フルトンハリス表現論入門上　第1講　問題解答

フルトンハリス表現論入門の第1講の練習問題の解答を作ってみました。解答の正しさについては全く自信はありませんので、間違っているところを見つけましたら、ご指摘をよろしくお願いします。

補足

練習問題1.1

$$ \begin{align} \langle\rho^*(g^{-1})(v^*), \rho(g)(v)\rangle &= v^* \circ \rho(g^{-1} ) \circ \rho(g) (v) \\ &= v^* \circ \rho(g^{-1} g) (v) \\ &= v^*(v) \\ &= \langle v^*, v\rangle \end{align} $$

練習問題1.2

$$ \begin{align} \varphi \in \textrm{Hom}_G(V,W) &\Leftrightarrow \rho_W(g) \circ \varphi \circ \rho_V(g^{-1}) = \varphi \\ &\Leftrightarrow \rho_{\textrm{Hom}(V,W)}(g)(\varphi) = \varphi \\ &\Leftrightarrow \varphi \in \textrm{Hom}(V,W)^G \end{align} $$

練習問題1.3

双線形写像$\beta : \land^k V \times \land^{n-k} V \to \land^n V, (v_1 \land \cdots \land v_k, v_{k+1} \land \cdots \land v_n) \mapsto v_1 \land \cdots \land v_n$
は、$\det \rho(g) = 1$の仮定から$G$不変なperfect paringであるから、表現としての同型
$$ \varphi: \land ^k V \to \textrm{Hom}(\land^{n-k} V, \land ^nV), v_1 \land \cdots \land v_k \mapsto (v_{k+1} \land \cdots \land v_n \mapsto v_1 \land \cdots \land v_n)$$
を引き起こす。よって
$$ \land^k V \cong \left(\land^{n-k} V\right)^* \simeq \land^{n-k} V^*$$
二つ目の同型では、標準的な表現としての同型を用いた。

練習問題1.4

(a)

特性関数$\phi_g: G \to \mathbb{R}$を$\phi_g(h) =\delta_{g,h}= \begin{cases}1 & g=h\\0 & g \neq h\end{cases}$と定め、線形同型写像$\varphi: V \to \mathbb{C}[G], e_g \to \phi_g$による同一視を行う。このとき
$$ \begin{align} \varphi \circ \rho_{V}(g)\left(\sum a_h e_h\right) &= \varphi\left(\sum a_h e_{gh}\right) = \sum a_h\phi_{gh} \\ \rho_{\mathbb{C}[G]}(g) \circ \varphi \left(\sum a_h e_h \right) &= \rho_{\mathbb{C}[G]} (g)\left( \sum a_h\phi_h\right) = \sum a_h \phi_h \circ g^{-1} \end{align} $$
ここで
$$ \begin{align} \sum a_h \phi_{gh}(h') &= \sum a_h \delta_{gh, h'} = a_{g^{-1}h'} \\ \sum a_h \phi_h (g^{-1}h') &= \sum a_h \delta_{h, g^{-1}h'} = a_{g^{-1}h'} \end{align}$$
より、$\varphi \circ g = g \circ \varphi$ が成立するので、二つの表現は同値である。

(b)

特性関数$\phi_g : G \to \mathbb{R}$を$\phi_g(h) = \delta_{g,h}$で定義する。$(g\alpha)(h) = \alpha(g^{-1}h)$による表現空間を$\mathbb{C}[G]_1$、$(g\alpha)(h) = \alpha(hg)$による表現空間を$\mathbb{C}[G]_2$とする。このとき
$$ \varphi: \mathbb{C}[G]_1 \to \mathbb{C}[G]_2, \phi_g \mapsto \phi_{g^{-1}}$$
とすれば、これが二つの表現の同型を与える（(a)と同様な計算をすればよい）。

練習問題1.10

計算する。例えば
$$ \tau \alpha = (123) \cdot (\omega, 1, \omega^2) = (\omega^2, \omega, 1) = \omega \alpha$$
である。

練習問題1.11

$\textrm{Sym}^2 V$の分解

$\textrm{Sym}^2 V$は$\alpha \cdot \alpha, \alpha \cdot \beta, \beta \cdot \beta$で張られ、これらはそれぞれ固有値$\omega^2, 1, \omega$を持つ$\tau$の固有ベクトルであり、$\sigma$は$\alpha \cdot \alpha$と$\beta \cdot \beta$を入れ替え、$\alpha \cdot \beta$は変えない。よって、$\alpha \cdot \alpha,\beta \cdot \beta$は$V$と同型な部分表現を張り、$\alpha \cdot \beta$は自明表現$U$を張る：
$$ \begin{equation} \textrm{Sym}^2 V \cong U \oplus V \end{equation} $$

$\textrm{Sym}^3 V$の分解

$\textrm{Sym}^3 V$は$\alpha \cdot \alpha \cdot \alpha, \alpha \cdot \alpha \cdot \beta, \alpha \cdot \beta \cdot \beta, \beta \cdot \beta \cdot \beta$で張られ、これらはそれぞれ固有値$1,\omega^2, \omega, 1$を持つ$\tau$の固有ベクトルであり、$\sigma$は$\alpha \cdot \alpha \cdot \alpha$と$\beta \cdot \beta \cdot \beta$、$\alpha \cdot \alpha \cdot \beta$と$\alpha \cdot \beta \cdot \beta$を入れ替える。よって、$\alpha \cdot \alpha \cdot \beta, \alpha \cdot \beta \cdot \beta$は$V$を張り、$\alpha \cdot \alpha \cdot \alpha + \beta \cdot \beta \cdot \beta$は$U$を、$\alpha \cdot \alpha \cdot \alpha - \beta \cdot \beta \cdot \beta$は$U'$を張る：
$$ \begin{equation} \textrm{Sym}^3 V \cong U \oplus U' \oplus V \end{equation} $$

練習問題1.12

(1)

$\mathfrak{S}_3 = \{1,\tau, \tau^2, \sigma, \sigma\tau, \sigma\tau^2\}$である。$\sigma\tau\sigma = \tau^2$なので
$$\tau\sigma = \sigma\tau^2, \tau\sigma\tau = \sigma, \tau\sigma\tau^2 = \sigma\tau $$
であることに注意すれば
$$ \begin{align} U_1 &= \langle (1 + \tau + \tau^2) + (\sigma + \sigma\tau + \sigma\tau^2)\rangle \cong U \\ U'_1 &= \langle (1 + \tau + \tau^2) - (\sigma + \sigma\tau + \sigma\tau^2)\rangle \cong U' \\ V_1 &= \langle 1 + \omega \tau + \omega^2\tau^2, \sigma + \omega \sigma\tau + \omega^2 \sigma\tau^2 \rangle \cong V \\ V_2 &= \langle 1 + \omega^2\tau + \omega \tau^2, \sigma + \omega^2 \sigma\tau + \omega \sigma\tau^2 \rangle \cong V \end{align}$$
である。よって
$$ R \cong U \oplus U' \oplus V^{\oplus2}$$

(2)

$0\le i, j \le k$に対して
$$ v_{i,j} = \underbrace{\alpha \cdot \cdots \cdot \alpha}_{iコ}\cdot \underbrace{\beta \cdot \cdots \cdot \beta}_{jコ} \in \textrm{Sym}^{i+j} V$$
とおく。$\langle v_{i,j}\rangle_{i + j = k}$は$\textrm{Sym}^k V$の基底となる。$v_{i,j}$に対する$\tau, \sigma$の作用は
$$ \tau v_{i,j} = \omega^{2i + j}v_{i,j}, ~~\sigma v_{i,j} = v_{j,i}$$
となる。よって
$\tau v_{k+6,0} = \omega^{2k}v_{k+6,0},~~\tau v_{k+5,1} = \omega^{2k+2}v_{k+5,1}, ~~\tau v_{k+4,2} = \omega^{2k+1}v_{k+4,2}$
である。よって、$v_{k+6,0}, v_{k+5,1}, v_{k+4,2}$の中に$\tau$の固有値1に対する固有ベクトルがただ一つ存在する。例えば、$v_{k+6,0}$がそうであるとすると
$$ \begin{align} U_1 &= \langle v_{k+6,0} + v_{0,k+6}\rangle \cong U \\ U'_1 &= \langle v_{k+6,0} - v_{0,k+6}\rangle \cong U' \\ V_1 &= \langle v_{k+5,1}, v_{1, k+5} \rangle \cong V \\ V_2 &= \langle v_{k+4,2}, v_{2,k+4} \rangle \cong V \end{align}$$
である。よって
$$ \langle v_{k+6,0}, v_{k+5,1}, v_{k+4,2}, v_{2,k+4}, v_{1,k+5}, v_{0,k+6}\rangle \cong R$$
となる。これは他の場合でも成り立つ。また
$$ \varphi: \langle v_{k+3,3}, v_{k+2,4}, \cdots, v_{3,k+3} \rangle \to \textrm{Sym}^k V, v_{i,j} \mapsto v_{i-3, j-3} $$
とすると、これは表現としての同型を与える。よって
$$\textrm{Sym}^{k+6}V \cong U \oplus U' \oplus V^{\oplus 2} \oplus \textrm{Sym}^{k}V \cong R \oplus \textrm{Sym}^k V$$

である。
具体計算（(1)と同様の計算)により
$$\begin{align} \textrm{Sym}^4 V &\cong U \oplus V^{\oplus 2} \\ \textrm{Sym}^5 V &\cong U \oplus U' \oplus V^{\oplus 2} \\ \textrm{Sym}^6 V &\cong U^{\oplus 2} \oplus U' \oplus V^{\oplus 2} \end{align}$$
なので、$\textrm{Sym}^{k+6}V \cong \textrm{Sym}^k V\oplus R$と合わせて、全ての$k$について$\textrm{Sym}^k V$が計算される。

練習問題1.13

$\textrm{Sym}^3 V \cong U \oplus U' \oplus V$なので、$\textrm{Sym}^3 V = \langle u,u',\alpha. \beta\rangle$, $u \in U, u' \in U', \alpha, \beta \in V$としてよい。このとき
$\langle u \cdot u \rangle \cong U,~~\langle u' \cdot u' \rangle\cong U,~~\langle \alpha \cdot \alpha, \beta \cdot \beta \rangle \cong V,~~\langle u\cdot u'\rangle \cong U', \langle u \cdot \alpha, u \cdot \beta\rangle \cong V, \langle u'\cdot \alpha, u' \cdot \beta \rangle \cong V, \langle \alpha \cdot \beta \rangle \cong U$
より
$\textrm{Sym}^2 (\textrm{Sym}^3 V) \cong U^{\oplus 3} \oplus U' \oplus V^{\oplus 3}$
である。同様にして
$\textrm{Sym}^3 (\textrm{Sym}^2 V) \cong U^{\oplus 3} \oplus U' \oplus V^{\oplus 3}$
が示せるので
$\textrm{Sym}^2 (\textrm{Sym}^3 V) \cong\textrm{Sym}^3 (\textrm{Sym}^2 V)$
である。

練習問題1.14

（存在性）命題1.5の証明の際に構成している。
（一意性）$H,H'$を$G$不変なエルミート内積とする。このとき
$$ \tilde{H}: V \to V^*, v \mapsto (w \mapsto H(v,w))$$
とすると、これは$V$と$V^*$の表現としての同型を与える。$\tilde{H'}$が別のものとするとき、$ (\tilde{H'})^{-1} \circ \tilde{H} : V \to V$は$G$線形であるので、シューアの補題より、ある$\lambda \in \mathbb{C}$が存在して、$(\tilde{H'})^{-1} \circ \tilde{H} = \lambda \cdot I $である。すなわち、$\tilde{H} = \lambda \cdot \tilde{H'}$である。