動画では∫0πxf(sinx)dx=π2∫0πf(sinx)dxを用いた解き方でしたが今回は部分積分を使った解き方を紹介します.
I=∫0πxsinx8+sin2xdxとします.xを部分積分で消したいのでxを除いた部分を積分してみます.
∫sinx8+sin2xdx=∫sinx9−cos2xdx=16∫sinx(13−cosx+13+cosx)dx=16log3−cosx3+cosx+C.
これで部分積分できるので部分積分します.
I=∫0πxsinx8+sin2xdx=[x6log3−cosx3+cosx]0π−∫0π16log3−cosx3+cosxdx=16log2−∫0π16log3−cosx3+cosxdx.
積分の部分を−π2だけ平行移動すると,(t=x−π2で置換積分して文字を変えると,)I=16log2−16∫−π2π2log3+sinx3−sinxdx.
ここで,log3+sinx3−sinxは奇関数(f(x)=−f(−x))なので,積分の部分は0になります.すなわち,I=16log2.
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