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分数関数の最大値、最小値の微分を使わない求め方

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$$\newcommand{dis}[0]{\displaystyle} \newcommand{l}[0]{\left} \newcommand{r}[0]{\right} $$

 ある関数$f(x),g(x)$によって
$$h(x)=\frac{f(x)}{g(x)}$$
と表される関数$h(x)$が最大値や最小値を持つ時、それを求めるのには微分を使うのが普通であるが、最大値や最小値を$M$$m$とおいて$f(x)-Mg(x),\;f(x)-mg(x)$の最大値、最小値を評価することで微分を使わずに$M,m$の値を求める方法がある。
 以下で具体例を見ていこう(問題は全て数Ⅲの青チャートか赤チャートから持ってきてた気がします)。

$\dis\frac{1-x}{x^2+2}$が最大値、最小値を持つとき、その値を求めよ。

 いま最大値を$M\;(x<1$の時を考えると明らかに$M>0)$とおくと、すべての実数$x$について
$$\frac{1-x}{x^2+2}\leq M$$
が成り立つので$x^2+2>0$に注意すると
$$1-x\leq M(x^2+2)$$
つまり
\begin{align} 0&\leq Mx^2+x+2M-1\\ &=M\l(x+\frac{1}{2M}\r)^2+\frac{8M^2-4M-1}{4M} \end{align}
と変形できる。
 これがすべての実数$x$について成り立ち、ある実数$x$において等号が成立しなければならないので
$$\frac{8M^2-4M-1}{4M}=0$$
つまり
$$M=\frac{1+\sqrt3}4$$
を得る(上記の不等式より$x=-\frac1{2M}=1-\sqrt3$のときに最大値を取る。)
 同様に最小値を$m\;(m<0)$とおくと
$$m\l(x+\frac{1}{2m}\r)^2+\frac{8m^2-4m-1}{4m}\leq0$$
より
$$\frac{8m^2-4m-1}{4m}=0$$
つまり
$$m=\frac{1-\sqrt3}4$$
を得る($x=-\frac1{2m}=1+\sqrt3$のときに最小値を取る)。

$\dis\frac{x-b}{x^2+a}\;(a>0)$が最大値に$\dis\frac16$最小値に$\dis-\frac12$を持つ時、$a,b$の値を求めよ。(弘前大)

 いま
$$-\frac12\leq\frac{x-b}{x^2+a}\leq\frac16$$
とすると、$x^2+a>0$より
$$-(x^2+a)\leq2(x-b),\quad 6(x-b)\leq x^2+a$$
つまり
\begin{align} 0&\leq x^2+2x+a-2b=(x+1)^2+a-2b-1\\ 0&\leq x^2-6x+a+6b=(x-3)^2+a+6b-9 \end{align}
と変形できる。
 これがすべての実数$x$について成り立ち、それぞれある実数$x$において等号が成立しなければならないので
$$a-2b-1=0,\quad a+6b-9=0$$
つまり$a=3,\;b=1$を得る(上記の不等式より$x=3$のときに最大値を、$x=-1$のときに最小値を取る)。

$\dis\frac{ax+b}{x^2+x+1}$$x=2$で最大値$1$をとるとき、$a,b$の値を求めよ。

 いま
$$\frac{ax+b}{x^2+x+1}\leq1$$
とすると$x^2+x+1=(x+\frac12)^2+\frac34>0$より
$$ax+b\leq x^2+x+1$$
つまり
\begin{align} 0&\leq x^2-(a-1)x-b+1\\ &=\l(x-\frac{a-1}2\r)^2-\frac{(a-1)^2}4-b+1 \end{align}
と変形できる。
 これがすべての実数$x$について成り立ち、$x=2$のとき等号が成立しなければならないので
$$\frac{a-1}{2}=2,\quad-\frac{(a-1)^2}{4}-b+1=0$$
つまり$a=5,\;b=-3$を得る。

$\dis\frac{\sin x}{\cos x+4}$が最大値、最小値を持つとき、その値を求めよ。

 いま最大値を$M\;(M>0)$とおくと
$$\frac{\sin x}{\cos x+4}\leq M$$
が成り立つので$\cos x+4\geq-1+4=3>0$に注意すると
$$\sin x\leq M(\cos x+4)$$
つまり
$$\sin x-M\cos x =\sqrt{M^2+1}\l(\frac{1}{\sqrt{M^2+1}}\sin x-\frac M{\sqrt{M^2+1}}\cos x\r)\leq4M$$
と変形できる。
 ここで
$$\cos\alpha=\frac1{\sqrt{M^2+1}},\quad\sin\alpha=\frac{M}{\sqrt{M^2+1}}$$
なる$\alpha$を取るとこれは
$$\sqrt{M^2+1}\sin{(x-\alpha)}\leq4M$$
と表せ、これがすべての実数$x$について成り立ち、ある実数$x$において等号が成立しなければならないので$$\sqrt{M^2+1}=4M$$
つまり$M=\frac1{\sqrt{15}}$を得る。
 同様に最小値を$m\;(m<0)$とおくと
$$4m\leq\sqrt{m^2+1}\sin(x-\beta)$$
より
$$4m=-\sqrt{m^2+1}$$
つまり$m=-\frac1{\sqrt{15}}$を得る(関数の奇関数性から$m=-M$と求めてもよい)。

投稿日:202129
更新日:10日前

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投稿者

子葉
子葉
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主に複素解析、代数学、数論を学んでおります。 私の経験上、その証明が簡単に探しても見つからない、英語の文献を漁らないと載ってない、なんて定理の解説を主にやっていきます。 同じ経験をしている人の助けになれば。最近は自分用のノートになっている節があります。

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