EZ法で超幾何級数公式を証明する

文献[1]で述べられている内容の一部をまとめます．

概要

$$次の等式において，$w_k^{}=u_k^{}-v_k^{}$を満たす適当な$u_k^{},v_k^{},w_k^{}$を定めることで，超幾何級数の公式を得ることができるらしいです．

文献[1]では『EZ法』と呼ばれています．
$$WZ法の記述によれば，しばしば

と書かれますが，EZ法においては，$F(n+1,k)-F(n,k)$から$u_k^{},v_k^{},w_k^{}$を決定するという流れになります．
あるいは，等式$w_k^{}=u_k^{}-v_k^{}$から[$\mathbf{1}$]を得ます．

$\text{Pfaff–Saalsch}\ddot{\mathrm{u}}\text{tz Theorem}$

$$非負整数$n$と適当な$a,b,c$に対して

が成り立ちます．
[証明]
$$先ず${\displaystyle F(n,k)=\frac{(c,c-a-b{)}_n^{}}{(c-a,c-b{)}_n^{}}\frac{(a,b,-n{)}_k^{}}{(c,1-n+a+b-c{)}_k^{}k!}}$とおきます．このとき

右辺の右端から$u_k^{}=(a+k)(b+k)(-n-1+k),v_k^{}=k(c-1+k)(-n+k+a+b-c)$とし，$w_k^{}=-((c+n)(1+a+b-c)k+ab(n-k+1))$と決まります．
これにより

よって${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}F(n,k)}$は定数であり，${\displaystyle \sum _{k=0}^{0}F(0,k)=1}$より証明は完了します．

$\text{Dougall’s Theorem}$

[証明]
$$ ${\displaystyle F(n,k)=\frac{(1+a-b,1+a-c{)}_n^{}}{(1+a,1+a-b-c{)}_n^{}}\frac{a+2k}{a}\frac{(a,b,c,-n{)}_k^{}}{(1+a-b,1+a-c,1+a+n{)}_k^{}k!}}$とおけば

${\displaystyle u_k^{}=(a+k)(b+k)(c+k)(-n-1+k),v_k^{}=k(a-b+k)(a-c+k)(1+a+n+k)}$とすれば
${\displaystyle -(k(a+k)(1+n+a-b-c)+bc(n+1))(a+2k)=u_k^{}-v_k^{}=w_k^{}}$が成り立ち，

以下略．

$U-V=W$型の恒等式

$$$U-V=W$のかたちをとる恒等式には以下の例があります．

$a,b,c,d$を$a_k^{},b_k^{},c_k^{},d_k^{}$に置き換え，左辺と右辺をそれぞれ$u_k^{}-v_k^{},w_k^{}$とすれば，果たして一般的な級数公式を得ることができます．