スキーム論クイズ（４）
スキームの射$f:X\rightarrow Y$が開埋め込みであることの定義は次のうちどれ？
(1) $f$が$Y$の開集合への同相写像で，$X$上の層に誘導された射$f^\#:f^*\mathcal{O}_Y\rightarrow\mathcal{O}_X$が$\mathcal{O}_Y|_{f(X)}$から$\mathcal{O}_Y$への全射を誘導する．
(2) $f$が$Y$の開集合への同相写像で，$X$上の層に誘導された射$f^\#:f^*\mathcal{O}_Y\rightarrow\mathcal{O}_X$が$\mathcal{O}_Y|_{f(X)}$から$\mathcal{O}_Y$への単射を誘導する．
(3) $f$が$Y$の開集合への同相写像で，$X$上の層に誘導された射$f^\#:f^*\mathcal{O}_Y\rightarrow\mathcal{O}_X$が$\mathcal{O}_Y|_{f(X)}$から$\mathcal{O}_Y$への同型を誘導する．
問題1の答え
(3)（ハーツホーン）スキームの射$f:Y\rightarrow X$が閉埋め込みであることの定義は次のうちどれ？
(1) $f$が$X$の閉集合への同相写像で，$X$上の層に誘導された射$f^\#:\mathcal{O}_X\rightarrow f_*\mathcal{O}_Y$が全射である．
(2) $f$が$X$の閉集合への同相写像で，$X$上の層に誘導された射$f^\#:\mathcal{O}_X\rightarrow f_*\mathcal{O}_Y$が単射である．
(3) $f$が$X$の閉集合への同相写像で，$X$上の層に誘導された射$f^\#:\mathcal{O}_X\rightarrow f_*\mathcal{O}_Y$が同型射である．
問題2の答え
(1)（宮西）$X$をスキームとする．$X$の閉部分スキームとは，$\mathcal{O}_X$のイデアル層$\mathcal{I}$が存在して，$Y=\text{Supp}(\mathcal{O}_X/\mathcal{I}),\mathcal{O}_Y=\mathcal{O}_X/\mathcal{I}$として表せるようなもののことである．○か×か．
ここで，$X$上の層$\mathcal{F}$について，$\text{Supp}\mathcal{F}\coloneqq \{x\in X|\mathcal{F}_x\neq(0)\}$である．
問題3の答え
×：$\mathcal{I}$が準連接というのが抜けている．（宮西）スキームの射$f:Z\rightarrow X$が閉埋め込みであることの定義は
$f$が$X$のある閉部分スキームへの同型を誘導することをいう．○か×か．
問題4の答え
○$f:X\rightarrow S$をスキームの射とする．対角射$\Delta_{X/S}:X\rightarrow X\times_S X$とは，$id_X:X\rightarrow X$からファイバー積の普遍性によって一意に定まる射のことである．
$f:X\rightarrow Y$が分離的とは，対角射$\Delta_{X/Y}$が閉埋め込みであるときをいう．
アフィンスキーム間の射は必ず分離的である．○か×か．
