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二次方程式から定まる分数の漸化式

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xで次のような問題を見かけました:

a1=1,an+1=12(an+3an)を満たす数列(an)の一般項を求めよ.

答えはan=3(2+3)2n+1(2+3)2n1なのですが,もう少し一般的に以下のことが分かったので書き残しておきます.

二次方程式x2+αx+β=0が相異なる解p, qを持つとき,漸化式
a1=a,an+1=anf(an)f(an)
で定まる数列(an)の一般項は
an=q(ap)2n1p(aq)2n1(ap)2n1(aq)2n1
で与えられる.

pqを課すのはp=qのときはただの線形漸化式になるからです(後述する一次分数変換が逆を持つ条件でもありますが).

証明

漸化式を explicit に書くと
an+1=an2β2an+α
になることに注意しておきます.

一次分数変換φφ(z)=zpzqで定めると,
φ(an+1)=(φ(an))2
がなりたつ.

φ(an+1)=an2β2an+αpan2β2an+αq=an2pqp(2an(p+q))an2pqq(2an(p+q))=(anp)2(anq)2=(φ(an))2

φ1(z)=qzpz1.

この補題は明らかです.以上のことから,
an=φ1((φ(a))2n1)=q(φ(a))2n1p(φ(a))2n11=q(ap)2n1p(aq)2n1(ap)2n1(aq)2n1
となります.

冒頭の問題はf(x)=x23p=3, q=3), a=2の場合なので,2+323=(2+3)2に注意すれば最初に書いた答えが出てきます.

投稿日:28日前
更新日:28日前
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