この記事ではスターリングの公式のガンマ関数を用いた証明を紹介していきます。
スターリングの公式とは以下の公式のことを言うのでした。
階乗
と近似できる。つまり
が成り立つ。
ここではガンマ関数
を用いたより強い主張
つまり
が成り立つ。
を示します。
ちなみに複素関数としてさらに強い主張
が成り立つことも知られています(例えば
Wikipedia
でも紹介されている)が、ここでは
と変数変換したとき
が成り立つことに注意すると
を得る。
が成り立つことに注意すると
となるので上の補題から
を得る。
上の議論では積分と極限の交換を無断で行っていたがその正当性を以下で示しておく。
今回使うのはルベーグ積分の単調収束定理である。
区間
が成り立つ。
いま
とおくと先の議論より
であることは示していたのであとは
について同じ主張が成り立つことを示せばよい。
いま
および
となることがわかる。
一応
と示すことができる。