第一種チェビシェフ多項式を連続化する

第一種チェビシェフ多項式
$T_0(x)=1$
$T_1(x)=x$
$T_2(x)=2x^2-1$
$T_3(x)=4x^3-3x $
$T_4(x)=8x^4-8x^2+1 $
$\qquad\vdots$

${\displaystyle T_{n+1}(x)=2xT_{n}(x)-T_{n-1}(x)}$ （ただし$n = 1, 2,\ldots $）

・　この記事での複素数の対数を次のように定義します。

　$\mathrm{Log}(z)=\log|z|+i\mathrm{Arg}(z)$

　ここで $\mathrm{Arg}(z)$ は偏角の主値といい、値域を $-\pi<\mathrm{Arg}(z) \le\pi$ とします。このとき

$e^{\mathrm{Log}(z)}=z$

となることに注意します。

・この記事では $\cos $の逆関数を $\cos^{-1}$ と表記し、アークコサインと呼びます。定義域・値域を次のように制限します。

　$y=\cos^{-1} x$ $\Leftrightarrow$ $x=\cos y$ 　　$(-1\le x \le 1,0\le y\le \pi)$

$T_n(\cos(t))=\cos(nt)$
に
$t=\cos^{-1}x$
を代入すると、$(|x|\leq1)$

$T_n(x)=\cos(n\cos^{-1}x)$

次に

$e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$
に

$\theta=\cos^{-1}x$
を代入すると

$\begin{align} e^{i\cos^{-1}x}&=\cos(\cos^{-1}x)+i\sin(\cos^{-1}x)\\ &=x+i\sqrt{1-x^2} \end{align}$

ここで両辺の $\mathrm{Log}$ をとります。

$i\cos^{-1}x=\mathrm{Log}(x+i\sqrt{1-x^2})$
$\cos^{-1}x=-i\mathrm{Log}(x+i\sqrt{1-x^2})$
$n\cos^{-1}x=-i\cdot n\,\mathrm{Log}(x+i\sqrt{1-x^2})$
$\begin{align} \cos\left(n\cos^{-1}x\right)&=\cos\left(-i\cdot n\mathrm{Log}(x+i\sqrt{1-x^2})\right)\\ &=\frac{1}{2}\left( e^{-i^2\cdot n\mathrm{Log}(x+i\sqrt{1-x^2})} +e^{i^2\cdot n\mathrm{Log}(x+i\sqrt{1-x^2})} \right)\\ &=\frac{1}{2}\left( (x+i\sqrt{1-x^2})^n +(x+i\sqrt{1-x^2})^{-n} \right)\\ &=\frac{1}{2}\left( (x+i\sqrt{1-x^2})^n +(x-i\sqrt{1-x^2})^{n} \right)\\ \end{align}$

最後に $i\sqrt{1-x^2}$ の部分を $\sqrt{x^2-1}$ に書き換えれば

$\begin{align} \cos\left(n\cos^{-1}x\right) &=\frac{1}{2}\left( (x+\sqrt{x^2-1})^n +(x-\sqrt{x^2-1})^{n} \right)\\ \end{align}$

$\begin{align} \therefore T_n(x) &=\frac{1}{2}\left( (x+\sqrt{x^2-1})^n +(x-\sqrt{x^2-1})^{n} \right)\\ \end{align}$