フルトンハリス表現論入門上　第1講　問題解答

フルトンハリス表現論入門の第1講の練習問題の解答を作ってみました。解答の正しさについては全く自信はありませんので、間違っているところを見つけましたら、ご指摘をよろしくお願いします。

補足

練習問題1.1

$$\begin{array}{rl}⟨{\rho }^{\ast }(g^{-1})(v^{\ast }),\rho (g)(v)⟩& =v^{\ast }\circ \rho (g^{-1})\circ \rho (g)(v)\\ & =v^{\ast }\circ \rho (g^{-1}g)(v)\\ & =v^{\ast }(v)\\ & =⟨v^{\ast },v⟩\end{array}$$

練習問題1.2

$$\begin{array}{rl}\phi \in {\text{Hom}}_G(V,W)& \iff {\rho }_W(g)\circ \phi \circ {\rho }_V(g^{-1})=\phi \\ & \iff {\rho }_{\text{Hom}(V,W)}(g)(\phi )=\phi \\ & \iff \phi \in \text{Hom}(V,W{)}^G\end{array}$$

練習問題1.3

双線形写像$\beta :{\wedge }^{k}V\times {\wedge }^{n-k}V\to {\wedge }^{n}V,(v_1\wedge \cdots \wedge v_k,v_{k+1}\wedge \cdots \wedge v_n)\mapsto v_1\wedge \cdots \wedge v_n$
は、$\det \rho (g)=1$の仮定から$G$不変なperfect paringであるから、表現としての同型
$$\phi :{\wedge }^{k}V\to \text{Hom}({\wedge }^{n-k}V,{\wedge }^{n}V),v_1\wedge \cdots \wedge v_k\mapsto (v_{k+1}\wedge \cdots \wedge v_n\mapsto v_1\wedge \cdots \wedge v_n)$$
を引き起こす。よって
$${\wedge }^{k}V\cong {\left({\wedge }^{n-k}V\right)}^{\ast }\simeq {\wedge }^{n-k}{V}^{\ast }$$
二つ目の同型では、標準的な表現としての同型を用いた。

練習問題1.4

(a)

特性関数${\varphi }_g:G\to \mathbb{R}$を${\varphi }_g(h)={\delta }_{g,h}=\{\begin{array}{ll}1& g=h\\ 0& g\ne h\end{array}$と定め、線形同型写像$\phi :V\to \mathbb{C}[G],e_g\to {\varphi }_g$による同一視を行う。このとき
$$\begin{array}{rl}\phi \circ {\rho }_V(g)(\sum a_h{e}_h)& =\phi (\sum a_h{e}_{gh})=\sum a_h{\varphi }_{gh}\\ {\rho }_{\mathbb{C}[G]}(g)\circ \phi (\sum a_h{e}_h)& ={\rho }_{\mathbb{C}[G]}(g)(\sum a_h{\varphi }_h)=\sum a_h{\varphi }_h\circ g^{-1}\end{array}$$
ここで
$$\begin{array}{rl}\sum a_h{\varphi }_{gh}(h^{\prime })& =\sum a_h{\delta }_{gh,h^{\prime }}=a_{g^{-1}{h}^{\prime }}\\ \sum a_h{\varphi }_h(g^{-1}{h}^{\prime })& =\sum a_h{\delta }_{h,g^{-1}{h}^{\prime }}=a_{g^{-1}{h}^{\prime }}\end{array}$$
より、$\phi \circ g=g\circ \phi$ が成立するので、二つの表現は同値である。

(b)

特性関数${\varphi }_g:G\to \mathbb{R}$を${\varphi }_g(h)={\delta }_{g,h}$で定義する。$(g\alpha )(h)=\alpha (g^{-1}h)$による表現空間を$\mathbb{C}[G{]}_1$、$(g\alpha )(h)=\alpha (hg)$による表現空間を$\mathbb{C}[G{]}_2$とする。このとき
$$\phi :\mathbb{C}[G{]}_1\to \mathbb{C}[G{]}_2,{\varphi }_g\mapsto {\varphi }_{g^{-1}}$$
とすれば、これが二つの表現の同型を与える（(a)と同様な計算をすればよい）。

練習問題1.10

計算する。例えば
$$\tau \alpha =(123)\cdot (\omega ,1,{\omega }^2)=({\omega }^2,\omega ,1)=\omega \alpha$$
である。

練習問題1.11

${\text{Sym}}^{2}V$の分解

${\text{Sym}}^{2}V$は$\alpha \cdot \alpha ,\alpha \cdot \beta ,\beta \cdot \beta$で張られ、これらはそれぞれ固有値${\omega }^2,1,\omega$を持つ$\tau$の固有ベクトルであり、$\sigma$は$\alpha \cdot \alpha$と$\beta \cdot \beta$を入れ替え、$\alpha \cdot \beta$は変えない。よって、$\alpha \cdot \alpha ,\beta \cdot \beta$は$V$と同型な部分表現を張り、$\alpha \cdot \beta$は自明表現$U$を張る：
$${\text{Sym}}^{2}V\cong U\oplus V$$

${\text{Sym}}^{3}V$の分解

${\text{Sym}}^{3}V$は$\alpha \cdot \alpha \cdot \alpha ,\alpha \cdot \alpha \cdot \beta ,\alpha \cdot \beta \cdot \beta ,\beta \cdot \beta \cdot \beta$で張られ、これらはそれぞれ固有値$1,{\omega }^2,\omega ,1$を持つ$\tau$の固有ベクトルであり、$\sigma$は$\alpha \cdot \alpha \cdot \alpha$と$\beta \cdot \beta \cdot \beta$、$\alpha \cdot \alpha \cdot \beta$と$\alpha \cdot \beta \cdot \beta$を入れ替える。よって、$\alpha \cdot \alpha \cdot \beta ,\alpha \cdot \beta \cdot \beta$は$V$を張り、$\alpha \cdot \alpha \cdot \alpha +\beta \cdot \beta \cdot \beta$は$U$を、$\alpha \cdot \alpha \cdot \alpha -\beta \cdot \beta \cdot \beta$は$U^{\prime }$を張る：
$${\text{Sym}}^{3}V\cong U\oplus U^{\prime }\oplus V$$

練習問題1.12

(1)

${\mathfrak{S}}_3=\{1,\tau ,{\tau }^2,\sigma ,\sigma \tau ,\sigma {\tau }^2\}$である。$\sigma \tau \sigma ={\tau }^2$なので
$$\tau \sigma =\sigma {\tau }^2,\tau \sigma \tau =\sigma ,\tau \sigma {\tau }^2=\sigma \tau$$
であることに注意すれば
$$\begin{array}{rl}{U}_1& =⟨(1+\tau +{\tau }^2)+(\sigma +\sigma \tau +\sigma {\tau }^2)⟩\cong U\\ U_1^{\prime }& =⟨(1+\tau +{\tau }^2)-(\sigma +\sigma \tau +\sigma {\tau }^2)⟩\cong U^{\prime }\\ V_1& =⟨1+\omega \tau +{\omega }^2{\tau }^2,\sigma +\omega \sigma \tau +{\omega }^2\sigma {\tau }^2⟩\cong V\\ V_2& =⟨1+{\omega }^2\tau +\omega {\tau }^2,\sigma +{\omega }^2\sigma \tau +\omega \sigma {\tau }^2⟩\cong V\end{array}$$
である。よって
$$R\cong U\oplus U^{\prime }\oplus V^{\oplus 2}$$

(2)

$0\le i,j\le k$に対して
$$v_{i,j}=\underset{iコ}{\underbrace{\alpha \cdot \cdots \cdot \alpha }}\cdot \underset{jコ}{\underbrace{\beta \cdot \cdots \cdot \beta }}\in {\text{Sym}}^{i+j}V$$
とおく。$⟨v_{i,j}{⟩}_{i+j=k}$は${\text{Sym}}^{k}V$の基底となる。$v_{i,j}$に対する$\tau ,\sigma$の作用は
$$\tau v_{i,j}={\omega }^{2i+j}{v}_{i,j},\sigma v_{i,j}=v_{j,i}$$
となる。よって
$\tau v_{k+6,0}={\omega }^{2k}{v}_{k+6,0},\tau v_{k+5,1}={\omega }^{2k+2}{v}_{k+5,1},\tau v_{k+4,2}={\omega }^{2k+1}{v}_{k+4,2}$
である。よって、$v_{k+6,0},v_{k+5,1},v_{k+4,2}$の中に$\tau$の固有値1に対する固有ベクトルがただ一つ存在する。例えば、$v_{k+6,0}$がそうであるとすると
$$\begin{array}{rl}{U}_1& =⟨v_{k+6,0}+v_{0,k+6}⟩\cong U\\ U_1^{\prime }& =⟨v_{k+6,0}-v_{0,k+6}⟩\cong U^{\prime }\\ V_1& =⟨v_{k+5,1},v_{1,k+5}⟩\cong V\\ V_2& =⟨v_{k+4,2},v_{2,k+4}⟩\cong V\end{array}$$
である。よって
$$⟨v_{k+6,0},v_{k+5,1},v_{k+4,2},v_{2,k+4},v_{1,k+5},v_{0,k+6}⟩\cong R$$
となる。これは他の場合でも成り立つ。また
$$\phi :⟨v_{k+3,3},v_{k+2,4},\cdots ,v_{3,k+3}⟩\to {\text{Sym}}^{k}V,v_{i,j}\mapsto v_{i-3,j-3}$$
とすると、これは表現としての同型を与える。よって
$${\text{Sym}}^{k+6}V\cong U\oplus U^{\prime }\oplus V^{\oplus 2}\oplus {\text{Sym}}^{k}V\cong R\oplus {\text{Sym}}^{k}V$$

である。
具体計算（(1)と同様の計算)により
$$\begin{array}{rl}{\text{Sym}}^{4}V& \cong U\oplus V^{\oplus 2}\\ {\text{Sym}}^{5}V& \cong U\oplus U^{\prime }\oplus V^{\oplus 2}\\ {\text{Sym}}^{6}V& \cong U^{\oplus 2}\oplus U^{\prime }\oplus V^{\oplus 2}\end{array}$$
なので、${\text{Sym}}^{k+6}V\cong {\text{Sym}}^{k}V\oplus R$と合わせて、全ての$k$について${\text{Sym}}^{k}V$が計算される。

練習問題1.13

${\text{Sym}}^{3}V\cong U\oplus U^{\prime }\oplus V$なので、${\text{Sym}}^{3}V=⟨u,u^{\prime },\alpha .\beta ⟩$, $u\in U,u^{\prime }\in U^{\prime },\alpha ,\beta \in V$としてよい。このとき
$⟨u\cdot u⟩\cong U,⟨u^{\prime }\cdot u^{\prime }⟩\cong U,⟨\alpha \cdot \alpha ,\beta \cdot \beta ⟩\cong V,⟨u\cdot u^{\prime }⟩\cong U^{\prime },⟨u\cdot \alpha ,u\cdot \beta ⟩\cong V,⟨u^{\prime }\cdot \alpha ,u^{\prime }\cdot \beta ⟩\cong V,⟨\alpha \cdot \beta ⟩\cong U$
より
${\text{Sym}}^2({\text{Sym}}^{3}V)\cong U^{\oplus 3}\oplus U^{\prime }\oplus V^{\oplus 3}$
である。同様にして
${\text{Sym}}^3({\text{Sym}}^{2}V)\cong U^{\oplus 3}\oplus U^{\prime }\oplus V^{\oplus 3}$
が示せるので
${\text{Sym}}^2({\text{Sym}}^{3}V)\cong {\text{Sym}}^3({\text{Sym}}^{2}V)$
である。

練習問題1.14

（存在性）命題1.5の証明の際に構成している。
（一意性）$H,H^{\prime }$を$G$不変なエルミート内積とする。このとき
$$\tilde{H}:V\to V^{\ast },v\mapsto (w\mapsto H(v,w))$$
とすると、これは$V$と$V^{\ast }$の表現としての同型を与える。$\widetilde{H^{\prime }}$が別のものとするとき、$(\widetilde{H^{\prime }}{)}^{-1}\circ \tilde{H}:V\to V$は$G$線形であるので、シューアの補題より、ある$\lambda \in \mathbb{C}$が存在して、$(\widetilde{H^{\prime }}{)}^{-1}\circ \tilde{H}=\lambda \cdot I$である。すなわち、$\tilde{H}=\lambda \cdot \widetilde{H^{\prime }}$である。