二次方程式から定まる分数の漸化式
$\mathbb{x}$で次のような問題を見かけました:
$a_1=1, a_{n+1}=\dfrac{1}{2}\left(a_n+\dfrac{3}{a_n}\right)$を満たす数列$(a_n)$の一般項を求めよ．
答えは$a_n=\sqrt{3}\cdot\dfrac{(2+\sqrt{3})^{2^n}+1}{(2+\sqrt{3})^{2^n}-1}$なのですが，もう少し一般的に以下のことが分かったので書き残しておきます．
二次方程式$x^2+\alpha x+\beta=0$が相異なる解$p$, $q$を持つとき，漸化式
$$a_1=a,\,a_{n+1}=a_n-\dfrac{f(a_n)}{f’(a_n)}$$
で定まる数列$(a_n)$の一般項は
$$a_{n}=\dfrac{q(a-p)^{2^{n-1}}-p(a-q)^{2^{n-1}}}{(a-p)^{2^{n-1}}-(a-q)^{2^{n-1}}}$$
で与えられる．
$p\neq q$を課すのは$p=q$のときはただの線形漸化式になるからです（後述する一次分数変換が逆を持つ条件でもありますが）．
証明
漸化式を explicit に書くと
\begin{equation}
a_{n+1}=\dfrac{a_n^2-\beta}{2a_n+\alpha}
\end{equation}
になることに注意しておきます．
一次分数変換$\varphi$を$\varphi(z)=\dfrac{z-p}{z-q}$で定めると，
$$\varphi(a_{n+1})=(\varphi(a_n))^2$$
がなりたつ．
\begin{equation} \begin{split} \varphi(a_{n+1})=\dfrac{\dfrac{a_n^2-\beta}{2a_n+\alpha}-p}{\dfrac{a_n^2-\beta}{2a_n+\alpha}-q}&=\dfrac{a_n^2-pq-p(2a_n-(p+q))}{a_n^2-pq-q(2a_n-(p+q))}\\ &=\dfrac{(a_n-p)^2}{(a_n-q)^2}\\ &=(\varphi(a_n))^2 \end{split} \end{equation}
$\varphi^{-1}(z)=\dfrac{qz-p}{z-1}$.
この補題は明らかです．以上のことから，
\begin{equation}
\begin{split}
a_{n}&=\varphi^{-1}\!\left((\varphi(a))^{2^{n-1}}\right)\\
&=\dfrac{q(\varphi(a))^{2^{n-1}}-p}{(\varphi(a))^{2^{n-1}}-1}\\
&=\dfrac{q(a-p)^{2^{n-1}}-p(a-q)^{2^{n-1}}}{(a-p)^{2^{n-1}}-(a-q)^{2^{n-1}}}
\end{split}
\end{equation}
となります．
冒頭の問題は$f(x)=x^2-3$（$p=-\sqrt{3}$, $q=\sqrt{3}$）, $a=2$の場合なので，$\dfrac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}=(2+\sqrt{3})^2$に注意すれば最初に書いた答えが出てきます．
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