断面曲率から曲率テンソルが決まる幾何学的な理由

リーマン幾何学において，断面曲率はリーマン曲率テンソルの情報を全て含んでいることが知られている．本記事の目的は，Bianchi恒等式が$\mathrm{Gr}(2, n)$のPlücker関係式と同じ形をしているという観点に着目し，この事実に対して幾何学的な証明を与えることである．

断面曲率

$(M, g)$をリーマン多様体とし，$\nabla$をLevi-Civita接続とする．$$ R(X, Y)Z := \nabla_X \nabla_Y Z - \nabla_Y \nabla_X Z - \nabla_{[X, Y]} Z \qquad \forall X, Y, Z \in \Gamma(TM)$$で定まる(1,3)型テンソル場$R$をリーマン曲率テンソルという．また，$$ R(X, Y, Z, W) := g(R(X, Y)Z, W) \qquad \forall X, Y, Z, W \in \Gamma(TM)$$で定まる(0,4)型テンソル場も$R$で表す．リーマン曲率テンソルが多様体の内在的な曲率の情報を全て保持しており，リッチ曲率やスカラー曲率などの各種曲率はリーマン曲率テンソルから得られる．その中でも今回は断面曲率に着目する．

リーマン曲率テンソルは，いくつかの対称性を持つ．

1. $R(X, Y, Z, W) = -R(Y, X, Z, W)$
2. $R(X, Y, Z, W) = -R(X, Y, W, Z)$
3. $R(X, Y, Z, W) = R(Z, W, X, Y)$

まず1つ目は，定義からすぐにわかる通り，左側の2つの成分は反対称であることを意味している．また，少し計算すると，右側の2成分についても反対称であることがわかり，それが2つ目の対称性である．さらに，左右の2成分をまとめて扱えば対称であり，それが3つ目の対称性である．すなわちリーマン曲率テンソルは，$$ R(X \wedge Y, Z \wedge W) := R(X, Y, Z, W)$$によって$R\in \Gamma(S^2(\operatorname{{\textstyle\bigwedge}}^2 T^{\ast} M))$とみなせる．ここで$\operatorname{{\textstyle\bigwedge}}^2$は交代テンソル，$S^2$は対称テンソルを表す．

何が問題か

$E$を有限次元ベクトル空間とし，$A \in S^2(E^{\ast})$を対称双線形形式とする．すなわち$A \colon E \times E \to \mathbb{R}$は双線形形式であり，任意の$v, w \in E$に対して$A(v, w) = A(w, v)$を満たす．極化恒等式$$ A(v, w) = \frac{1}{2}\left(A(v + w, v + w) - A(v, v) - A(w, w)\right)$$が成り立つことから，$A$はそれが定める斉次2次多項式$$ q_A \colon E \to \mathbb{R}, \qquad q_A(v) = A(v, v)$$によって一意に決定される．そして逆に，斉次2次多項式から対称双線形形式が得られる．すなわち，対称双線形形式を調べることと，斉次2次多項式を調べることは等価である．

$E = \operatorname{{\textstyle\bigwedge}}^2 T_xM$とすると，$R_x \in S^2(E^{\ast})$であるから，$R_x$はその斉次2次多項式$q_{R_x}$から定まる．そして，断面曲率は$K(\sigma) = -q_{R_x}(v \wedge w)$で与えられる($v, w \in T_x M$は$\sigma$の正規直交基底)．したがって一見すると，全ての点$x \in M$と全ての2次元部分空間$\sigma \subset T_x M$に対する断面曲率$K(\sigma)$が与えられれば斉次2次多項式$q_{R_x}$が決定され，結果としてリーマン曲率テンソル$R_x$が復元されるように思える．しかしこれは正しくない．なぜならば，$E$には$v_1 \wedge w_1 + v_2 \wedge w_2$のような和の形の元も含まれており，そのような元に対する$q_{R_x}$の値は断面曲率からは指定されないからである．

ではなぜ断面曲率からリーマン曲率テンソルが復元されるのかというと，リーマン曲率テンソルはBianchi恒等式$$ R(X, Y, Z, W) + R(X, Z, W, Y) + R(X, W, Y, Z) = 0 \qquad \forall X, Y, Z, W \in \Gamma(TM)$$を満たすからである．

Plücker関係式

$V$を$n$次元ベクトル空間とする．$V$の$m$次元部分空間全体の集合を$\mathrm{Gr}(m, V)$で表し，グラスマン多様体という．$W \in \mathrm{Gr}(m, V)$とし，$W$の基底$\{w_1, \dots, w_m\}$を取ると，$w_1 \wedge \cdots \wedge w_m \in \operatorname{{\textstyle\bigwedge}}^m V$が定まる．$w_1 \wedge \cdots \wedge w_m$が基底の取り方によって定数倍だけ変化することを踏まえれば，射影空間への写像$$ \mathrm{Gr}(m, V) \to \mathbb{P}(\operatorname{{\textstyle\bigwedge}}^m V), \qquad W \mapsto [w_1 \wedge \cdots \wedge w_m]$$がwell-definedに定まることがわかる．これをPlücker埋め込みという．$V$の基底$\{e_1, \dots, e_n\}$を取ると，$\operatorname{{\textstyle\bigwedge}}^m V$の基底は$\{e_I = e_{i_1} \wedge \cdots \wedge e_{i_m} \mid 1 \leq i_1 < \cdots < i_m \leq n\}$で与えられる．ここで$I = (i_1, \dots, i_m)$は多重添え字である．したがって$\alpha \in \operatorname{{\textstyle\bigwedge}}^m V$に対して$$ \alpha = \sum_I \xi_I(\alpha)e_I$$とすることで，$\operatorname{{\textstyle\bigwedge}}^m V$の座標関数$\{\xi_I\}_I$が定まる．$\mathbb{P}(\operatorname{{\textstyle\bigwedge}}^m V)$の斉次座標は$[\xi_{I_1} \colon \cdots \colon \xi_{I_N}] \,\, (N = \binom{n}{m})$で与えられる．Plücker埋め込みは一般には全射ではなく，その像はPlücker関係式と呼ばれる，座標関数の2次多項式によって特徴付けられる．

定義からわかるように，Plücker埋め込みの像は$$ \{[w_1 \wedge \cdots \wedge w_m] \in \mathbb{P}(\operatorname{{\textstyle\bigwedge}}^m V) \mid w_1, \dots, w_m \in V \text{は一次独立}\}$$という部分集合に一致する．したがってPlücker関係式は，$\alpha \in \operatorname{{\textstyle\bigwedge}}^m V$が$\alpha = w_1 \wedge \cdots \wedge w_m$のような“単項式”の形で表されるための必要十分条件を与えているとも解釈できる．そこで，そのような元からなる$\operatorname{{\textstyle\bigwedge}}^m V$の部分集合を$$ D = \{w_1 \wedge \cdots \wedge w_m \mid w_1, \dots, w_m \in V\} \subset \operatorname{{\textstyle\bigwedge}}^m V$$と表すことにする．$D$はPlücker埋め込みの像の affine cone である．

本記事の目的のためには$m=2$の場合が重要であるから，$m=2$のPlücker関係式をもう少し調べる．$m=2$の場合のPlücker関係式は4つの添え字$1 \leq i, j, k, l \leq n$で定まる．そこで，任意の$1 \leq i,j,k,l \leq n$に対して，$P_{ijkl} \colon \wedge^2 V \to \mathbb{R}$をPlücker関係式の左辺$$ P_{ijkl}(\alpha) = \xi_{ij}(\alpha)\xi_{kl}(\alpha) - \xi_{ik}(\alpha)\xi_{jl}(\alpha) + \xi_{il}(\alpha)\xi_{jk}(\alpha)$$で定める．このとき$P_{ijkl}$は添え字$i,j,k,l$に関して完全反対称な斉次2次多項式になっていることがわかる．したがって，Plücker関係式は，昇順の$i < j < k < l$に対する$P_{ijkl} = 0$だけを考えれば十分である．

すなわち$D$は2次式$P_{ijkl}$たちの零点集合として特徴付けられるから，$D$上で消える斉次2次多項式は$P_{ijkl}$たちの線形結合として表される．

証明

前節同様，$V$の基底$\{e_1, \dots, e_n\}$を固定しておく．また，$A \in S^2(\operatorname{{\textstyle\bigwedge}}^2 V^{\ast})$に対して$A_{ijkl} = A(e_i \wedge e_j, e_k \wedge e_l)$とおく．$A$がBianchi恒等式を満たすとは，任意の$1 \leq i,j,k,l \leq n$に対して$A_{ijkl} + A_{iklj} + A_{iljk} = 0$が成り立つことである．$S^2(\operatorname{{\textstyle\bigwedge}}^2 V^{\ast})$の元のうち，Bianchi恒等式を満たすもの全体を$\mathcal{R}(V)$で表すことにする．リーマン曲率テンソル$R$は点$x \in M$において$R_x \in \mathcal{R}(T_x M)$である．

Bianchi恒等式の2項目を少し書き換えると$$ A_{ijkl} - A_{ikjl} + A_{iljk} = 0$$となり，$\mathrm{Gr}(2, V)$のPlücker関係式と同じ形になっていることがわかる．これから次の命題が従う．

以上の準備をもとに，本記事の主目的である定理を証明する．主張したいことは，$A \in \mathcal{R}(V)$の元が$D$上での値だけで決定されるということである．