この記事では
ポテト一郎
さんのツイートを発端として最近話題(?)になっている正
その話題となっている一連のツイートがこちらになります。
【吃驚仰天!正七角形!?】
— ポテト一郎🥔 (@potetoichiro) February 14, 2021
なな、なんと、円と2本の放物線の交点を結んで正七角形をつくることができるそうです。先ほど初めて知り私もやってみました。そして、その美しさに感動しました。松田康雄先生が発見し、2019年に算額が高見神社に奉納されたとのことです。いつか実物を見に行きたいです! pic.twitter.com/VptFWHlpRl
【拡張!正十三角形!?】
— ポテト一郎🥔 (@potetoichiro) February 15, 2021
円と4本の放物線の交点を結んで正十三角形をつくることに成功しました。我ながら頑張りました! https://t.co/mjKpObvbWK pic.twitter.com/aNCX1kXqXo
Enneadecagon. Equations later ... pic.twitter.com/KP4UbWeGLm
— Ignacio Larrosa Cañestro (@ilarrosac) February 15, 2021
It seems that most of the parabolas that go through 3 of the vertices, go through a fourth. In the case of the icosapenthagon, I had a hard time choosing them to cover the other 24 vertices. Finding exact expressions with radicals for their coefficients is more complicated ... pic.twitter.com/hsVMip19i4
— Ignacio Larrosa Cañestro (@ilarrosac) February 16, 2021
この4つのツイートでは正
正31角形
正三十一角形 pic.twitter.com/oU6GHrXOkn
— しょう (@emiemi_ogaoga) February 17, 2021
正37角形
正三十七角形できちゃった pic.twitter.com/8tAO5wb8ms
— しょう (@emiemi_ogaoga) February 17, 2021
以下で私がどうやってこの結果を得たのかを紹介していきます。
まずこれらの表現が満たすべき条件というのを定めましょう。
このような表現ができる
とりあえずこの条件から
まず放物線が表す
仮定を満たすような放物線の方程式はラグランジュの補間公式より
と表せる。
この右辺に
を得る。
すなわち頂点
を表す放物線が表すもう一つの頂点は
となるということです。
もう少しスマートな証明法がないか模索してみたところ次の主張を示すことができました。
複素数平面において円
放物線は焦点
となる。これと円
なので
と
特に上の四次方程式の定数項は
が成り立つ。
では上で紹介した
正
これを見てわかる通りこの表の
逆に
上の理屈で組
というわけで
という表が(偶然)できたので冒頭で私が示したような表現が得られたのでした。
上では
答えはNoです。
簡単なプログラムを書いて虱潰し的に
と
と
と
先ほど
yotsunva
さんの以下のツイートに連なる議論を見かけまして、どうやら
放物線と円の交点4つの内3つがその正多角形の頂点のいずれかと一致するときに4点目も頂点のいずれかと一致することは偶然ではないし、放物線をより高次な曲線にしても同様のことが言える(4点目がどこかということも含めて Abel's theorem からわかる) https://t.co/fpKRu1EOUU
— yotsunva (@yotsunva) February 15, 2021
特に任意の放物線についてそれが表す四頂点を
とおくと
を満たすようなものがただ一つ存在する。
いま上での議論から正
に分ける問題に帰結されるのであった。
特にこれらの三つ組が全て
を満たすように取れるためには準同型
について
が
ここで素数
の形に一意に表せ、このとき
つまり
またこのことから任意の剰余類
の形に一意に表せ、このとき
が成り立つことから主張を得る。
中国剰余定理から議論を帰結できないか考えてみたところ
に分解したとき、正
より
いま仮定より
に分割できる。そのような分割をそれぞれ
とおく。
このとき中国剰余定理から環同型写像
を取り、
に対し
を考えるとその和は
を満たすのでこれは
さて各
は共存できないことに注意すると計
も
の形に表せるとき、正
良く知られているように
個の
に分割できるので主張を得る(
任意の正
を素数として
補題4から
このとき
とおくと仮定より
でなければならないが
また
であるためには
であるためには
への分割が存在するか否かや、
良ければ皆さんも正