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高校数学解説
"1の降べきの順"に並べることで因数分解できるもの
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$x^3y-xy^3-x^2-y^2+1$を因数分解せよ。
一度この因数分解を考えてみてください。下に解き方と解答があります。
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$a=1$とすると与式は
$$a^2-a(x^2+y^2)+x^3y-xy^3$$
$$=a^2-a(x^2+y^2)+xy(x+y)(x-y)$$
となる。ここで$-x(x-y),-y(x+y)$という数を考えると、
$$-x(x-y)-y(x+y)=-(x^2+y^2)$$
$$(-x(x-y))(-y(x+y))=xy(x+y)(x-y)$$
となるので
$$ a^2-a(x^2+y^2)+xy(x+y)(x-y)$$
$$=(a-x(x-y))(a-y(x+y))$$
$$=(x^2-xy-1)(y^2+xy-1)$$
$$a^2-a(x^2+y^2)+x^3y-xy^3$$
$$=a^2-a(x^2+y^2)+xy(x+y)(x-y)$$
となる。ここで$-x(x-y),-y(x+y)$という数を考えると、
$$-x(x-y)-y(x+y)=-(x^2+y^2)$$
$$(-x(x-y))(-y(x+y))=xy(x+y)(x-y)$$
となるので
$$ a^2-a(x^2+y^2)+xy(x+y)(x-y)$$
$$=(a-x(x-y))(a-y(x+y))$$
$$=(x^2-xy-1)(y^2+xy-1)$$
上の解法は$a$の降べきの順に並べて因数分解した。$a=1$であるので$1$の降べきの順に並べて因数分解したことになる。もっといい解法ありそう。
投稿日：2月22日
更新日：2月22日
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