スキーム論クイズ（４）

スキームの射$f:X\to Y$が開埋め込みであることの定義は次のうちどれ？
(1) $f$が$Y$の開集合への同相写像で，$X$上の層に誘導された射$f^{\mathrm{\#}}:f^{\ast }{\mathcal{O}}_Y\to {\mathcal{O}}_X$が${\mathcal{O}}_Y{|}_{f(X)}$から${\mathcal{O}}_Y$への全射を誘導する．
(2) $f$が$Y$の開集合への同相写像で，$X$上の層に誘導された射$f^{\mathrm{\#}}:f^{\ast }{\mathcal{O}}_Y\to {\mathcal{O}}_X$が${\mathcal{O}}_Y{|}_{f(X)}$から${\mathcal{O}}_Y$への単射を誘導する．
(3) $f$が$Y$の開集合への同相写像で，$X$上の層に誘導された射$f^{\mathrm{\#}}:f^{\ast }{\mathcal{O}}_Y\to {\mathcal{O}}_X$が${\mathcal{O}}_Y{|}_{f(X)}$から${\mathcal{O}}_Y$への同型を誘導する．

（ハーツホーン）スキームの射$f:Y\to X$が閉埋め込みであることの定義は次のうちどれ？
(1) $f$が$X$の閉集合への同相写像で，$X$上の層に誘導された射$f^{\mathrm{\#}}:{\mathcal{O}}_X\to f_{\ast }{\mathcal{O}}_Y$が全射である．
(2) $f$が$X$の閉集合への同相写像で，$X$上の層に誘導された射$f^{\mathrm{\#}}:{\mathcal{O}}_X\to f_{\ast }{\mathcal{O}}_Y$が単射である．
(3) $f$が$X$の閉集合への同相写像で，$X$上の層に誘導された射$f^{\mathrm{\#}}:{\mathcal{O}}_X\to f_{\ast }{\mathcal{O}}_Y$が同型射である．

（宮西）$X$をスキームとする．$X$の閉部分スキームとは，${\mathcal{O}}_X$のイデアル層$\mathcal{I}$が存在して，$Y=\text{Supp}({\mathcal{O}}_X/\mathcal{I}),{\mathcal{O}}_Y={\mathcal{O}}_X/\mathcal{I}$として表せるようなもののことである．○か×か．
ここで，$X$上の層$\mathcal{F}$について，$\text{Supp}\mathcal{F}:=\{x\in X|{\mathcal{F}}_x\ne (0)\}$である．

（宮西）スキームの射$f:Z\to X$が閉埋め込みであることの定義は
$f$が$X$のある閉部分スキームへの同型を誘導することをいう．○か×か．

アフィンスキーム間の射は必ず分離的である．○か×か．