55^90と99!の大きさ比較問題

はじめに

　この記事では 数学を愛する会 さんがツイートしていた問題

55⁹⁰と99!どちらが大きい？

— 数学を愛する会 (@mathlava) February 28, 2021

についてまあまあ綺麗な解答が思い付いたのでそれについて解説していきます。

着想

　まず$55,90,99$という数字を見たとき
$$55=\sum _{k=1}^{10}k,90=9\cdot 10,99=9\cdot (10+1)$$
だなあと思ってなんとなく$n=10$として
$${55}^{90}={\left(\sum _{k=1}^{n}k\right)}^{9n}={\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)}^{9n},99!=(9(n+1))!$$
と書き直してみたらふとスターリングの公式
$$n!=\sqrt{2\pi n}{\left(\frac{n}{e}\right)}^n{e}^{r_n}(\frac{1}{12n+1}<r_n<\frac{1}{2n})$$
が思い浮かびました。これを使うと
$${\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)}^{9n}\cdot \frac{1}{(9(n+1))!}=(\frac{n\cdot e}{2\cdot 9}{)}^{9n}\cdot {\left(\frac{e}{9(n+1)}\right)}^9\cdot \frac{e^{-r_{9(n+1)}}}{3\sqrt{2\pi (n+1)}}$$
と、まあまあなんとかならないでもない形になったのでこれを評価していきます。

評価

　上式を
$$\begin{array}{rl}A& =(\frac{n\cdot e}{2\cdot 9}{)}^{9n}\cdot {\left(\frac{e}{9(n+1)}\right)}^9\\ B& =\frac{1}{3\sqrt{2\pi (n+1)}}\\ C& =e^{-r_{9(n+1)}}\end{array}$$
の三つに分けて評価していきます。

$A$の評価

$$\begin{array}{rcl}{\left(\frac{n\cdot e}{2\cdot 9}\right)}^n\cdot \frac{e}{9(n+1)}& =& {\left(\frac{10e}{18}\right)}^{10}\cdot \frac{e}{99}\\ & >& {\left(\frac{10\cdot 2.718}{18}\right)}^{10}\cdot \frac{2.7}{99}\\ & >& ({\left(\frac{27}{18}\right)}^{10}+10{\left(\frac{27}{18}\right)}^9\frac{0.18}{18})\frac{3}{110}\\ & >& (\frac{3}{2}+\frac{1}{10})\frac{3^{10}}{2^9\cdot 110}=\frac{2^4}{10}\cdot \frac{59049}{56320}>\frac{2^4}{10}\end{array}$$
と評価できるので、これを$9$乗することで
$$A>{\left(\frac{2^4}{10}\right)}^9=\frac{2^6(2^{10}{)}^3}{{10}^9}>\frac{64({10}^3{)}^3}{{10}^9}=64$$
となる。

$B$の評価

$$B=\frac{1}{3\sqrt{22\pi }}>\frac{1}{3\sqrt{25\cdot 4}}=\frac{1}{30}$$
と評価できる。

$C$の評価

　$e^{-x}>1-x$より
$$C>\exp (-\frac{1}{12\cdot 99})>1-\frac{1}{12\cdot 99}>1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$$
と評価できる。

結論

　以上より
$${\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)}^{9n}\cdot \frac{1}{(9(n+1))!}>\frac{64}{30\cdot 2}>1$$
すなわち
$${55}^{90}>99!$$
を得る。