相加相乗平均の大小関係(単純不等式で示したい!)

$a,b,c$のいずれかが$0$のときは$abc=0$で,$a,b,c\geq0$から当然成り立つので,以下では$a,b,c$がいずれも$0$でないもの,即ち
$$a,b,c\gt0$$
として考える.
(また,$a=b=c$のとき,当然等号成立なことはわかるとおもうので今回は割愛.)
$a=b=c$ではないものとして考える.
つまり,
$$\frac{a+b+c}{3}\gt \sqrt[3]{abc} $$
を示せばよい.

$$\frac{a+b+c}{3}=A$$とおく.($a,b,c$の平均を$A$とおいた)
$a=b=c$ではないので,$a,b,c$の全てが$A$と等しいというわけではない.(部分否定)
まず重要なことが,$A$が平均ということを踏まえると,平均より上の数が存在すれば下の数も必然的に存在するということ.$a,b,c$どれが上でも下でもよいので,(よく対称性より,と言ったりします.)$a\gt A$,$b\lt A$としましょう.($c$については今段階どちらでもよいです.)

$a+b+c$の値が変わらないように次のように文字の置き換えを行う.
$\begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{l} x=A \\\ w=a+b-A \end{array}\right.\end{eqnarray}$
とすると和は変化しない.($x+w+c=a+b+c$,のように)
問題は積がどう変化したかだ.
$abc$と$xwc$の大小を比較すると,
$xwc-abc=c(xw-ab)$で,$c\gt0$から,$xw-ab$の正負を考えればよい.
以下囲い枠は$xw-ab$の式変形

$xw-ab=A(a+b-A)-ab =Aa+Ab-A^{2}-ab$
(与式)$=a(A-b)+A(b-A)=a(A-b)-A(A-b)=(A-b)(a-A)$

つまり,$xw-ab$を変形すると,$(A-b)(a-A)$となるのです.
ここで証明はじめのことを思い出すと,$a\gt A$,$b\lt A$という条件を課しましたので,$(A-b)$と$(a-A)$はともに正の数ですね.
よって,$(A-b)(a-A)$$\gt 0$ となり,$xwc-abc=c(xw-ab)$$\gt 0$
(ちなみに,$A$と$a$,$A$と$b$の大小関係が仮に逆でもどちらも負の数になり,その掛け算は結局正になります.)
つまり$xwc\gt abc$が成り立つ.$\cdots①$
さて今度はまた同様に,
$x,w,c$に対して同じことを考えてみよう.
ここで,$a,b,c$と$x,w,c$は総和も文字数も変化していないのでその平均も変化しない.
$$\frac{x+w+c}{3}=A$$
$x+w+c$の値が変わらないように次のように文字の置き換えを行う.
$\begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{l}y=A \\\ z=y+c-A\end{array}\right.\end{eqnarray}$
とすると和は変化しない.($x+y+z=x+w+c$)
以前と同様に,$xwc$と$xyz$の大小を比較すると,
$xyz-xwc=x(yz-wc)$で,$x=A\gt0$から,$yz-wc$の正負を考えればよい.
先ほどと同様にして,(先ほどの式変形と全く同じことをします.)
$yz-wc$を変形すると,$(A-w)(c-A)$となります.
ここで,$w,c$は,$A$より$w$が大きいなら$c$は$A$より小さいし,その逆もしかり.(理由は$A$が平均ということを踏まえると,平均より上の数が存在すれば下の数も必然的に存在するからですね.また$x$は平均そのものであることも踏まえましょう.)
$xyz-xwc=x(A-w)(c-A) \geq0 $が成り立ちます.
よって, $xyz-xwc\geq 0$から,$xyz\geq xwc$$\cdots②$
また,$x=y=A$であり,$\frac{x+y+z}{3}=A$から,$x=y=z=A$である.
$①,②$をまとめると,
$$ xyz\geq xwc \gt abc$$が成り立ちます.
これらはすべて正の数であり,3乗根をとってもその大小関係は変化しないので,　
$\sqrt[3]{xyz}$$\geq \sqrt[3]{xwc} \gt \sqrt[3]{abc} $
$x=y=z=A$より,$xyz=A^{3}$となり,
$A= \sqrt[3]{A^{3}} =\sqrt[3]{xyz}$$\gt\sqrt[3]{abc} $
つまり,$A\gt \sqrt[3]{abc} $
$$A=\frac{a+b+c}{3}\gt \sqrt[3]{abc} $$
となり,題意は示された.

証明
$0$以上の$a_{k}(k=1,2, \cdots n)$について,最低一つ$0$が存在するとき,総和は$0$以上であり,その積は$0$となるので,題意を満たす.
以下$1$以上$n$以下の任意の整数$k$に対して$a_{k}≠0$として考える.
また,その平均値を$A$即ち,
$\displaystyle \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n}a_{k}$$=A$とし,
$a_{k} (k=1,2, \cdots n)$のうち$A$と等しくないものの個数を$l$個とする.
$(Ⅰ)$ $l=0$のとき
総和総積共にAであり,等号成立.
$(Ⅱ)$ $l>0$のとき
(このとき自明に,$n \geq 2$である.)
$A$は平均であるから,$a_{i}>A$,$a_{j}< A$なる$1$以上$n$以下の相異なる整数$i$,$j$が存在する.(言葉で言うならAが平均だからAより大きいものがあれば小さいものも必要,逆も然りと言うこと)
以降そのような$i$と$j$を用いる.

ここで以下の操作を上記のような$i$,$j$が存在する限り続けることを考える.

操作
$m$回の操作を行った数列$\{a_{n}^{(m)}\}$ を
$a_{k}^{(m)} (k=1,2, \cdots n)$とし,
$\{a_{n}^{(0)}\}$を$a_{k}(k=1,2, \cdots n)$とする.
数列$\{a_{n}^{(m)}\}$ の和を変えないように$A$と異なる$a_{i}^{(m)},a_{j}^{(m)}$を次のように置き換える操作をし,数列$\{a_{n}^{(m+1)}\}$ を作る.
$$ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} a_{i}^{(m+1)}=A\\ a_{j}^{(m+1)}=a_{i}^{(m)}+a_{j}^{(m)}-A\\ a_{k}^{(m+1)}=a_{k}^{(m)} (k≠i,j) \end{array} \right. \end{eqnarray} $$

$$ a_{k}^{(m)}(k=1,2, \cdots n), a_{k}^{(m+1)}(k=1,2, \cdots n) $$
のそれぞれの総積を
$P_{m},P_{m+1}$とする.
$$ P_{m+1}-P_{m}=(\prod_{k=1}^{n}a_{k}^{(m+1)})-(\prod_{k=1}^{n}a_{k}^{(m)})=(a_{i}^{(m+1)}a_{j}^{(m+1)}-a_{i}^{(m)}a_{j}^{(m)})X $$
ただし,$\displaystyle X= \frac{1}{a_{i}^{(m)}a_{j}^{(m)}} \prod_{k=1}^{n}a_{k}^{(m)}$($i$と$j$の項を除いた積)であり,$X>0$
(与式)$=(A-a_{i}^{(m)})(a_{j}^{(m)}-A)X>0 $ $(∵ A-a_{i}^{(m)}<0 \land a_{j}^{(m)}-A<0 \land X>0)$
即ち,$P_{m}< P_{m+1}$が成り立つ.$\cdots①$
1回の操作によって$a_{i}^{(m)}$が$A$となるので,値が$A$となる項は最低一つ増える.
(操作は高々$n$回と言っても良いが,厳密には$n-1$回であることを示しておく)
$n-1$個の項がAとなったとき,残りの項の値を$y$とすると,$\frac{1}{n}{(n-1)A+y}=A \Longleftrightarrow y=A (n \geq2)$
よって操作は高々$n-1$回で終了する.そのとき$z$回目で終了するとすると,$P_{z}$が$A^{n}$であり,$①$より,
$$ P_{0}< P_{1}< \cdots < P_{z}=A^{n} $$
となるので,$P_0< A^n$が成り立つ.
つまり,
$\displaystyle\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n}a_{k}= A= \sqrt[n]{A^{n}} >\sqrt[n]{P_0}=\sqrt[n]{\prod_{k=1}^{n}a_{k}}$
が成り立つ.
以上より,$(Ⅰ),(Ⅱ)$を合わせて.

$\displaystyle\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n}a_{k} \geq \sqrt[n]{\prod_{k=1}^{n}a_{k}}$であり
等号成立条件は,$a_{1}=a_{2}= \cdots =a_{n}$
が成り立つ. $\cdots◾️$