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フィボナッチ数から円周率を作る自作の式たち

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はじめに

2021年3月21日現在、私のTwitterアカウントがなぜかロックされています。誤BANだと思うので現在異議申請中ですが、しばらくツイートすることができません。
それはさておき、この記事では私が過去にツイートした「フィボナッチ数から円周率を作る式」をご紹介します。数学的に何か重要な意味があるというものではありませんが、趣味でちょこちょこ作っています。

コレクション

$F_n$ でフィボナッチ数を、$\varphi$ で黄金比を表します。$\left(\varphi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)$

その1

${\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{F_{n+3}^2-F_nF_{n+6}}{\log_{\varphi}\left( \varphi^{2n-1}-F_{2n}-F_{2n-2} \right)} =\pi }$

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記念すべきはじめての作品です。収束は遅いですが初めて作ることができた式なので感慨深いものがありますね。

その2

${\displaystyle \lim_{n\to\infty} \left\{ \frac{10i}{3} \left( \log2-\log \left( \sqrt{\frac{2F_{n+1}^2-3F_{n}^2}{F_{n+1}F_{n}}} +\frac{iF_{n+1}}{F_{n}} \right) \right) \right\} =\pi }$

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最初の式の中に黄金比 $\varphi$ が入っているのが気になって、フィボナッチ数だけを使った式を作りたくて作った式です。

その3

${\displaystyle 10\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2n-1)!!(\varphi^{2n+1}-F_{2n+2}-F_{2n})}{(2n)!!2^{2n+1}(2n+1)} =\pi }$

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収束の早いバージョンです。

その4

${\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} {2n\choose n} \frac{10}{16^n(2n+1)(F_{2n}+F_{2n+2}+F_{2n+1}\sqrt{5})} =\pi }$

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この式は2019年3月14日の「円周率の日」に発表したものですね。

その5

${\displaystyle 4\sqrt{5} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{ (-1)^nF_n\left(\frac{1}{2}\left(\frac{1}{4\varphi}\right)^n+\frac{1}{3}\left(\frac{1}{9\varphi}\right)^n \right) }{ 2n+1 } +2\varphi\log\frac{11\varphi+7}{\varphi+7} =\pi }$

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その6

${\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{ 4(-1)^nF_{n+1} }{ (2n+1)(2n+3)\left(F_{n-1}+F_{n+1}+\sqrt{5}F_n\right) } \left( \frac{ (10n+21)+(2n+1)\sqrt{5} }{ 2^{2n+3} } +\frac{ (30n+51)+(2n+1)\sqrt{5} }{ 3^{2n+3} } \right) =\pi }$

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その7

${\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{3(2n-1)!!\left(\varphi F_{n+1}+F_n\right)} {(8n)!!!!!!!!\varphi^{n+1}(2n+1)} =\pi }$

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その8

${\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \sum_{j=1}^{\infty} \frac{4(-1)^{j-1}}{2j-1} \left( \frac{1}{F_{2k+1}} \right)^{2j-1} =\pi }$

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これはずっと作りたいと思っていた、整数とフィボナッチ数だけを使った式ですね。
そのかわり二重級数になってしまいました。

その9・その10

フィボナッチ数列の奇数項から円周率
${\displaystyle \frac{5\sqrt{5}}{2} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2n-1)!!(2n-1)!!F_{2n+1}} {(2n+1)!2^{2n+1}} =\pi }$

フィボナッチ数列の偶数項から円周率
${\displaystyle 5\sqrt{ \frac{ 5-\sqrt{5} }{2}} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2n)!!(2n+2)!!F_{2n+2}} {(2n+2)!2^{2n+2}} =\pi }$

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奇数項・偶数項のペアの式です。

その11・その12

${\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} 4\tan^{-1} \frac{F_{4n-1}+F_{4n+1}} {F_{4n}^2} =\pi }$

${\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n 4\tan^{-1} \frac{F_{4n+1}+F_{4n+5}} {F_{4n+3}^2} =\pi }$

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交代級数とのペアの式です。

その13

${\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} 4\tan^{-1} \frac{3\left(F_{8n+5}+F_{8n+7}+F_{8n+9}+F_{8n+11}\right)} {F_{8n+8}^2} =\pi }$

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その14

${\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} 4\tan^{-1} \frac{F_{2m}\left(F_{2m(2k+1)}-F_{2m(2n-1)}\right)} {F_{4mn}^2} =\pi }$

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$m$ を大きくすることで好きなだけ収束の速さを加速できるバージョン。

その15

${\displaystyle \lim_{n\to\infty} \left( \frac{ 4\left( \tan^{-1}\frac{F_{4n+3}+F_{4n+5}}{F_{4n+4}^2} \right)^2 }{ \tan^{-1}\frac{F_{4n+3}+F_{4n+5}}{F_{4n+4}^2} -\tan^{-1}\frac{F_{4n+7}+F_{4n+9}}{F_{4n+8}^2} } +\sum_{k=1}^{n} 4\tan^{-1}\frac{F_{4k-1}+F_{4k+1}}{F_{4k}^2} \right) =\pi }$

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複雑ですが収束は早いバージョン。
加速法を使っていますね。

その16

${\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{ 2\sqrt{2}(2n-1)!!\left( \sqrt{\varphi}F_{n+1}+\sqrt{\varphi^{-1}}F_n \right) \left( \sqrt{\varphi^{-1}} \right)^{2n+1} }{ (4n)!!!!(2n+1) } =\pi }$

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番外編その1

${\displaystyle \frac{1}{\varphi} \left( 5+10\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{1-(10n)^2} \right) =\pi }$

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フィボナッチ数は使っていませんが、黄金比を使った級数です。

番外編その2

$\{a_n\}$ を次の漸化式で定義される数列とします。

  $\begin{cases} a_0=2\\ a_1=10\\ a_{n}=10a_{n-1}-5a_{n-2}\qquad(n\ge2) \end{cases}$

最初の数項はこのようになります。
  $\{a_n\}=\{2,10,90,850,8050,76250,\ldots\}$

また、記号$\{\cdot\}$で小数部分を表すものとします。
    $\text{e.g.}\qquad\{1.618\}=0.618$

このとき、
${\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n\cdot20\sqrt{5-2\sqrt{5}}}{ \left( 2\sqrt{5}a_n-5\cdot\left\{ \frac{\left(5+2\sqrt{5}\right)a_n}{10} \right\} \right) \left( 2n+1 \right) } =\pi }$

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これは2021年3月14日の円周率の日にツイートしたものですね。
フィボナッチ数に類似した数列を使った級数です。

おわりに

初めてまとめてみましたが、結構たくさん作っていましたね。
どうやって導出したのか忘れてしまったものもあります。
メモは残っていると思うのですが。

投稿日:2021321

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apu_yokai
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