で次のような問題を見かけました:
を満たす数列の一般項を求めよ.
答えはなのですが,もう少し一般的に以下のことが分かったので書き残しておきます.
二次方程式が相異なる解, を持つとき,漸化式
で定まる数列の一般項は
で与えられる.
を課すのはのときはただの線形漸化式になるからです(後述する一次分数変換が逆を持つ条件でもありますが).
証明
漸化式を explicit に書くと
になることに注意しておきます.
この補題は明らかです.以上のことから,
となります.
冒頭の問題は(, ), の場合なので,に注意すれば最初に書いた答えが出てきます.