∑ sin k を数IIBまでで解いてみた

数III（複素数）を使った解き方は有名ですが今回は数IIBだけで解いてみます．無理矢理変形して積和の公式を適用し，シグマの中身を$f(k+1)-f(k)$の形にします．
\begin{align*} &\sum_{k=1}^n\sin k\\ &=\frac1{\sin\frac12}\sum_{k=1}^n\sin k\sin\frac12\\ &=\frac1{\sin\frac12}\sum_{k=1}^n\frac{-\cos\left(k+\frac12\right)+\cos\left(k-\frac12\right)}2\\ &=\frac{-\cos\left(n+\frac12\right)+\cos\frac12}{2\sin\frac12} \end{align*}