今週の積分#43の別解（部分積分）

動画では
$$ \int_0^\pi xf(\sin x)\,dx=\frac\pi2\int_0^\pi f(\sin x)\,dx $$
を用いた解き方でしたが今回は部分積分を使った解き方を紹介します．

解法

$$ I=\int_0^\pi\frac{x\sin x}{8+\sin^2x}\,dx $$
とします．$x$を部分積分で消したいので$x$を除いた部分を積分してみます．

\begin{align*} \int\frac{\sin x}{8+\sin^2x}\,dx &=\int\frac{\sin x}{9-\cos^2x}\,dx\\ &=\frac16\int\sin x\left(\frac1{3-\cos x}+\frac1{3+\cos x}\right)\,dx\\ &=\frac16\log\frac{3-\cos x}{3+\cos x}+C. \end{align*}

これで部分積分できるので部分積分します．

\begin{align*} I &=\int_0^\pi\frac{x\sin x}{8+\sin^2x}\,dx\\ &=\biggl[\frac x6\log\frac{3-\cos x}{3+\cos x}\biggl]_0^\pi-\int_0^\pi\frac16\log\frac{3-\cos x}{3+\cos x}\,dx\\ &=\frac16\log2-\int_0^\pi\frac16\log\frac{3-\cos x}{3+\cos x}\,dx. \end{align*}

積分の部分を$-\frac\pi2$だけ平行移動すると，（$t=x-\frac\pi2$で置換積分して文字を変えると，）
\begin{align*} I &=\frac16\log2-\frac16\int_{-\frac\pi2}^{\frac\pi2}\log\frac{3+\sin x}{3-\sin x}\,dx. \end{align*}

ここで，$\log\frac{3+\sin x}{3-\sin x}$は奇関数（$f(x)=-f(-x)$）なので，積分の部分は$0$になります．すなわち，
$$ I=\frac16\log2. $$