SwiatkowskiのWronskian恒等式

\begin{align} W(fg_1,\dots,fg_r)&=\left|\begin{matrix}fg_1&\cdots&fg_r\\fg_1'+f'g_1&\cdots&fg_r'+f'g_r\\\vdots&\ddots&\vdots\\\sum_{j=0}^{r-1}\binom{r-1}jf^{(j)}g_1^{(r-1-j)}&\cdots &\sum_{j=0}^{r-1}\binom{r-1}jf^{(j)}g_r^{(r-1-j)}\end{matrix}\right|\\ &=\left|\begin{matrix}fg_1&\cdots&fg_r\\fg_1'&\cdots&fg_r'\\\vdots&\ddots&\vdots\\ fg^{(r-1)}_1&\cdots &fg_r^{(r-1)}\end{matrix}\right|\\ &=f^rW(g_1,\dots,g_r) \end{align}
と示される.

$\displaystyle h_i=\frac{g_i}{f}$とすると,定理1より,
\begin{align} W(f,g_1,\dots,g_r)=f^{r+1}W(1,h_1,\dots,h_r) \end{align}
である. ここで,
\begin{align} W(1,h_1,\dots,h_r)&=\left|\begin{matrix}1&h_1&\cdots&h_r\\0&h_1'&\cdots&h_r'\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&h_1^{(r)}&\cdots &h_r^{(r)}\end{matrix}\right|\\ &=W(h_1',\dots,h_r') \end{align}
となるから示すべき等式を得る.

$n$に関する帰納法を用いる. $n=1$のとき, 定理1, 定理2より,
\begin{align} &W(f_1)^{r-1}W(f_1,g_1,\dots,g_r)\\ &=f_1^{r-1}W(f_1,g_1,\dots,g_r)\\ &=f_1^{2r}W\left(\left(\frac{g_1}{f_1}\right)',\dots,\left(\frac{g_r}{f_1}\right)'\right)\\ &=f_1^{2r}W\left(\frac{W(f_1,g_1)}{f_1^2},\dots,\frac{W(f_1,g_r)}{f_1^2}\right)\\ &=W\left(W(f_1,g_1),\dots,W(f_1,g_r)\right) \end{align}
と示される. 次に, $n$の場合に定理が成り立つとする. このとき, 定理1, 定理2を用いると,
\begin{align} &W(W(f_1,\dots,f_{n+1},g_1),\dots,W(f_1,\dots,f_{n+1},g_r))\\ &=W\left(f_1^{n+2}W\left(\left(\frac{f_2}{f_1}\right)',\dots,\left(\frac{f_{n+1}}{f_1}\right)',\left(\frac{g_1}{f_1}\right)'\right),\dots,f_1^{n+2}W\left(\left(\frac{f_2}{f_1}\right)',\dots,\left(\frac{f_{n+1}}{f_1}\right)',\left(\frac{g_r}{f_1}\right)'\right)\right)\\ &=f_1^{r(n+2)}W\left(W\left(\left(\frac{f_2}{f_1}\right)',\dots,\left(\frac{f_{n+1}}{f_1}\right)',\left(\frac{g_1}{f_1}\right)'\right),\dots,W\left(\left(\frac{f_2}{f_1}\right)',\dots,\left(\frac{f_{n+1}}{f_1}\right)',\left(\frac{g_r}{f_1}\right)'\right)\right)\\ &=f_1^{r(n+2)}W\left(\left(\frac{f_2}{f_1}\right)',\dots,\left(\frac{f_{n+1}}{f_1}\right)'\right)^{r-1}W\left(\left(\frac{f_2}{f_1}\right)',\dots,\left(\frac{f_{n+1}}{f_1}\right)',\left(\frac{g_1}{f_1}\right)',\dots,\left(\frac{g_r}{f_1}\right)'\right)\\ &=f_1^{r(n+2)-(r-1)(n+1)-(r+n+1)}W\left(f_1,\dots,f_{n+1}\right)^{r-1}W\left(f_1,\dots,f_{n+1},g_1,\dots,g_r\right)\\ &=W\left(f_1,\dots,f_{n+1}\right)^{r-1}W\left(f_1,\dots,f_{n+1},g_1,\dots,g_r\right) \end{align}
となって示すべき等式を得る.

\begin{align} C(fg_1,\dots,fg_r)(x)&=\left|\begin{matrix}f(x)g_1(x)&\cdots&f(x)g_r(x)\\f(x+1)g_1(x+1)&\cdots&f(x+1)g_r(x+1)\\\vdots&\ddots&\vdots\\f(x+r-1)g_1(x+r-1)&\cdots &f(x+r-1)g_r(x+r-1)\end{matrix}\right|\\ &=C(g_1,\dots,g_r)(x)\prod_{j=0}^{r-1}f(x+j) \end{align}
と示される.

定理4より,
\begin{align} C(f,g_1,\dots,g_r)(x)&=\left(\prod_{j=0}^{r}f(x+j)\right)C\left(1,\frac{g_1}{f},\dots,\frac{g_r}{f}\right)\\ &=\left(\prod_{j=0}^{r}f(x+j)\right)C\left(\frac{g_1}{f}(x+1)-\frac{g_1}{f}(x),\dots,\frac{g_r}{f}(x+1)-\frac{g_r}{f}(x)\right)\\ &=\left(\prod_{j=0}^{r}f(x+j)\right)C\left(\frac{C(f,g_1)}{f(x)f(x+1)},\dots,\frac{C(f,g_r)}{f(x)f(x+1)}\right)\\ &=\left(\prod_{j=0}^{r}f(x+j)\right)\frac 1{\prod_{j=0}^{r-1}f(x+j)f(x+j+1)}C\left(C(f,g_1),\dots,C(f,g_r)\right)\\ &=\frac{1}{\prod_{j=1}^{r}f(x+j)}C\left(C(f,g_1),\dots,C(f,g_r)\right) \end{align}
となって示すべき等式を得る.

$n$に関する帰納法を用いる. $n=1$のとき, 補題5である. $n$のとき定理が成り立つと仮定する. そのとき, 補題5を用いると,
\begin{align} &C(C(f_1,\dots,f_{n+1},g_1),\dots,C(f_1,\dots,f_{n+1},g_r))(x)\\ &=C\left(\frac 1{\prod_{j=1}^{n+1}f_1(x+j)}C\left(C(f_1,f_2),\dots,C(f_1,f_{n+1}),C(f_1,g_1)\right),\dots,\frac 1{\prod_{j=1}^{n}f_1(x+j)}C(C(f_1,f_2),\dots,C(f_1,f_{n+1}),C(f_1,g_r))\right)(x)\\ &=\frac 1{\prod_{j=1}^{n+1}\prod_{k=0}^{r-1}f_1(x+j+k)}C\left(C\left(C(f_1,f_2),\dots,C(f_1,f_{n+1}),C(f_1,g_1)\right),\dots,C(C(f_1,f_2),\dots,C(f_1,f_{n+1}),C(f_1,g_r))\right)(x)\\ &=\frac{\prod_{k=1}^{r-1}C(C(f_1,f_2),\dots,C(f_1,f_{n+1}))(x+k)}{\prod_{j=1}^{n+1}\prod_{k=0}^{r-1}f_1(x+j+k)}C\left(C(f_1,f_2),\dots,C(f_1,f_{n+1}),C(f_1,g_1),\dots,C(f_1,g_r)\right)(x)\\ &=\frac{\prod_{k=1}^{r-1}\left(\prod_{j=1}^{n}f_1(x+j+k)\right)C(f_1,\dots,f_{n+1})(x+k)}{\prod_{j=1}^{n+1}\prod_{k=0}^{r-1}f_1(x+j+k)}\left(\prod_{j=1}^{n+r}f_1(x+j)\right)C\left(f_1,\dots,f_{n+1},g_1,\dots,g_r\right)(x)\\ &=\left(\prod_{k=1}^{r-1}C(f_1,\dots,f_{n+1})(x+k)\right)C\left(f_1,\dots,f_{n+1},g_1,\dots,g_r\right)(x) \end{align}
となって示すべき等式を得る.