薄い圏の考察(13).薄い圏をターゲットとするKan拡張。

薄い圏をターゲットとするKan拡張を、圏の余完備（Cocomplete）性すなわち「任意の（局所小な）余極限がすべて存在するものとする」を与えずに考えてみたい。

まず、一般の圏における上限の定義を以下のように与えておく。

局所的小圏$\mathcal{C}$における対象の集まり$Ob(\mathcal{C})$の部分類$ B$に対して$a\in Ob(\mathcal{C})$は以下の２条件を満たすものとする。

1. 任意の$b\in B$に対して、射$b\to a$ が存在する(上界性)。
2. $a'\in Ob(\mathcal{C})$が存在して任意の$b\in B$に対して、射$b\to a'$ が存在するものならば、射$a\to a'$ が存在する(最小上界性)。

　このような$a$が存在するとき、これを$B$の上限と呼び、$supB$,$\bigvee b$ などで表記する。
　$B$が空のときは、条件1が自明に満たされ（空なる真）、すべての対象が空集合の上界になる。よって条件2より、任意の対象に向かって射が存在するような対象、すなわち$Ob(\mathcal{C})$における始対象（$0$ または $\bot$で表記する）が存在すれば、それが$supB$となる。

　上限は対象として一意に決まるとは限らないが、$a_1,a_2$がともに上限だとすると、条件2より射$a_1\to a_2$ と射$a_2\to a_1$ がともに存在するので$a_1,a_2$は対象同型となる。そこからただちに、$\mathcal{C}$が骨格的な圏ならば、上限は一意になることがわかる。

命題。局所的小圏$\mathcal{C}$と$\mathcal{D}$のあいだに関手Fが定義され、$Ob(\mathcal{C})$の部分類$ B$に対して$supB$と$supT(B):=sup(T(B))$ がそれぞれ存在するとする。このとき射$supT(B)\to T(supB)$が存在する。
（証明）上限の上界性より、任意の$b\in B$に対して、射$b\to supB$ が存在。Tの関手性より射$T(b)\to T(supB)$ が存在。$supT(B)$の最小上界性より射$supT(B)\to T(supB)$ が存在。（証明終）

　$\mathcal{C}$が薄い圏の場合、自動的に上記の射の存在条件が、射の唯一存在条件に強まる。たとえば（広義の）順序関係による薄い圏$C(B,\leq)$で見ると、$supB$は

1. 任意の$b\in B$に対して、$b\leq supB$.
2. $a'\in Ob(\mathcal{C})$が存在して任意の$b\leq B$に対して$b\leq a'$ となるならば、$supB\leq a'$.

を満たす対象として定義される。特にBが骨格的な小圏、すなわち半順序集合のとき$supB$は（存在すれば）一意に定まる。

　この前提のもとで、薄い圏における左カン拡張（Left Kan Extension）を考える。

命題。$\mathcal{C}$を薄い局所的小圏とする。関手 $K: \mathcal{A} \to \mathcal{X}$ と$ F: \mathcal{A} \to \mathcal{C}$ に対して、$\mathrm{Ob}(\mathcal{C})$ の部分類（対象の集まり）$B_x(x\in \mathcal{X})$を
$$B_x = \{ F(a) \mid a \in \mathcal{A} \text{ に対して射 } K(a) \to x \text{ が存在する} \}$$
とする。さらに$sup\ B_x$が存在するとき、そのうちのひとつを任意に一つ選んで$Sup_KF(x)$と定める。（この論考では、要素を選択できる類しか扱わない前提であったことに注意。）
　このとき、$Sup_KF(x)$によって定めた関手$Sup_KF:\mathcal{X}\to \mathcal{C}$は、$F$ の $K$ に沿った左カン拡張$Lan_K F$となり、逆に$F$ の $K$ に沿った左カン拡張$Lan_K F$は$Sup_KF:\mathcal{X}\to \mathcal{C}$と各対象ごとに同型になる。$sup\ B_x$が存在しない$x\in \mathcal{X}$があるとき、$F$ の $K$ に沿った左カン拡張は定義できない（失敗）。

（証明）
まず一般の圏における左カン拡張の定義を以下で与える。
『関手 $K: \mathcal{A} \to \mathcal{X}$ と$ F: \mathcal{A} \to \mathcal{C}$ に対して、$F$ の $K$ に沿った左カン拡張ができるとは、関手$Lan_K F: \mathcal{X} \to \mathcal{C}$と自然変換 $\eta: F \Rightarrow Lan_K F \circ K$の組が存在して、任意の関手$M: \mathcal{X} \to \mathcal{C}$と自然変換$ \alpha: F \Rightarrow M \circ K$に対して、一意的な自然変換$\bar{\alpha}: Lan_K F \Rightarrow M$が存在して$\mathcal{A}$での任意の射$f$に対して可換図式
$(M\circ K)(f)\circ \alpha =\bar{\alpha}\circ F(f)$が成り立つこと。』

　「薄い圏の考察(3)」で見たように、$\mathcal{C}$が薄い圏のとき、関手$T: \mathcal{A} \to \mathcal{C}$と関手$T': \mathcal{A} \to \mathcal{C}$のあいだに射の族{$T(a)\to T'(a)\}_{a\in Ob(\mathcal{A})}$が存在すれば、それが関手Tから関手T'への唯一の自然変換、各$T(a)\to T'(a)$はその成分となり、可換図式も自動的に満たす。よって、上記の薄い圏での左カン拡張の定義は以下のように書き直される。

『関手 $Lan_K F: \mathcal{X} \to \mathcal{C}$ が左カン拡張であるとは、次の2条件を満たすことである。

1. 任意の $a \in \mathcal{A}$ に対して、射 $F(a) \to Lan_K F(K(a))$ が存在する。
2. 任意の関手 $M: \mathcal{X} \to \mathcal{C}$ について、「任意の $a \in \mathcal{A}$ に対して射 $F(a) \to M(K(a))$ が存在する」ならば、任意の $x \in \mathcal{X}$ に対して射 $Lan_K F(x) \to M(x)$ が存在する。』

以下、この定義にもとづいて証明を与える。

各 $x,y\in \mathcal{X}$ に対して $Sup_KF(x)$ を対象の写像、$Sup_KF(x)\to Sup_KF(y)$を射の写像とする関手$Sup_KF: \mathcal{X} \to \mathcal{C}$が $Lan_K F$ の条件を満たすことを示す。

1.$Sup_KF$ が関手としてwell-definedであること。
　$\mathcal{X}$ における任意の射 $x \to y$ が存在するとき、射 $Sup_KF(x) \to Sup_KF(y)$ が存在することを示す。
$B_x$ の任意の元 $F(a)$ をとる。定義より、射 $K(a) \to x$ が存在する。
いま、射 $x \to y$ が存在するので、射の合成により、射 $K(a) \to x \to y$ が存在する。
これは、$F(a)$ が $B_y$ の元でもあることを意味する（$B_x \subset B_y$）。
$Sup_KF(y) \cong \sup B_y$ は $B_y$ の上界であるため、任意の $F(a) \in B_x$ に対しても射 $F(a) \to Sup_KF(y)$ が存在する。
したがって、$Sup_KF(y)$ は集合 $B_x$ の上界の1つである。
$Sup_KF(x)$ は $B_x$ の最小上界であるため、上界 $Sup_KF(y)$ への射が必ず存在する。
「薄い圏の考察３」の命題１より、この射の存在によって関手性（結合律・恒等射の保存）は自動的に満たされる。よって $Sup_KF: \mathcal{X} \to \mathcal{C}$ は関手となる。
2.自然変換 $\eta: F \Rightarrow Sup_KF \circ K$ の存在。
　任意の $a \in \mathcal{A}$ に対して、射 $F(a) \to Sup_KF(K(a))$ が存在することを示す。
$x = K(a)$ として集合 $B_{K(a)}$ を考えると、恒等射 $K(a) \to K(a)$ が存在するため、
$$F(a) \in B_{K(a)}$$
である。$Sup_KF(K(a))$ は $B_{K(a)}$ の上界であるから、その元である $F(a)$ からの射が必ず存在する。
3. 左カン拡張の普遍性。
任意の関手 $M: \mathcal{X} \to \mathcal{C}$ と、自然変換 $\alpha: F \Rightarrow M \circ K$（すなわち任意の $a$ に対して射 $F(a) \to M(K(a))$ が存在する）が与えられたとき、任意の $x \in \mathcal{X}$ に対して射 $Sup_KF(x) \to M(x)$ が存在することを示す。
任意の $x \in \mathcal{X}$ を固定し、集合 $B_x$ の任意の元 $F(a)$ をとる。定義より、射 $K(a) \to x$ が存在する。
$M$ は関手であるため、射 $M(K(a)) \to M(x)$ が存在する。
仮定より射 $F(a) \to M(K(a))$ が存在するので、これらを合成すると、射 $F(a) \to M(K(a)) \to M(x)$ が存在する。
これが任意の $F(a) \in B_x$ について成り立つため、対象 $M(x)$ は集合 $B_x$ の上界の1つである。
$Sup_KF(x)$ は $B_x$ の最小上界であるから、上界 $M(x)$ への射が必ず存在する。（証明終）

　次に、各対象での左Kan拡張が一意であること、すなわち
『関手 $M: \mathcal{X} \to \mathcal{C}$ が $F$ の $K$ に沿った左Kan拡張（$Lan_K F$）であるならば、任意の $x \in \mathcal{X}$ に対して、 $M(x)$ は$Sup_KF(x)$ と対象同型（$M(x) \cong Sup_KF(x)$）になる』を示す。
（証明）
$M$ を左Kan拡張とする。定義より、自然変換 $\eta: F \Rightarrow M \circ K$ が存在する。すなわち、任意の $a \in \mathcal{A}$ に対して射 $F(a) \to M(K(a))$ が存在する。
ステップ1：$M(x)$ は $B_x$ の「上界」であることを示す。
任意の $x \in \mathcal{X}$ を固定し、対象の集まり $B_x = \{ F(a) \mid K(a) \to x \text{ が存在する} \}$ を考える。
$B_x$ の任意の元 $F(a)$ をとる。定義より射 $K(a) \to x$ が存在する。
$M$ は関手であるため、射 $M(K(a)) \to M(x)$ が存在する。
ここで、自然変換 $\eta$ の存在から射 $F(a) \to M(K(a))$ が存在するので、これらを合成すると、射 $F(a) \to M(x)$ が存在する。
これが任意の $F(a) \in B_x$ について成り立つため、$M(x)$ は集合 $B_x$ の上界の1つである。
ステップ2：射 $Sup_KF(x) \to M(x)$ の存在を示す。
ステップ1より $M(x)$ は上界のひとつなので、$Sup_KF(x) \cong \sup B_x$ の最小上界性より射 $Sup_KF(x) \to M(x)$ が存在する。
ステップ3：射 $M(x) \to Sup_KF(x)$ の存在を示す。
上述の議論で見たように、 $Sup_KF: \mathcal{X} \to \mathcal{C}$ はそれ自体が関手であり、かつ任意の $a$ に対して射 $F(a) \to Sup_KF(K(a))$（自然変換のコンポーネント）を持っている。
ここで、$M$ が左Kan拡張である定義の条件2より、射 $M(x) \to Sup_KF(x)$ が存在する。
よって$M(x)$と$Sup_KF(x)$は対象同型となる。（証明終）

　また$supB_x$が存在しないのに左カン拡張$Lan_K F(x)$が存在するとすると、上議論より$Lan_K F(x)\cong Sup_KF(x)$。そのような$Sup_KF(x)$が存在しないのに矛盾。
（命題の証明終）

　上命題から、薄い圏をターゲットとする左カン拡張ができる必要十分条件は任意の$x\in X$に対して$supB_x$が定義できることと言える。

　次に$\mathcal{C}$を一般の局所的小圏として、関手 $K: \mathcal{A} \to \mathcal{X}$ と$ F: \mathcal{A} \to \mathcal{C}$ に対して、$F$ の $K$ に沿った左カン拡張$\text{Lan}_K F:\mathcal{X}\to \mathcal{C}$が定義できるとする。一般の圏においては、$x\in Ob(\mathcal{C})$における左カン拡張 $(\text{Lan}_K F)(x)$ は、$x\in Ob(\mathcal{C})$におけるコンマ圏 $(K \downarrow x)$ からの余極限として与えられる。すなわち、$\mathcal{C}$ の対象のあつまり
$$B_x = \{ F(a) \mid a \in \mathcal{A}, \, \text{射 } K(a) \to x \text{ が存在する} \}$$
およびそれらの間の（コンマ圏から誘導される）射のなす図式に対して、$(\text{Lan}_K F)(x)$ は余円錐の頂点（普遍対象）である。したがって、任意の $a \in \mathcal{A}$ と射 $K(a) \to x$ に対して、$\mathcal{C}$ において普遍射（余極限の足）
$$\iota_a: F(a) \to (\text{Lan}_K F)(x)$$
が存在する。(このあたりの、コンマ圏によるカン拡張の特徴づけや普遍射の存在証明については説明を略す。一般の圏論教科書を参考していただきたい。またこの視点に立つと、$B_x$ は単なる対象の集まりではなく「コンマ圏 $(K \downarrow x)$ を定義域とする図式（関手）の像」となることを注意しておく。)

　そして同じく$\mathcal{C}$においても、$supB_x$が存在するならば、そのうちの一つを選んで$Sup_KF(x)$と置くことによって関手$Sup_KF:\mathcal{X}\to \mathcal{C}$を定義することができる。上で見たように$Lan_K​F(x)$は$B_x$の上界の一つとなっている。よって$supB_x$が存在する、すなわち$Sup_KF(x)$を定義できるならば、その最小上界性より、射 $Sup_KF(x)​\to Lan_K​F(x)$ が存在する。

　ここでさらに薄い圏$\mathcal{D}$に対して薄化関手$T: \mathcal{C}\to \mathcal{D}$が定義されているとすると、次の命題が成り立つ。

命題。合成関手$T\circ F:\mathcal{A}\to \mathcal{D}$ の $K$ に沿った左カン拡張$\text{Lan}_K (T\circ F): \mathcal{X} \to \mathcal{D}$が定義できるならば、任意の$x\in \mathcal{X}$に対して射$\text({Lan}_K (T\circ F))(x)\to (T\circ Sup_KF)(x)\to (T\circ\text{Lan}_K F)(x)$
が存在する。
（証明）
$\mathrm{Ob}(\mathcal{D})$ の部分類$B'_x(x\in \mathcal{X})$を
$B'_x = \{ (T\circ F)(a) \mid a \in \mathcal{A} \text{ に対して射 } K(a) \to x \text{ が存在する} \}$
で定義する。このとき
$Sup_K(T\circ F)(x):=sup\ B'_x$（上限が複数あるときは、そのうちのひとつを任意に一つ選ぶ）
によって定めた関手$Sup_K(T\circ F):\mathcal{X}\to \mathcal{D}$が、$T\circ F$ の $K$ に沿った左カン拡張$Lan_K (T\circ F)$となるのは、上命題より直接的に分かる。

　次に、任意の $x \in \mathcal{X}$ に対して、$\mathcal{D}$ における射 $\text({Lan}_K (T\circ F))(x)\to (T\circ\text{Lan}_K F)(x)$が存在することを示す。
　上で見たように、任意の $a \in \mathcal{A}$ と射 $K(a) \to x$ に対して、$\mathcal{C}$ において普遍射
$\iota_a: F(a) \to (\text{Lan}_K F)(x)$が存在する。
　そこで、薄化関手 $T: \mathcal{C} \to \mathcal{D}$ を適用すると、関手の射を保存する性質により、$\mathcal{D}$ において射
$T(\iota_a): (T \circ F)(a) \to (T \circ \text{Lan}_K F)(x)$
が存在する。これは、$\mathcal{D}$ の対象 $(T \circ \text{Lan}_K F)(x)$ が、集合 $B'_x$ の上界の1つであることを意味している。
　$Sup_K(T\circ F)(x) \cong \sup B'_x$ の最小上界性より
射$Sup_K(T\circ F)(x) \cong \text{Lan}_K (T \circ F)(x)\to (T \circ \text{Lan}_K F)(x) $
が存在する。
また、先に見た関手と上限の関係より
射$\text{Lan}_K (T \circ F)(x)\to (T\circ Sup_KF)(x)$が存在する。したがって、命題の射列（射の連鎖）が得られる
（証明終）

　この命題は、薄い関手圏$[\mathcal{X}, \mathcal{D}]$における関係（射）を≤で表したとき
$\text{Lan}_K (T\circ F)\cong Sup_K(T\circ F)≤T\circ Sup_KF≤T\circ\text{Lan}_K F$
が成立していることを示す。（薄い圏では、自然同型性を確認せずともよいことに注意）

　以下、下限と右カン拡張についても述べておく（証明略）。

　局所的小圏$\mathcal{C}$ における対象の集まり$Ob(\mathcal{C})$の部分類$ B$に対して、$a\in Ob(\mathcal{C})$は以下の2条件を満たすものとする。
　1.下界性: 任意の$b\in B$に対して、射$a\to b$が存在する。
　2.最大下界性: $a'\in Ob(\mathcal{C})$が存在して任意の$b\in B$ に対して射$a'\to b$が存在するならば、射$a'\to a$が存在する。
　このような$a$が存在するとき、これを$B$の下限と呼び、$ infB$や$\bigwedge b$などで表記する。
　$B$が空のときは$ Ob(\mathcal{C})$における終対象（$1$または$\top$ ）が存在すれば、それが$\inf B$となる。
　$\mathcal{C}$が骨格的な圏ならば、下限は一意になる。

命題。 局所的小圏$\mathcal{C}$ と$ \mathcal{D}$ のあいだに関手$F$が定義され、$Ob(\mathcal{C})$の部分類$B$に対して$ \inf B$ と$ \inf T(B)$がそれぞれ存在するとする。このとき、以下の射が存在する。
$ T(infB)\to infT(B)$.

命題。 $\mathcal{C}$ を薄い局所的小圏とする。関手$K: \mathcal{A} \to \mathcal{X}$と$F: \mathcal{A} \to \mathcal{C}$に対して、上で定めた$\mathrm{Ob}(\mathcal{C})$の部分類$B_x(x\in \mathcal{X})$を取る。$infB_x​$ が存在するとき、そのうちのひとつを任意に選んで$ Inf_K F(x)$と定める。 このとき、$Inf_K F(x)$によって定めた関手$Inf_K F:\mathcal{X}\to \mathcal{C}$は、$F$の$K$に沿った右カン拡張$Ran_K F$ となり、逆に右カン拡張$Ran_K F$は$Inf_K F$と各対象ごとに同型になる。 （$infB_x​$​が存在しない$x\in \mathcal{X}$があるとき、右カン拡張は定義できない。）

　$\mathcal{C}$を一般の局所的小圏としたとき、右カン拡張$Ran_K F(x)$はコンマ圏$(x \downarrow K)$からの極限（普遍対象）として与えられる。$\mathcal{C}$においても$\inf B_x$ が存在するならば、射$Ran_K F(x) \to Inf_K F(x)$が存在する。

　さらに、薄い圏$\mathcal{D}$ に対して薄化関手$T: \mathcal{C}\to \mathcal{D}$が定義されているとすると、以下の命題が成り立つ。

命題。合成関手$ T\circ F:\mathcal{A}\to \mathcal{D}$の$K$ に沿った右カン拡張$Ran_K (T\circ F): \mathcal{X} \to \mathcal{D}$が定義できるならば、任意の$ x\in \mathcal{X}$に対して以下の射列が存在する。
$(T\circ Ran_K​F)(x)\to (T\circ Inf_K​F)(x)\to Ran_K​(T∘F)(x).$

　この命題は、薄い関手圏$[\mathcal{X}, \mathcal{D}]$ における関係（射）を$\leq$で表したとき、以下の不等式が成立していることを示す。
$T\circ Ran_K​F\leq T\circ Inf_K​F\leq Ran_K​(T\circ F).$

「圏論におけるすべての概念はカン拡張」ということばが正しければ「ターゲットを薄圏とするすべての概念は上限下限」ということになる。