ネイピア数と小数部分の級数
はじめに
先日、 Twitter にこんな問題を投稿しました。
記号 {・} で小数部分を表すものとしまする
e.g. $\{1.618\}=0.618$
このとき、次の無限級数の和を求めてください。
${\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\{n!e\}}{n!}=? }$
とても奇麗に解けるので、初見の方は挑戦してみてほしいです!
この問題の解法について、Twitterの方でもいくつかの解き方が寄せられましたが、この記事では私の想定解法を紹介したいと思います。
ネタバレ回避のため少しスペースを開けますので下の方へスクロールしてください。
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道具立て
解くのに使う道具を紹介します。
まず、ネイピア数の次の表現を使います。
${\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}=e }$
この表現を使うと、 $n!e$ の整数部分と小数部分は次のようになります。
${\displaystyle 0!e=\underbrace{\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}}_{\text{整数部分}}+\underbrace{\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+\frac{1}{5!}+\frac{1}{6!}+\cdots}_{\text{小数部分}}}$
${\displaystyle 1!e=\underbrace{\frac{1!}{0!}+\frac{1!}{1!}}_{\text{整数部分}}+\underbrace{\frac{1!}{2!}+\frac{1!}{3!}+\frac{1!}{4!}+\frac{1!}{5!}+\frac{1!}{6!}+\cdots}_{\text{小数部分}}}$
${\displaystyle 2!e=\underbrace{\frac{2!}{0!}+\frac{2!}{1!}+\frac{2!}{2!}}_{\text{整数部分}}+\underbrace{\frac{2!}{3!}+\frac{2!}{4!}+\frac{2!}{5!}+\frac{2!}{6!}+\cdots}_{\text{小数部分}}}$
${\displaystyle 3!e=\underbrace{\frac{3!}{0!}+\frac{3!}{1!}+\frac{3!}{2!}+\frac{3!}{3!}}_{\text{整数部分}}+\underbrace{\frac{3!}{4!}+\frac{3!}{5!}+\frac{3!}{6!}+\cdots}_{\text{小数部分}}}$
${\displaystyle 4!e=\underbrace{\frac{4!}{0!}+\frac{4!}{1!}+\frac{4!}{2!}+\frac{4!}{3!}+\frac{4!}{4!}}_{\text{整数部分}}+\underbrace{\frac{4!}{5!}+\frac{4!}{6!}+\cdots}_{\text{小数部分}}}$
${\displaystyle 5!e=\underbrace{\frac{5!}{0!}+\frac{5!}{1!}+\frac{5!}{2!}+\frac{5!}{3!}+\frac{5!}{4!}+\frac{5!}{5!}}_{\text{整数部分}}+\underbrace{\frac{5!}{6!}+\cdots}_{\text{小数部分}}}$
$\qquad\vdots$
${\displaystyle n!e=\underbrace{\frac{n!}{0!}+\frac{n!}{1!}+\frac{n!}{2!}+\frac{n!}{3!}+\cdots+\frac{n!}{n!}}_{\text{整数部分}}+\underbrace{\frac{n!}{(n+1)!}+\cdots}_{\text{小数部分}}}\qquad(n\ge1)$
上記の「整数部分」が整数になることは明らかです。「小数部分」は正の数ですので、ここが $1$ より小さいことを証明すれば確かに小数部分であることが証明できることになります。
$n\ge1$ のとき
${\displaystyle \begin{align} &\frac{n!}{(n+1)!}+\frac{n!}{(n+2)!}+\frac{n!}{(n+3)!}+\frac{n!}{(n+4)!}+\cdots\\ &\qquad<\frac{1}{(n+1)}+\frac{1}{(n+1)^2}+\frac{1}{(n+1)^3}+\frac{1}{(n+1)^4}\cdots\\ &\qquad=\frac{1}{(n+1)}\cdot\frac{1}{1-\frac{1}{(n+1)}}\\ &\qquad=\frac{1}{n}\\ &\qquad\le1 \end{align} }$
小数部分は $0$ より大きく $1$ より小さいことが確認できました。
それぞれの式の小数部分を $n!$ で割れば、
${\displaystyle \frac{\{0!e\}}{0!}=\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+\frac{1}{5!}+\frac{1}{6!}+\cdots}$
${\displaystyle \frac{\{1!e\}}{1!}=\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+\frac{1}{5!}+\frac{1}{6!}+\cdots}$
${\displaystyle \frac{\{2!e\}}{2!}=\qquad\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+\frac{1}{5!}+\frac{1}{6!}+\cdots}$
${\displaystyle \frac{\{3!e\}}{3!}=\qquad\qquad\frac{1}{4!}+\frac{1}{5!}+\frac{1}{6!}+\cdots}$
${\displaystyle \frac{\{4!e\}}{4!}=\qquad\qquad\qquad\frac{1}{5!}+\frac{1}{6!}+\cdots}$
${\displaystyle \frac{\{5!e\}}{5!}=\qquad\qquad\qquad\qquad\frac{1}{6!}+\cdots}$
$\qquad\vdots$
${\displaystyle \frac{\{n!e\}}{n!}=\frac{1}{(n+1)!}+\frac{1}{(n+2)!}+\cdots\qquad(n\ge1)}$
計算の完成
これで準備が整いました。先ほどの式を使って計算を進めると
${\displaystyle
\begin{align}
\sum_{n=0}^{\infty}
\frac{\{n!e\}}{n!}&=\frac{1}{2!}&+\frac{1}{3!}&+\frac{1}{4!}+\frac{1}{5!}+\frac{1}{6!}+\cdots\\
&+\frac{1}{2!}&+\frac{1}{3!}&+\frac{1}{4!}+\frac{1}{5!}+\frac{1}{6!}+\cdots\\
&&+\frac{1}{3!}&+\frac{1}{4!}+\frac{1}{5!}+\frac{1}{6!}+\cdots\\
&&&+\frac{1}{4!}+\frac{1}{5!}+\frac{1}{6!}+\cdots\\
&&&\qquad\ddots\\
\end{align}
}$
${\displaystyle
\begin{align}
\qquad\qquad\,\,\,&=\frac{2}{2!}+\frac{3}{3!}+\frac{4}{4!}+\frac{5}{5!}+\frac{6}{6!}+\cdots\\
&=\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+\frac{1}{5!}+\cdots\\
&=-1+\sum_{n=0}^{\infty}
\frac{1}{n!}\\
&=e-1
\end{align}
}$
となり、無限級数の和が求められました。
小数部分が約分されていくところがキレイだと思います!
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