自作問題の解答 2021.3.10

問題

$f(x)=5x\ln x-(5x-8)\ln{(5x-8)}\phantom ,,\phantom ,g(x)=\frac{\ln{(5x-8)}}{\ln x}\phantom A(x>\frac 85)$とする。
(1) $3^{15}$と$7^7$の大小を比較せよ。
(2) $f(x)=0$はただ1つの実数解$\alpha$をもち、それが$3<\alpha <4$を満たす事を示せ。
(3) $g'(x)$を求めよ。
(4) $\log_4{3}$と$-1+\log_5{17}$の大小を比較せよ。

解答・解説

1. $3^{15}=3\cdot 9^7>7^7$
2. $f'(x)=5(\ln x-\ln{(5x-8)})$であるから、$\frac 85< x<2$で$f(x)$は単調増加、$2< x$で単調減少。ここで、$\lim_{x\rightarrow +0}x\ln x=0$であるから$\lim_{x\rightarrow \frac 85}f(x)=8\ln{\frac 85}>0$。したがって、$\frac 85< x<2$で$f(x)>0$。これと$f(3)=15\ln 3-7\ln 7=\ln{3^{15}}-\ln{7^7}>0$（(1)の結果から）、$f(4)=20\ln 4-12\ln{12}=4(2\ln 4-3\ln 3)=4(\ln{16}-\ln{27})<0$によって中間値の定理が適用できて題意が示される。
3. 計算するだけ。$g'(x)=\frac{f(x)}{(\ln x)^2x(5x-8)}$
4. $g'(x)$の分母は正だから$g'(x)$と$f(x)$の符号は一致する。したがって、(2)での考察から$\alpha < x$で$g'(x)<0$であり$g(x)$は単調減少。$\log_4{3}$と$-1+\log_5{17}$の大小は、双方に1を加えることで$g(4)$と$g(5)$の大小に一致することがわかり、$g(4)>g(5)$、すなわち$\log_4{3}>-1+\log_5{17}$