相加相乗平均の大小関係(単純不等式で示したい!)

証明
$0$以上の$a_{k}(k=1,2, \cdots n)$について,最低一つ$0$が存在するとき,総和は$0$以上であり,その積は$0$となるので,題意を満たす.
以下$1$以上$n$以下の任意の整数$k$に対して$a_{k}≠0$として考える.
また,その平均値を$A$即ち,
$\displaystyle \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n}a_{k}$$=A$とし,
$a_{k} (k=1,2, \cdots n)$のうち$A$と等しくないものの個数を$l$個とする.
$(Ⅰ)$ $l=0$のとき
総和総積共にAであり,等号成立.
$(Ⅱ)$ $l>0$のとき
(このとき自明に,$n \geq 2$である.)
$A$は平均であるから,$a_{i}>A$,$a_{j}< A$なる$1$以上$n$以下の相異なる整数$i$,$j$が存在する.(言葉で言うならAが平均だからAより大きいものがあれば小さいものも必要,逆も然りと言うこと)
以降そのような$i$と$j$を用いる.

ここで以下の操作を上記のような$i$,$j$が存在する限り続けることを考える.

操作
$m$回の操作を行った数列$\{a_{n}^{(m)}\}$ を
$a_{k}^{(m)} (k=1,2, \cdots n)$とし,
$\{a_{n}^{(0)}\}$を$a_{k}(k=1,2, \cdots n)$とする.
数列$\{a_{n}^{(m)}\}$ の和を変えないように$A$と異なる$a_{i}^{(m)},a_{j}^{(m)}$を次のように置き換える操作をし,数列$\{a_{n}^{(m+1)}\}$ を作る.
$$ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} a_{i}^{(m+1)}=A\\ a_{j}^{(m+1)}=a_{i}^{(m)}+a_{j}^{(m)}-A\\ a_{k}^{(m+1)}=a_{k}^{(m)} (k≠i,j) \end{array} \right. \end{eqnarray} $$

$$ a_{k}^{(m)}(k=1,2, \cdots n), a_{k}^{(m+1)}(k=1,2, \cdots n) $$
のそれぞれの総積を
$P_{m},P_{m+1}$とする.
$$ P_{m+1}-P_{m}=(\prod_{k=1}^{n}a_{k}^{(m+1)})-(\prod_{k=1}^{n}a_{k}^{(m)})=(a_{i}^{(m+1)}a_{j}^{(m+1)}-a_{i}^{(m)}a_{j}^{(m)})X $$
ただし,$\displaystyle X= \frac{1}{a_{i}^{(m)}a_{j}^{(m)}} \prod_{k=1}^{n}a_{k}^{(m)}$($i$と$j$の項を除いた積)であり,$X>0$
(与式)$=(A-a_{i}^{(m)})(a_{j}^{(m)}-A)X>0 $ $(∵ A-a_{i}^{(m)}<0 \land a_{j}^{(m)}-A<0 \land X>0)$
即ち,$P_{m}< P_{m+1}$が成り立つ.$\cdots①$
1回の操作によって$a_{i}^{(m)}$が$A$となるので,値が$A$となる項は最低一つ増える.
(操作は高々$n$回と言っても良いが,厳密には$n-1$回であることを示しておく)
$n-1$個の項がAとなったとき,残りの項の値を$y$とすると,$\frac{1}{n}{(n-1)A+y}=A \Longleftrightarrow y=A (n \geq2)$
よって操作は高々$n-1$回で終了する.そのとき$z$回目で終了するとすると,$P_{z}$が$A^{n}$であり,$①$より,
$$ P_{0}< P_{1}< \cdots < P_{z}=A^{n} $$
となるので,$P_0< A^n$が成り立つ.
つまり,
$\displaystyle\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n}a_{k}= A= \sqrt[n]{A^{n}} >\sqrt[n]{P_0}=\sqrt[n]{\prod_{k=1}^{n}a_{k}}$
が成り立つ.
以上より,$(Ⅰ),(Ⅱ)$を合わせて.

$\displaystyle\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n}a_{k} \geq \sqrt[n]{\prod_{k=1}^{n}a_{k}}$であり
等号成立条件は,$a_{1}=a_{2}= \cdots =a_{n}$
が成り立つ. $\cdots◾️$