ド・ラームの定理とドルボーの定理
複素多様体のコホモロジーの基本的な定理であるド・ラームの定理とドルボーの定理が, コホモロジーの長完全系列から形式的に導かれることを示します.
層の完全系列
$X$を位相空間, $\mathcal{F}, \mathcal{G}, \mathcal{H}$を$X$上のアーベル群の層とします. 層の準同型の列
$$
\mathcal{F} \xrightarrow{\varphi} \mathcal{G} \xrightarrow{\psi} \mathcal{H}
$$
が完全であるとは, $X$のすべての点$x$に対して, $x$の茎に誘導される準同型
$$
\mathcal{F}_x \xrightarrow{\varphi_x} \mathcal{G}_x \xrightarrow{\psi_x} \mathcal{H}_x
$$
が完全であることである.
つまり, すべての$x \in X$に対して, $\mathrm{Ker} \psi_x = \mathrm{Im} \varphi_x$となることです. 特に
$$ 0 \rightarrow \mathcal{F} \xrightarrow{\varphi} \mathcal{G} \xrightarrow{\psi} \mathcal{H} \rightarrow 0 $$
が完全であるとは, すべての$x \in X$に対して, $\mathrm{Ker} \psi_x = \mathrm{Im} \varphi_x$, $\varphi_x$が単射, $\psi_x$が全射になることです. この形の完全列のことを短完全列といいます.
$X$を複素多様体とする. $X$の層の列
$$
0 \rightarrow 2 \pi i \mathbb{Z} \hookrightarrow \mathcal{O}_X \xrightarrow{\mathrm{exp}} \mathcal{O}_X^{\times} \rightarrow 0
$$
は完全. ただし, $2 \pi i\mathbb{Z}$は$X$の定数層, $2 \pi i \mathbb{Z} \hookrightarrow \mathcal{O}_X$は$2 \pi i n \ (n \in \mathbb{Z})$を定数関数へ写す写像, $\mathcal{O}_X^{\times}$は$X$の正則関数の乗法群の層 (つまり, $0$にならない正則関数の層), $\mathrm{exp}$は正則関数$f$に$\mathrm{exp}(f)$を対応させる写像.
$0 \rightarrow 2 \pi i \mathbb{Z} \hookrightarrow \mathcal{O}_X \xrightarrow{\mathrm{exp}} \mathcal{O}_X^{\times}$の完全性は明らかです. $\mathrm{exp}: \mathcal{O}_X \rightarrow \mathcal{O}_X^{\times}$が全射であることを示します. $x \in X$と$f_x \in \mathcal{O}_X^{\times}$を任意にとります. $f_x$は, $x$の近傍$U$と切断$f \in \Gamma(U, \mathcal{O}_X^\times)$が存在して, $f_x = \overline{f}$として得られます. 開集合$U$を$\mathrm{log}(f)$が一価になるように取れば, $U$上の正則関数の切断$\mathrm{log}(f) \in \Gamma(U, \mathcal{O}_X)$が定義でき, $\mathrm{exp}(\mathrm{log}(f)) = f$となります.
層の短完全列
$$
0 \rightarrow \mathcal{F} \xrightarrow{\varphi} \mathcal{G} \xrightarrow{\psi} \mathcal{H} \rightarrow 0
$$
を考えます. 大域切断を取る操作$\mathcal{F} \rightarrow \Gamma(X, \mathcal{F})$に対して,
$$ 0 \rightarrow \Gamma(X, \mathcal{F}) \xrightarrow{\varphi_X} \Gamma(X, \mathcal{G}) \xrightarrow{\psi_X} \Gamma(X, \mathcal{H}) $$
は完全です.
$f \in \mathrm{Ker}\varphi_X$とすると, 任意の$x \in X$に対して$\varphi_x(f_x) = \varphi_X(f)_x = 0$なので, $0 \rightarrow \mathcal{F}_x \rightarrow \mathcal{G}_x$の完全性から$f_x = 0 \ (\forall x \in X)$. $\mathcal{F}$は層なので$f = 0$. よって, $0 \rightarrow \Gamma(X, \mathcal{F}) \rightarrow \Gamma(X, \mathcal{G})$は完全.
続いて, $g \in \mathrm{Ker}\psi_X$とすると, $\mathcal{F} \rightarrow \mathcal{G} \rightarrow \mathcal{H}$の完全性から, 任意の$x \in X$に対して, $f_x \in \mathcal{F}_x$で$\varphi_x(f_x) = g_x$となるものが存在する. $f_x$は, $x$のある開近傍$U_x$と切断$f_{U_x} \in \Gamma(U_x, \mathcal{F})$を用いて, $(f_{U_x})_{x} = f_{x}$として得られる. $\psi_{U_{x}}(f_{U_x})_x = g_x$なので, さらに小さい開集合$x \in V_{x} \subset U_{x}$を取れば, $\psi_{U_{x}}(f_{U_{x}})|_{V_x} = g|_{V_x}$. よって, $\psi_{V_x}(f_{U_{x}}|_{V_x}) = g|_{V_x}$. 最初から$U_x$として$V_x$を取ったとしてよい. そうすれば, 任意の$2$点$x, x' \in X$に対して, $\psi_{V_x \cap V_{x'}}(f_{V_x} - f_{V_{x'}}) = (g - g)|_{V_x \cap V_{x'}} = 0$. よって, $0 \rightarrow \mathcal{F} \rightarrow \mathcal{G}$の完全性と証明の前半から, $(f_{V_x} - f_{V_{x'}})|_{V_x \cap V_{x'}} = 0$. $\mathcal{F}$は層なので, 大域切断$f \in \Gamma(X, \mathcal{F})$で, すべての$x \in X$に対して$f|_{V_x} = f_{V_{x}}$となるものが存在して, $\psi_X(f) = g$. よって, $\mathrm{Ker}\psi_X \subset \mathrm{Im}\psi_X$. $\mathrm{Im}\psi_X \subset \mathrm{Ker}\psi_X$は明らかなので, $\Gamma(X, \mathcal{F}) \rightarrow \Gamma(X, \mathcal{G}) \rightarrow \Gamma(X, \mathcal{H})$は完全. $\square$
しかし, $0 \rightarrow \mathcal{F} \xrightarrow{\varphi} \mathcal{G} \xrightarrow{\psi} \mathcal{H} \rightarrow 0$が完全でも, $\Gamma(X, \mathcal{G}) \xrightarrow{\psi_X} \Gamma(X, \mathcal{H})$が全射とは限りません. 実際, 上記の指数層系列は$X = \mathbb{C} \setminus \{0\}$の場合, $\mathrm{log}z$を$X$全体の一価関数に取れないので, $\Gamma(X, \mathcal{O}_X) \xrightarrow{\mathrm{exp}} \Gamma(X, \mathcal{O}_X^{\times})$は全射ではありません.
しかし, 次の定理が成り立ちます.
$X$を位相空間, $\mathcal{F}, \mathcal{G}, \mathcal{H}$を$X$上のアーベル群の層とする. 層の短完全列
$$
0 \rightarrow \mathcal{F} \rightarrow \mathcal{G} \rightarrow \mathcal{H} \rightarrow 0
$$
に対して, 準同型$\delta_i: H^{i}(X, \mathcal{H}) \rightarrow H^{i+1}(X, \mathcal{F}) \ (i=0, 1, \cdots) $が存在して, 以下の列が完全になる:
\begin{eqnarray}
0 &\rightarrow& H^{0}(X, \mathcal{F}) &\rightarrow& H^{0}(X, \mathcal{G}) &\rightarrow& H^{0}(X, \mathcal{H}) \\
&\xrightarrow{\delta_0}& H^{1}(X, \mathcal{F}) &\rightarrow& H^{1}(X, \mathcal{G}) &\rightarrow& H^{1}(X, \mathcal{H}) \\
&\xrightarrow{\delta_1}& \cdots \\
&\xrightarrow{\delta_{i-1}}& H^{i}(X, \mathcal{F}) &\rightarrow& H^{i}(X, \mathcal{G}) &\rightarrow& H^{i}(X, \mathcal{H}) \\
&\xrightarrow{\delta_{i}}& H^{i+1}(X, \mathcal{F}) &\rightarrow& H^{i+1}(X, \mathcal{G}) &\rightarrow& H^{i+1}(X, \mathcal{H}) \\
&\xrightarrow{\delta_{i+1}}& \cdots .
\end{eqnarray}
$H^0(X, \mathcal{F}) = \Gamma(X, \mathcal{F})$です.
証明は, 複体の間の射に ジグザグ補題 を適用することでできます.
この定理から, コホモロジーは, 大域切断をとる関手$\mathcal{F} \rightarrow \Gamma(X, \mathcal{F})$が完全関手になる上での障害を意味していると解釈できます.
細層
$X$を位相空間とする. $X$上のアーベル群の層$\mathcal{F}$が細層であるとは, $X$の任意の局所有限開被覆$\{U_i\}$に対して, $\mathcal{F}$の自己準同型の族$\sigma_i: \mathcal{F} \rightarrow \mathcal{F}$で以下をみたすものが存在することである:
- $\displaystyle \sum_{i} \sigma_i = \mathrm{id}$,
- $x \notin U_i$ならば$(\sigma_{i})_{x}(\mathcal{F}_x) = 0$.
細層は局所有限開被覆${U_i}$に付随した1の分割が取れる層です. $X$には, パラコンパクト・ハウスドルフの条件をつけることが多いです.
$X$をパラコンパクト$C^\infty$多様体, $\mathcal{D}^p_X$を$X$の$p$次微分形式の層とする. $\mathcal{D}^p_X$は細層である.
実際, $X$の任意の局所有限開被覆$\{U_i\}$に対して, $\{U_i\}$に付随する ($C^\infty$級) 1の分割$\rho_i: X \rightarrow [0, 1]$が存在するので, 層の準同型$\sigma_i: \mathcal{D}_X^p \rightarrow \mathcal{D}_X^p$を, 開集合$U \subset X$に対して, $(\sigma_i)_U(f) = \rho_i \ f$と定めることで, $\mathcal{D}^p_X$は細層になることがわかります.
複素多様体に対しても同様です.
$X$をパラコンパクト複素多様体, $\mathcal{E}^{p,q}_X$を$X$の$(p, q)$複素微分形式の層とする. $\mathcal{E}^{p,q}_X$は細層である.
正則微分形式の層$\Omega^p_X$は細層ではありません. コンパクト台を持つ正則関数は$0$しかないので, 正則関数の範囲で1の分割が作れないからです.
細層がコホモロジーの計算に有用なのは, 次の定理によります.
$X$をパラコンパクト・ハウスドルフ位相空間, $\mathcal{F}$を$X$上の細層とすると, $i \gt 0$に対して, $H^i(X, \mathcal{F}) = 0. $
この定理と, 次節のポアンカレの補題を用いて, ド・ラームの定理およびドルボーの定理を証明します.
ポアンカレの補題
$X$を$n$次元$C^\infty$多様体とします. $X$の微分形式の層$\mathcal{D}_X^p$に対しては, 外微分から誘導される準同型$d: \mathcal{D}_X^p \rightarrow \mathcal{D}_X^{p+1} \ (p=0, 1, \cdots)$が存在します. これは, 具体的に座標$(x_1, \cdots, x_n)$で書けば,
$$
d (f_I \ dx_I) = df_I \wedge dx_I
$$
です. ただし, 多重指数$I = (i_1, \cdots, i_p)$に対して$dx_I = dx_{i_1} \wedge \cdots \wedge dx_{i_p}$, $df_I$は$f_I$の外微分$\displaystyle \sum_{i=0}^{n} \frac{\partial f_I}{\partial x_i} dx_i$です.
$U \subset X$を開集合とします. $d\omega = 0$となる微分形式$\omega \in \Gamma(U, \mathcal{D}_X^p)$を$U$の閉形式, ある$\eta \in \Gamma(U, \mathcal{D}_X^p)$があって$\omega = d\eta$となっている微分形式$\omega$を$U$の完全形式といいます.
$d \circ d = 0$なので完全形式は閉形式です. しかし, 閉形式は完全形式とは限りません. たとえば, $X = \mathbb{R}^2 \setminus \{(0, 0)\}$上の微分形式
$$
d\tan^{-1}(\frac{y}{x}) = \frac{x dy - y dx}{x^2 + y^2}
$$
は閉形式ですが, 完全形式ではありません ($\displaystyle \tan^{-1}(\frac{y}{x})$は, $X$全体での一価$C^\infty$関数にならない).
しかし, 局所的には逆も成り立ちます. たとえば, $\varepsilon \gt 0$に対して, 開球$B_\varepsilon(a) = \{x \in \mathbb{R}^n: ||x - a|| \lt \varepsilon \}$上の閉形式は完全形式になっています. 多様体は局所的には$\mathbb{R}^n$の開集合と同相なので, 閉形式は局所的には完全形式になります. これを層の言葉で書くと次のようになります.
$X$を$C^\infty$多様体, $\mathcal{D}^p_X$を$X$の$p$次微分形式の層, $\mathbb{R}$を$X$上の定数層とする. このとき,
$$
0 \rightarrow \mathbb{R} \hookrightarrow \mathcal{D}_X^0 \xrightarrow{d} \mathcal{D}_X^1 \xrightarrow{d} \cdots
$$
は完全.
$\overline{\partial}$ ポアンカレの補題
以下では, $X$を$n$次元複素多様体とします. 複素座標$z_i \in \mathbb{C} \ (i=1, \cdots, n)$を実座標$x_i, y_i \in \mathbb{R}$を用いて, $z_i = x_i + \sqrt{-1} \ y_i$と表します.
\begin{eqnarray} dz_i &=& dx_i + \sqrt{-1} \ dy_i \\ d\overline{z_i} &=& dx_i - \sqrt{-1} \ dy_i \end{eqnarray}
とおきます. 複素$n$変数$C^\infty$関数$f$を, 実$2n$変数$C^\infty$関数とみなし,
\begin{eqnarray} \frac{\partial f}{\partial z_i} &=& \frac{1}{2} (\frac{\partial f}{\partial x_i} - \sqrt{-1} \frac{\partial f}{\partial y_i}) \\ \frac{\partial f}{\partial \overline{z_i}} &=& \frac{1}{2} (\frac{\partial f}{\partial x_i} + \sqrt{-1} \frac{\partial f}{\partial y_i}) \end{eqnarray}
とおくと,
$$
df = \sum_{i=1}^n (\frac{\partial f}{\partial z_i} dz_i + \frac{\partial f}{\partial \overline{z_i}} d\overline{z_i})
$$
が成り立ちます. つまり, あたかも$z_i$と$\overline{z_i}$が独立変数であるかのように考えて, $f$の微分を考えることができます. とくに$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial \overline{z_i}} = 0$は第$i$変数に対するコーシー・リーマンの関係式を表します. $f$は$C^1$級なので, これは$f$が第$i$変数に関して正則であることを意味します.
$\mathcal{E}^{p,q}_X$を$X$の$(p, q)$複素微分形式の層とします. 複素微分形式に関しては, 作用素$\partial: \mathcal{E}^{p,q}_X \rightarrow \mathcal{E}^{p+1,q}_X$, $\overline{\partial}: \mathcal{E}^{p,q}_X \rightarrow \mathcal{E}^{p,q+1}_X$が定義できます. これは, 具体的に座標$(z_1, \cdots, z_n)$で書けば,
\begin{eqnarray} \partial (f_{I,J} \ dz_I \wedge d\overline{z_J}) &=& (\sum_{i=1}^{n} \frac{\partial f}{\partial z_i} dz_i) \wedge dz_I \wedge d\overline{z_J} \\ \overline{\partial} (f_{I,J} \ dz_I \wedge d\overline{z_J}) &=& (\sum_{i=1}^{n} \frac{\partial f}{\partial \overline{z_i}} d\overline{z_i}) \wedge dz_I \wedge d\overline{z_J} \\ \end{eqnarray}
となります. ただし, 多重指数$I = (i_1, \cdots, i_p)$, $J = (j_i, \cdots, j_q)$に対して, $dz_I = dz_{i_1} \wedge \cdots \wedge dz_{i_p}$, $d\overline{z_J} = d\overline{z_{j_1}} \wedge \cdots \wedge d\overline{z_{j_q}}$です.
また, $(p, 0)$複素微分形式$\omega$が$p$次正則微分形式であることは, $\overline{\partial} \omega = 0$となることと同値です.
作用素$\overline{\partial}$に対しても, $\overline{\partial} \circ \overline{\partial} = 0$が成り立つので, 完全形式は閉形式です. また, $\overline{\partial}$に対して, 下記のポアンカレの補題の類似が成り立ちます.
$X$を複素多様体, $\mathcal{E}^{p,q}_X$を$X$の$(p,q)$複素微分形式の層, $\Omega^p_X$を$X$の$p$次正則微分形式の層とする. このとき,
$$
0 \rightarrow \Omega^{p} \hookrightarrow \mathcal{E}^{p,0} \xrightarrow{\overline{\partial}} \mathcal{E}^{p, 1} \xrightarrow{\overline{\partial}} \cdots
$$
は完全.
ド・ラームの定理
$X$を$C^\infty$多様体, $\mathcal{D}^p_X$を$X$の$p$次微分形式の層とする. 外微分$d$の$p$次部分$d: \mathcal{D}^p_X \rightarrow \mathcal{D}^{p+1}_X$を$d^p$と書く. ただし, $\mathcal{D}^{-1}_X = 0$とする. $p \geq 0$に対して,
\begin{eqnarray} H^p_{dR}(X) &=& \mathrm{Ker} \ d^p_X/\mathrm{Im} \ d^{p-1}_X \\ &=& \frac{\mathrm{Ker}(\Gamma(X, \mathcal{D}^p_X) \xrightarrow{d} \Gamma(X, \mathcal{D}^{p+1}_X))}{\mathrm{Im}(\Gamma(X, \mathcal{D}^{p-1}_X) \xrightarrow{d} \Gamma(X, \mathcal{D}^p_X))} \\ &=& \frac{\{\omega \in \Gamma(X, \mathcal{D}^p_X): d\omega = 0 \}}{\{d\eta: \eta \in \Gamma(X, \mathcal{D}^{p-1}_X) \}} \end{eqnarray}
を$X$の$p$次ド・ラームコホモロジー群という.
開集合$U \subset X$に対して, $(d^p)_U$の像を対応させる前層の層化を$d\mathcal{D}^p_X$で表します. これは, 局所的に$p+1$次完全形式になっている微分形式の層, つまりポアンカレの補題より, $p+1$次閉形式の層です. よって, $p \geq 0$に対して, ド・ラームコホモロジー群は,
$$
H^p_{dR} = \frac{\Gamma(X, d\mathcal{D}^{p-1}_X)}{\mathrm{Im}(\Gamma(X, \mathcal{D}^{p-1}_X) \xrightarrow{d} \Gamma(X, \mathcal{D}^p_X))}
$$
です.
ポアンカレの補題は, ド・ラームコホモロジーを使えば,
\begin{eqnarray} H^p_{dR}(\mathbb{R}^n) = \left\{ \begin{array}{l} \mathbb{R} \ (p = 0)\\ 0 \ (p \gt 0) \end{array} \right. \end{eqnarray}
と表せます.
$X$をパラコンパクト$C^\infty$多様体とする. このとき,
$$
H^p_{dR}(X) \simeq H^p(X, \mathbb{R}).
$$
ただし, 右辺は定数層$\mathbb{R}$に関する$X$の層係数コホモロジーである.
$H^p(X, \mathbb{R})$は特異コホモロジー群と等しいですが, それはここでは示しません.
ポアンカレの補題より, 以下の2つの完全列を得る.
\begin{eqnarray}
0 &\rightarrow& \mathbb{R} &\rightarrow& \mathcal{D}^0_X &\rightarrow& d\mathcal{D}^0_X &\rightarrow& 0 \tag{1} \label{exact_poincare_1} \\
0 &\rightarrow& d\mathcal{D}^{i-1}_X &\rightarrow& \mathcal{D}^i_X &\rightarrow& d\mathcal{D}^i_X &\rightarrow& 0 \ \ (i \geq 1) \tag{2} \label{exact_poincare_2}
\end{eqnarray}
$(1)$からコホモロジーの長完全列を作ると, $\mathcal{D}^i_X$が細層であることから高次コホモロジー群は消えるので,
$$
0 \rightarrow H^0(X, \mathbb{R}) \rightarrow H^0(X, \mathcal{D}^0_X) \rightarrow H^0(X, d\mathcal{D}^0_X) \rightarrow H^1(X, \mathbb{R}) \rightarrow 0.
$$
よって,
\begin{eqnarray}
H^0(X, \mathbb{R}) &\simeq& \mathrm{Ker}(d: H^0(X, \mathcal{D}^0_X) \rightarrow H^0(X, d\mathcal{D}^0_X)) \\
&=& H^0_{dR}(X), \\
H^1(X, \mathbb{R}) &\simeq& \frac{H^0(X, d\mathcal{D}^0_X)}{\mathrm{Im}(d: H^0(X, \mathcal{D}^0_X) \rightarrow H^0(X, d\mathcal{D}^0_X))} \\
&=& H^1_{dR}(X).
\end{eqnarray}
続いて, $p \geq 2$のコホモロジー群を計算する. 完全列$(1)$のコホモロジー長完全列から,
$$
H^{p-1}(X, d\mathcal{D}^0_X) \simeq H^p(X, \mathbb{R}) \ \ (p \geq 2)
$$
を得る. また, 完全列$(2)$のコホモロジー長完全列から, $i \geq 1$に対して次の2つの完全列を得る.
$$
H^0(X, \mathcal{D}^i_X) \rightarrow H^0(X, d\mathcal{D}^i_X) \rightarrow H^1(X, d\mathcal{D}^{i-1}_X) \rightarrow 0,
$$
$$
H^{p-1}(X, d\mathcal{D}^{i}_X) \simeq H^{p}(X, d\mathcal{D}^{i-1}_X) \ \ (p \geq 2).
$$
以上から, $p \geq 2$に対して,
\begin{eqnarray}
H^p(X, \mathbb{R}) &\simeq& H^{p-1}(X, d\mathcal{D}^0_X) \\
&\simeq& H^{p-2}(X, d\mathcal{D}^1_X) \\
&\cdots& \\
&\simeq& H^1(X, d\mathcal{D}^{p-2}_X) \\
&\simeq& \frac{H^0(X, d\mathcal{D}^{p-1}_X)}{\mathrm{Im}(d: H^0(X, \mathcal{D}^{p-1}_X) \rightarrow H^0(X, d\mathcal{D}^{p-1}_X))} \\
&=& H^p_{dR}(X). \ \square
\end{eqnarray}
ドルボーの定理
$X$を複素多様体. $\Omega^p_X$を$X$の正則$p$次微分形式の層, $\mathcal{E}^{p,q}_X$を$X$の$(p,q)$複素微分形式の層とする. $\overline{\partial}$の$(p,q)$次部分$\overline{\partial}: \mathcal{E}^{p,q}_X \rightarrow \mathcal{E}^{p,q+1}_X $を$\overline{\partial}^{p,q}$と書く. ただし, $p \lt 0$または$q \lt 0$ならば$\mathcal{E}^{p,q}_X = 0$とする. $p, q \geq 0$に対して,
\begin{eqnarray} H^{p,q}(X) &=& \mathrm{Ker} \ \overline{\partial}^{p,q}_X / \mathrm{Im} \ \overline{\partial}^{p, q-1}_X \\ &=& \frac{\mathrm{Ker}(\Gamma(X, \mathcal{E}^{p,q}_X) \xrightarrow{\overline{\partial}} \Gamma({X, \mathcal{E}^{p, q+1}_X}))}{\mathrm{Im}(\Gamma(X, \mathcal{E}^{p,q-1}_X) \xrightarrow{\overline{\partial}} \Gamma({X, \mathcal{E}^{p, q}_X}))} \\ &=& \frac{\{\omega \in \Gamma(X, \mathcal{E}^{p, q}_X): \overline{\partial}\omega = 0 \}}{\{\overline{\partial}\eta: \eta \in \Gamma(X, \mathcal{E}^{p, q-1}_X)} \end{eqnarray}
を$X$の$(p,q)$次ドルボーコホモロジー群という.
$\mathcal{D}^p_X$と同様に, $\overline{\partial}^{p,q}$の像の層化を$\overline{\partial} \mathcal{F}^{p,q}_X$で表します. $\overline{\partial}$ ポアンカレの補題より, これは$(p, q+1)$次閉形式の層になります. ド・ラームコホモロジーと同様, $q \geq 1$に対して,
$$
H^{p,q}(X) = \frac{\Gamma(X, d\mathcal{F}^{p,q-1}_X)}{\mathrm{Im}(\Gamma(X, \mathcal{E}^{p,q-1}_X) \xrightarrow{\overline{\partial}} \Gamma({X, \mathcal{E}^{p, q}_X}))}
$$
です.
$X$をパラコンパクト複素多様体, $\Omega^p_X$を$X$の正則$p$次微分形式の層とする. このとき,
$$
H^{p,q}(X) \simeq H^q(X, \Omega^p_X).
$$
証明は, ド・ラームの定理とまったく同じです.
$\overline{\partial}$ ポアンカレの補題より, 以下の2つの完全列を得る.
\begin{eqnarray}
0 &\rightarrow& \Omega^p_X &\rightarrow& \mathcal{F}^{p,0}_X &\rightarrow& d\mathcal{F}^{p,0}_X &\rightarrow& 0 \tag{3} \label{exact_dbpoincare_1} \\
0 &\rightarrow& d\mathcal{F}^{p,q-1}_X &\rightarrow& \mathcal{F}^{p,q}_X &\rightarrow& d\mathcal{F}^{p,q}_X &\rightarrow& 0 \ \ (q \geq 1) \tag{4} \label{exact_dbpoincare_2}
\end{eqnarray}
$(3)$からコホモロジーの長完全列を作ると, $\mathcal{F}^{p,q}_X$が細層であることから高次コホモロジー群は消えるので,
$$
0 \rightarrow H^0(X, \Omega^p_X) \rightarrow H^0(X, \mathcal{F}^{p,0}_X) \rightarrow H^0(X, d\mathcal{F}^{p,0}_X) \rightarrow H^1(X, \Omega^p_X) \rightarrow 0.
$$
よって,
\begin{eqnarray}
H^0(X, \Omega^p_X) &\simeq& \mathrm{Ker}(d: H^0(X, \mathcal{F}^{p,0}_X) \rightarrow H^0(X, d\mathcal{F}^{p,0}_X)) \\
&=& H^{p,0}(X), \\
H^1(X, \Omega^p_X) &\simeq& \frac{H^0(X, d\mathcal{F}^{p,0}_X)}{\mathrm{Im}(d: H^0(X, \mathcal{F}^{p,0}_X) \rightarrow H^0(X, d\mathcal{F}^{p,0}_X))} \\
&=& H^{p,1}(X).
\end{eqnarray}
完全列$(3)$のコホモロジー長完全列から,
$$
H^{q-1}(X, d\mathcal{F}^{p,0}_X) \simeq H^q(X, \Omega^p_X) \ \ (q \geq 2)
$$
を得る. また, 完全列$(4)$のコホモロジー長完全列から, $q \geq 1$に対して次の2つの完全列を得る.
$$
H^0(X, \mathcal{F}^{p,q}_X) \rightarrow H^0(X, d\mathcal{F}^{p,q}_X) \rightarrow H^1(X, d\mathcal{F}^{p,q-1}_X) \rightarrow 0,
$$
$$
H^{p-1}(X, d\mathcal{F}^{p,q}_X) \simeq H^{p}(X, d\mathcal{F}^{p,q-1}_X) \ \ (p \geq 2).
$$
以上から, $q \geq 2$に対して,
\begin{eqnarray}
H^q(X, \Omega^p_X) &\simeq& H^{q-1}(X, d\mathcal{F}^{p,0}_X) \\
&\simeq& H^{q-2}(X, d\mathcal{F}^{p,1}_X) \\
&\cdots& \\
&\simeq& H^1(X, d\mathcal{F}^{p,q-2}_X) \\
&\simeq& \frac{H^0(X, d\mathcal{F}^{p,q-1}_X)}{\mathrm{Im}(d: H^0(X, \mathcal{F}^{p,q-1}_X) \rightarrow H^0(X, d\mathcal{F}^{p,q-1}_X))} \\
&=& H^{p,q}(X). \ \square
\end{eqnarray}
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