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高校数学解説
文献あり

スターリングの公式の簡単な証明

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はじめに

 この記事ではスターリングの公式のガンマ関数を用いた証明を紹介していきます。
 スターリングの公式とは以下の公式のことを言うのでした。

スターリングの公式

 階乗n!nにおいて
n!2πn(ne)n
と近似できる。つまり
limnn!2πn(en)n=1
が成り立つ。

 ここではガンマ関数
Γ(t)=0xt1etdx
を用いたより強い主張

Γ(t)2πt(te)t(t)
つまり
limtt(et)tΓ(t)=2π
が成り立つ。

を示します。Γ(n)=(n1)!よりこれはn!についてのスターリングの公式を内含していることがわかります。
 ちなみに複素関数としてさらに強い主張
Γ(z)2πz(ze)z(|z|)
が成り立つことも知られています(例えば Wikipedia でも紹介されている)が、ここではzR>0のケースのみを扱います。

証明

t(et)tΓ(t)=exp(t(1+xtext))dx

xt=eyt
と変数変換したとき
dxt=xtdyt
が成り立つことに注意すると
t(et)tΓ(t)=0(xt)tet(1xt)txdx=exp(t(1+yteyt))dy
を得る。

スターリングの公式の証明

 tにおいて
ext=1+xt+x22t+O(1tt)
が成り立つことに注意すると
limtt(1+xtext)=x22
となるので上の補題から
limtt(et)tΓ(t)=exp(x22)dx=2π(ガウス積分)
を得る。

補足

 上の議論では積分と極限の交換を無断で行っていたがその正当性を以下で示しておく。
 今回使うのはルベーグ積分の単調収束定理である。

単調収束定理

 区間xI上の関数ft(x)tについて単調増加(resp.単調減少)にある関数f(x)に収束するとき、f1(x)が積分可能であれば
limtIft(x)dx=If(x)dx
が成り立つ。

 いま
ft(x)=exp(t(1+xtext))
とおくと先の議論より
limtft(x)=ex22
であることは示していたのであとはft(x)tについて単調であることを示せばこの定理が適用できる。

 ft(x)は区間x[0,)においてtについて単調増加であり、区間x(,0)においてtについて単調減少である。

 ft(x)の代わりに
gt(x)=t(1+xtext)
について同じ主張が成り立つことを示せばよい。
 いま
tgt(x)=1+x2text+x2text=(x2t1)(ext+1)+22xtgt(x)=12t((xt1)ext+1)
およびex1xexに注意すると2xtgt(x)0つまりtgt(x)xについて単調増加であり、またtgt(0)=0に注意すると

  • x0においてtgt(x)0つまりgt(x)tについて単調増加
  • x<0においてtgt(x)<0つまりgt(x)tについて単調減少

となることがわかる。

 一応f1(x)=exp(1+xex)の積分可能性についても確認する必要があるが、それは
0f1(x)dx<0ex22dx=π2<0f1(x)dx<0e1+xdx=e
と示すことができる。

参考文献

投稿日:2021214
更新日:2024422
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投稿者

子葉
子葉
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主に複素解析、代数学、数論を学んでおります。 私の経験上、その証明が簡単に探しても見つからない、英語の文献を漁らないと載ってない、なんて定理の解説を主にやっていきます。 同じ経験をしている人の助けになれば。最近は自分用のノートになっている節があります。

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