∑ sin k を数IIBまでで解いてみた

数III（複素数）を使った解き方は有名ですが今回は数IIBだけで解いてみます．無理矢理変形して積和の公式を適用し，シグマの中身を$f(k+1)-f(k)$の形にします．
$$\begin{array}{rl}& \sum _{k=1}^n\sin k\\ & =\frac{1}{\sin \frac{1}{2}}\sum _{k=1}^n\sin k\sin \frac{1}{2}\\ & =\frac{1}{\sin \frac{1}{2}}\sum _{k=1}^n\frac{-\cos (k+\frac{1}{2})+\cos (k-\frac{1}{2})}{2}\\ & =\frac{-\cos (n+\frac{1}{2})+\cos \frac{1}{2}}{2\sin \frac{1}{2}}\end{array}$$