-\frac{x^k-2x^{k-1}+1}{x-1})\r)$$

$$\frac{f(x)}{x-\a}=\sum^{k-1}_{j=0}c_jx^j$$
とおくと
$$f(x)=(x-\a)\frac{f(x)}{x-\a}=x^k-\sum^{k-1}_{j=0}x^j$$
より$c_{k-1}=1,\ c_{j-1}-\a c_j=-1$つまり$c_j$は
$$c_j=\a^{k-j-1}-\sum^{k-j-2}_{i=0}\a^i=\frac{\a^{k-j}-2\a^{k-j-1}+1}{\a-1}$$
と求められる。よって
\begin{eqnarray} (\a-1)\frac{f(x)}{x-\a}&=&\sum^{k-1}_{j=0}(\a^{j+1}-2\a^j+1)x^{k-j-1} \\&=&\l(\a^k+\sum^{k-1}_{j=1}\a^jx^{k-j}\r)-2\l(\sum^{k-1}_{j=1}\a^jx^{k-j-1}+x^{k-1}\r)+\sum^{k-1}_{j=0}x^{k-j-1} \\&=&\sum^{k-1}_{j=1}\a^j+\sum^{k-1}_{j=1}(x^{k-j}-2x^{k-j-1})\a^j-2x^{k-1}+\frac{x^k-1}{x-1} \\&=&\sum^{k-1}_{j=1}(x^{k-j}-2x^{k-j-1}+1)\a^j+1-\frac{x^k-2x^{k-1}+1}{x-1} \end{eqnarray}
を得る。

　以上より命題1が得られ、冒頭で公式1を導出したのと同様にして公式2を得る。
　ちなみに$\a^k=1/(2-\a)$から
$$\frac{1}{f'(\a)}=\frac{\a(2-\a)}{-(k+1)^kf(\frac{2k}{k+1})}\cdot\frac{(k+1)^{k-1}(\a-1)f(\frac{2k}{k+1})}{\frac{2k}{k+1}-\a}$$
とも表せるので$k$-ナッチ数を$k$-リュカ数の$n$以降の項の線形結合で表すこともできるが補題3を見てわかるようにとても煩雑になるのであまりお勧めはしない。