自作問題の解答 2021.3.10

問題

$f(x)=5x\ln x-(5x-8)\ln (5x-8)\phantom{,},\phantom{,}g(x)=\frac{\ln (5x-8)}{\ln x}\phantom{A}(x>\frac{8}{5})$とする。
(1) $3^{15}$と$7^7$の大小を比較せよ。
(2) $f(x)=0$はただ1つの実数解$\alpha$をもち、それが$3<\alpha <4$を満たす事を示せ。
(3) $g^{\prime }(x)$を求めよ。
(4) ${\log }_{4}3$と$-1+{\log }_{5}17$の大小を比較せよ。

解答・解説

1. $3^{15}=3\cdot 9^7>7^7$
2. $f^{\prime }(x)=5(\ln x-\ln (5x-8))$であるから、$\frac{8}{5}<x<2$で$f(x)$は単調増加、$2<x$で単調減少。ここで、$\underset{x\to +0}{lim}x\ln x=0$であるから$\underset{x\to \frac{8}{5}}{lim}f(x)=8\ln \frac{8}{5}>0$。したがって、$\frac{8}{5}<x<2$で$f(x)>0$。これと$f(3)=15\ln 3-7\ln 7=\ln 3^{15}-\ln 7^7>0$（(1)の結果から）、$f(4)=20\ln 4-12\ln 12=4(2\ln 4-3\ln 3)=4(\ln 16-\ln 27)<0$によって中間値の定理が適用できて題意が示される。
3. 計算するだけ。$g^{\prime }(x)=\frac{f(x)}{(\ln x{)}^{2}x(5x-8)}$
4. $g^{\prime }(x)$の分母は正だから$g^{\prime }(x)$と$f(x)$の符号は一致する。したがって、(2)での考察から$\alpha <x$で$g^{\prime }(x)<0$であり$g(x)$は単調減少。${\log }_{4}3$と$-1+{\log }_{5}17$の大小は、双方に1を加えることで$g(4)$と$g(5)$の大小に一致することがわかり、$g(4)>g(5)$、すなわち${\log }_{4}3>-1+{\log }_{5}17$