分数関数の最大値、最小値の微分を使わない求め方

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　ある関数 $f (x), g (x)$ によって
$h (x) = \frac{f (x)}{g (x)}$
と表される関数 $h (x)$ が最大値や最小値を持つ時、それを求めるのには微分を使うのが普通であるが、最大値や最小値を $M$ や $m$ とおいて $f (x) - M g (x), f (x) - m g (x)$ の最大値、最小値を評価することで微分を使わずに $M, m$ の値を求める方法がある。
　以下で具体例を見ていこう(問題は全て数Ⅲの青チャートか赤チャートから持ってきてた気がします)。

$\frac{1 - x}{x^{2} + 2}$ が最大値、最小値を持つとき、その値を求めよ。

　いま最大値を $M (x < 1$ の時を考えると明らかに $M > 0)$ とおくと、すべての実数 $x$ について
$\frac{1 - x}{x^{2} + 2} \leq M$
が成り立つので $x^{2} + 2 > 0$ に注意すると
$1 - x \leq M (x^{2} + 2)$
つまり
$\begin{aligned} 0 & \leq M x^{2} + x + 2 M - 1 \\ = M {(x + \frac{1}{2 M})}^{2} + \frac{8 M^{2} - 4 M - 1}{4 M} \end{aligned}$
と変形できる。
　これがすべての実数 $x$ について成り立ち、ある実数 $x$ において等号が成立しなければならないので
$\frac{8 M^{2} - 4 M - 1}{4 M} = 0$
つまり
$M = \frac{1 + \sqrt{3}}{4}$
を得る(上記の不等式より $x = - \frac{1}{2 M} = 1 - \sqrt{3}$ のときに最大値を取る。)
　同様に最小値を $m (m < 0)$ とおくと
$m {(x + \frac{1}{2 m})}^{2} + \frac{8 m^{2} - 4 m - 1}{4 m} \leq 0$
より
$\frac{8 m^{2} - 4 m - 1}{4 m} = 0$
つまり
$m = \frac{1 - \sqrt{3}}{4}$
を得る( $x = - \frac{1}{2 m} = 1 + \sqrt{3}$ のときに最小値を取る)。

$\frac{x - b}{x^{2} + a} (a > 0)$ が最大値に $\frac{1}{6}$ 最小値に $- \frac{1}{2}$ を持つ時、 $a, b$ の値を求めよ。(弘前大)

　いま
$- \frac{1}{2} \leq \frac{x - b}{x^{2} + a} \leq \frac{1}{6}$
とすると、 $x^{2} + a > 0$ より
$- (x^{2} + a) \leq 2 (x - b), 6 (x - b) \leq x^{2} + a$
つまり
$\begin{aligned} 0 & \leq x^{2} + 2 x + a - 2 b = (x + 1)^{2} + a - 2 b - 1 \\ 0 & \leq x^{2} - 6 x + a + 6 b = (x - 3)^{2} + a + 6 b - 9 \end{aligned}$
と変形できる。
　これがすべての実数 $x$ について成り立ち、それぞれある実数 $x$ において等号が成立しなければならないので
$a - 2 b - 1 = 0, a + 6 b - 9 = 0$
つまり $a = 3, b = 1$ を得る(上記の不等式より $x = 3$ のときに最大値を、 $x = - 1$ のときに最小値を取る)。

$\frac{a x + b}{x^{2} + x + 1}$ が $x = 2$ で最大値 $1$ をとるとき、 $a, b$ の値を求めよ。

　いま
$\frac{a x + b}{x^{2} + x + 1} \leq 1$
とすると $x^{2} + x + 1 = (x + \frac{1}{2})^{2} + \frac{3}{4} > 0$ より
$a x + b \leq x^{2} + x + 1$
つまり
$\begin{aligned} 0 & \leq x^{2} - (a - 1) x - b + 1 \\ = {(x - \frac{a - 1}{2})}^{2} - \frac{(a - 1)^{2}}{4} - b + 1 \end{aligned}$
と変形できる。
　これがすべての実数 $x$ について成り立ち、 $x = 2$ のとき等号が成立しなければならないので
$\frac{a - 1}{2} = 2, - \frac{(a - 1)^{2}}{4} - b + 1 = 0$
つまり $a = 5, b = - 3$ を得る。

$\frac{\sin x}{\cos x + 4}$ が最大値、最小値を持つとき、その値を求めよ。

　いま最大値を $M (M > 0)$ とおくと
$\frac{\sin x}{\cos x + 4} \leq M$
が成り立つので $\cos x + 4 \geq - 1 + 4 = 3 > 0$ に注意すると
$\sin x \leq M (\cos x + 4)$
つまり
$\sin x - M \cos x = \sqrt{M^{2} + 1} (\frac{1}{\sqrt{M^{2} + 1}} \sin x - \frac{M}{\sqrt{M^{2} + 1}} \cos x) \leq 4 M$
と変形できる。
　ここで
$\cos α = \frac{1}{\sqrt{M^{2} + 1}}, \sin α = \frac{M}{\sqrt{M^{2} + 1}}$
なる $α$ を取るとこれは
$\sqrt{M^{2} + 1} \sin (x - α) \leq 4 M$
と表せ、これがすべての実数 $x$ について成り立ち、ある実数 $x$ において等号が成立しなければならないので $\sqrt{M^{2} + 1} = 4 M$
つまり $M = \frac{1}{\sqrt{15}}$ を得る。
　同様に最小値を $m (m < 0)$ とおくと
$4 m \leq \sqrt{m^{2} + 1} \sin (x - β)$
より
$4 m = - \sqrt{m^{2} + 1}$
つまり $m = - \frac{1}{\sqrt{15}}$ を得る(関数の奇関数性から $m = - M$ と求めてもよい)。