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今週の積分#3の別解

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$$\newcommand{bm}[0]{\boldsymbol} $$

1年くらい高校数学を触っていなかったのでリハビリに今週の積分を最初から解いているのですが多分想定解よりもきれいな解法を思いついたのでメモします.

高校数学でやるなら$\operatorname{Arcsin}x$になる部分を$x=\sin\theta$で置換すればできると思います.

追記:被積分関数に不連続点ができてしまうので多分高校範囲では無いですね.

\begin{align*} \int_0^1\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}\,dx &=\int_0^1\frac{1-x}{\sqrt{1-x^2}}\,dx\\ &=\int_0^1\left(\frac1{\sqrt{1-x^2}}-\frac x{\sqrt{1-x^2}}\right)\,dx\\ &=\biggl[\operatorname{Arcsin}x-\sqrt{1-x^2}\biggr]_0^1\\ &=\frac\pi2-1. \end{align*}

おまけ

私が解いているのを隣で見ていた某氏が貼っていた解法も勝手に載せておきます.
\begin{align*} \int_0^1\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}\,dx &=\int_0^\frac\pi2\sqrt{\frac{1-\sin\theta}{1+\sin\theta}}\cdot\cos\theta\, d\theta\\ &=\int_0^\frac\pi2(1-\sin\theta)\,d\theta\\ &=\frac\pi2-1. \end{align*}

追記:許可取りました.

投稿日:202136

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がーと
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Mathlog の記事のレベルが高すぎるのでレベルを下げる活動をしています(適当)

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