$$\newcommand{BA}[0]{\begin{align*}}
\newcommand{BE}[0]{\begin{equation}}
\newcommand{bl}[0]{\boldsymbol}
\newcommand{BM}[0]{\begin{matrix}}
\newcommand{D}[0]{\displaystyle}
\newcommand{EA}[0]{\end{align*}}
\newcommand{EE}[0]{\end{equation}}
\newcommand{EM}[0]{\end{matrix}}
\newcommand{h}[0]{\boldsymbol{h}}
\newcommand{k}[0]{\boldsymbol{k}}
\newcommand{L}[0]{\left}
\newcommand{l}[0]{\boldsymbol{l}}
\newcommand{m}[0]{\boldsymbol{m}}
\newcommand{n}[0]{\boldsymbol{n}}
\newcommand{R}[0]{\right}
\newcommand{vep}[0]{\varepsilon}
$$
文献[1]で述べられている内容の一部をまとめます．
概要
$\hspace{5pt}$次の等式において，$w_k^{}=u_k^{}-v_k^{}$を満たす適当な$u_k^{},v_k^{},w_k^{}$を定めることで，超幾何級数の公式を得ることができるらしいです．
$\BA\D
\sum_{k=0}^n \frac{w_k^{}}{w_0^{}}\frac{u_0^{}u_1^{}\cdots u_{k-1}^{}}{v_1^{}v_2^{}\cdots v_{k}^{}}
=\frac{u_0^{}}{w_0^{}}\L(\frac{u_1^{}u_2^{}\cdots u_{n}^{}}{v_1^{}v_2^{}\cdots v_{n}^{}}-\frac{v_0^{}}{u_0^{}}\R)
\EA$$\hspace{5pt}$[$\color{red}{\bf 1}$]
文献[1]では『EZ法』と呼ばれています．
$\hspace{5pt}$WZ法の記述によれば，しばしば
$\BA\D\sum_{k}F(n,k)=1\EA$
と書かれますが，EZ法においては，$F(n+1,k)-F(n,k)$から$u_k^{},v_k^{},w_k^{}$を決定するという流れになります．
あるいは，等式$w_k^{}=u_k^{}-v_k^{}$から[$\color{red}{\bf 1}$]を得ます．
$\textrm{Pfaff–Saalsch}\ddot{\rm u}\textrm{tz Theorem}$
$\hspace{5pt}$非負整数$n$と適当な$a,b,c$に対して
$\BA\D
\sum_{k=0}^n \frac{(a,b,-n)_k^{}}{(c,1-n+a+b-c)_k^{}k!}=\frac{(c-a,c-b)_n^{}}{(c,c-a-b)_n^{}}
\EA$
が成り立ちます．
[証明]
$\hspace{5pt}$先ず$\small\D F(n,k)=\frac{(c,c-a-b)_n^{}}{(c-a,c-b)_n^{}}\frac{(a,b,-n)_k^{}}{(c,1-n+a+b-c)_k^{}k!}$とおきます．このとき
$\BA\D
F(n+1,k)-F(n,k)&=-ab\frac{(c,c-a-b)_n^{}}{(c-a,c-b)_{n+1}^{}}\frac{(c+n)(1+a+b-c)k+ab(n-k+1)}{ab(n+1)}\frac{(a,b,-n-1)_k^{}}{(c,1-n+a+b-c)_k^{}k!}.
\EA$
右辺の右端から$u_k^{}=(a+k)(b+k)(-n-1+k),\,v_k^{}=k(c-1+k)(-n+k+a+b-c)$とし，$w_k^{}=-\L((c+n)(1+a+b-c)k+ab(n-k+1)\R)$と決まります．
これにより
$\BA\D
\sum_{k=0}^{n+1}\L(F(n+1,k)-F(n,k)\R)&=-ab\frac{(c,c-a-b)_n^{}}{(c-a,c-b)_{n+1}^{}}\sum_{k=0}^{n+1} \frac{w_k^{}}{w_0^{}}\frac{u_0^{}u_1^{}\cdots u_{k-1}^{}}{v_1^{}v_2^{}\cdots v_{k}^{}}\\
&=-ab\frac{(c,c-a-b)_n^{}}{(c-a,c-b)_{n+1}^{}}\frac{u_0^{}}{w_0^{}}\L(\frac{u_1^{}u_2^{}\cdots u_{n+1}^{}}{v_1^{}v_2^{}\cdots v_{n+1}^{}}-\frac{v_0^{}}{u_0^{}}\R)\\
&=0\qquad (\because\,u_{n+1}^{}=0,\,v_0^{}=0)
\EA$
よって$\small \D\sum_{k=0}^n F(n,k)$は定数であり，$\small \D\sum_{k=0}^0 F(0,k)=1$より証明は完了します．
$\textrm{Dougall's Theorem}$
$\BA\D\\
\sum_{k=0}^n \frac{a+2k}{a}\frac{(a,b,c,-n)_k^{}}{(1+a-b,1+a-c,1+a+n)_k^{}k!}=\frac{(1+a,1+a-b-c)_n^{}}{(1+a-b,1+a-c)_n^{}}.
\EA$
[証明]
$\hspace{5pt}$ $\small\D F(n,k)=\frac{(1+a-b,1+a-c)_n^{}}{(1+a,1+a-b-c)_n^{}}\frac{a+2k}{a}\frac{(a,b,c,-n)_k^{}}{(1+a-b,1+a-c,1+a+n)_k^{}k!}$とおけば
$\BA\D
F(n+1,k)-F(n,k)
&=\frac{\L(k(a+k)(1+n+a-b-c)+bc(n+1)\R)(a+2k)}{a(n+1)}\frac{(1+a-b,1+a-c)_n^{}}{(1+a,1+a-b-c)_{n+1}^{}}\frac{(a,b,c,-n-1)_k^{}}{(1+a-b,1+a-c,2+a+n)_k^{}k!}.
\EA$
$\D u_k^{}=(a+k)(b+k)(c+k)(-n-1+k),\,v_k^{}=k(a-b+k)(a-c+k)(1+a+n+k)$とすれば
$\D -\L(k(a+k)(1+n+a-b-c)+bc(n+1)\R)(a+2k)=u_k^{}-v_k^{}=w_k^{}$が成り立ち，
$\BA\D
\sum_{k=0}^{n+1} \L(F(n+1,k)-F(n,k)\R)
&=bc\,\frac{(1+a-b,1+a-c)_n^{}}{(1+a,1+a-b-c)_{n+1}^{}}\sum_{k=0}^{n+1}\frac{w_k^{}}{w_0^{}}\frac{u_0^{}u_1^{}\cdots u_{k-1}^{}}{v_1^{}v_2^{}\cdots v_{k}^{}}=0.
\EA$
以下略．
$U-V=W$型の恒等式
$\hspace{5pt}$$U-V=W$のかたちをとる恒等式には以下の例があります．
$\BA\D
(1-b)a-(1-a)b&=a-b\\
(1-b)(1-c)a-(1-a)(a-bc)&=(a-b)(a-c)\\
(1-b)(1-c)(1-d)(a^2-bcd)a-(1-a)(a-bc)(a-bd)(a-cd)&=(a-b)(a-c)(a-d)(a-bcd)
\EA$
$a,b,c,d$を$a_k^{},b_k^{},c_k^{},d_k^{}$に置き換え，左辺と右辺をそれぞれ$u_k^{}-v_k^{},w_k^{}$とすれば，果たして一般的な級数公式を得ることができます．
