数学コンテストの関数方程式の問題まとめ④ (Z→Z/N→N篇)

$f(f(n)) = 2n$　$(\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N})$　は存在するか？

$f (f (n ) )=3n $かつ$f$は狭義単調増加　$(\mathbb{N} \to \mathbb{N})$
$f(1992)$を求めよ.

$f^{2003}(n)=5n$　$(\mathbb{N}_0 \to \mathbb{N}_0)$　は存在するか？

$f (f (n ) )=n+1987 $　$(\mathbb{N}_0 \to \mathbb{N}_0)$
は存在しないことを示せ.

$f(2f(n)) = n + 1998$　$(\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N})$　は存在するか？

$f(f(n))=f(n)+1$　$(\mathbb{N}_0 \to \mathbb{N}_0)$
ただし，$f(a)=1$なる$a \in \mathbb{N}_0$が存在する.

$f(f(n)) = f(n) + n \quad\forall n \in \mathbb{N}$
$f(1)=2$
をみたす狭義単調増加な$f: \mathbb{N} \to \mathbb{N}$は存在するか?

$f(f(n) + n) + f(n) = 1$　$(\mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z})$　は存在するか？

$ f (n )=f (n+f (n ) )　(\mathbb{N} \to \mathbb{N})$ について，
(1)　$f$の値域が有限ならば、$f$は周期関数であることを示せ.
(2)　周期関数でない$f$の例を一つ挙げよ.

$ n^2+4f (n )={f (f (n ) )}^2$　$(\mathbb{Z} \to \mathbb{Z})$

$f (f (f (n ) ) )=f (n+1 )+1 $　$(\mathbb{N}_0 \to \mathbb{N}_0)$

$f(f(n))=f(f(n+2)+2)=n$　$(\mathbb{Z} \to \mathbb{Z})$
$f(0)=1$

$\displaystyle f^{f (n )} (n )=\frac{n^2}{f (f (n ) )} $　$(\mathbb{N} \to \mathbb{N})$

$ f(n) -n \lt 2021$ かつ $f^{f(n)}(n) =n$　$(\mathbb{N} \to \mathbb{N})$
のとき，$f(n)=n$なる$n$が無数に存在することを示せ

$ f (n+1 )>f (f (n ) )$　$(\mathbb{N} \to \mathbb{N})$

$ f^{g (n )+1} (n )+g^{f (n )} (n )=f (n+1 )-g (n+1 )+1$　$(f,g:\mathbb{N} \to \mathbb{N})$

$\displaystyle f(f(n)) \le \frac{f(n) + n}{2}$　$(\mathbb{N} \to \mathbb{N})$
ただし，$f$は単射.

$2n+2001\leq f(f(n))+f(n)\leq 2n+2002$　$(\mathbb N\to \mathbb N)$

$f(n)+n+1$が平方数 かつ $f(f(n))-f(n)$が平方数　$(\mathbb{N} \to \mathbb{N})$
ただし，$f$は広義単調増加.

$f(f(n)) \leq f(n+1) - f(n)$　$(\mathbb{N}_0 \to \mathbb{N}_0)$
$f(2024) = k$
をみたす$f$が存在するような非負整数$k$を全て求めよ。

以下をみたす$f:\mathbb{N} \to \mathbb{N}$が存在するような$m \in \mathbb{N}$を全て求めよ.
(a) $f^{f^{f(n)}(n)}(n)=n \quad\forall n \in \mathbb{N}$
(b) $f^{2013}(m)\neq m$

$\displaystyle f (\frac{f (x )+a}{b} )=f (\frac{x+a}{b} ) $　$(\mathbb{Q} \to \mathbb{Z})$
$a$は与えられた整数，$b$は与えられた正の整数.

$f (2a )+2f (b )=f (f (a+b ) ) $　$(\mathbb{Z} \to \mathbb{Z})$

$f(x + y)^2 = f(x^2) + f(y^2)$　$(\mathbb{Z} \to \mathbb{Z})$

$f(x+y)^{n} = f(x^{n})+f(y^{n})$　$(\mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z})$
$n$は与えられた$2$より大きい正の整数.

$f(x^{2005} + y^{2005}) = f(x)^{2005} + f(y)^{2005}$　$(\mathbb{Z} \to \mathbb{Z})$
ただし$f$は単調関数.

$ f (x-f (y ) )=f (f (x ) )-f (y )-1$　$(\mathbb{Z} \to \mathbb{Z})$

$f(f(m) − n) + f(f(n) − m) = f(m + n)$　$(\mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z})$

$f(m+n) + f(m-n) - 2f(m) = 6mn^2$　$(\mathbb{Z} \to \mathbb{Z})$

$f(-f(n)-f(m)) = 1-n-m$　$(\mathbb{Z} \to \mathbb{Z})$

$ f (m )+f (n )=f (mn )+f (m+n+mn )$　$(\mathbb{Z} \to \mathbb{Z})$

$f(x+y)((f(x) - f(y))^2+f(xy))=f(x^3)+f(y^3)$　$(\mathbb{Z} \to \mathbb{Z})$

$f (f (m )+n )+f (m )=f (n )+f (3m )+2014 $　$(\mathbb{Z} \to \mathbb{Z})$

$\displaystyle xf (2f (y )-x )+y^2f (2x-f (y ) )=\frac{{f (x )}^2}{x}+f (yf (y ) ) \quad\forall x,y \in \mathbb{Z}, x \neq 0$　$(\mathbb{Z} \to \mathbb{Z})$

$f (x+f (x )+y )+f (x-f (x )-y )=f (x+y )+f (x-y ) $　$(\mathbb{Z} \to $奇数$)$

$f( {x + y + f(y)}) = f(x) + ny$　$(\mathbb{Z} \to \mathbb{Z})$
$n$は与えられた正の整数.

$f(2m+2n)=f(m)f(n)$　$(\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N})$

$f(f(m)+f(n))=m+n$　$(\mathbb{N} \to \mathbb{N})$

$m^2f(m) + n^2f(n) + 3mn(m + n)$　$(\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N})$

$(f(a)+b) f(a+f(b))=(a+f(b))^2$　$(\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N})$

$f (f^2(m) + 2f^2(n)) = m^2 + 2 n^2$　$(\mathbb{N} \to \mathbb{N})$

${f(n^2) - f(m^2) = f(n + m)f(n - m)} \quad\forall n,m \in \mathbb{N},n \ge m$　$(\mathbb{N} \to \mathbb{N})$

$f (m+f (n ) )=f (f (m ) )+f (n ) $　$(\mathbb{N}_0 \to \mathbb{N}_0)$

$f (3mn+m+n )=4f (m )f (n )+f (m )+f (n ) $　$(\mathbb{N}_0 \to \mathbb{N}_0)$
かつ全単射な$f$が存在することを示せ.

$f(mn) = f(m) + f(n) + f(m)f(n)$　$(\mathbb{N}_{0} \rightarrow \mathbb{Z})$
ただし$f$は狭義単調増加かつ$f(2)=7$

$f(mn)=f(m)f(n) \quad\forall m,n \in \mathbb{N}_0$
$f(n) \lt f(n+1)$
$f(2)=2$　$(\mathbb{N}_0 \to \mathbb{N}_0)$

$f(n^2-m^2)=f(n)f(m) \quad\forall n,m \in \mathbb{N}_0, n \gt m$　$(\mathbb{N}_0 \to \mathbb{N}_0)$
ただし，$f(0)=0$.

$\displaystyle \sum_{k=0}^{2b}f(a+k)=(2b+1)f(f(a)+b)$　$(\mathbb{N} \to \mathbb{N})$

$f (x+y) = f (x) f (y) \quad\forall x,y \ge a ,x + y \ge a$　$(a$以上の整数$\to \mathbb{R})$
$a$は与えられた整数.

$f(n)f(m)=f\left((nm)^{2021}\right) \quad\forall n,m \in \mathbb{N}^{\geq 2}, n \neq m$ 　$(\mathbb{N}^{\geq 2} \to \mathbb{N})$

$f\left(mf\left(n\right)\right)=f\left(m\right)f\left(m+n\right)+n$　$(\mathbb{N} \to \mathbb{N})$
は存在するか？

$f \left( m+ f(n) \right) = f(m) +f(n) + f(n+1)$　$(\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N})$　は存在するか？

単射かつ$f(xy) = f(x) + f(y)$　$(\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{Q})$　をみたす$f$は存在するか？

$f(m+nf(m))=f(n)^m+2024!m$　$(\mathbb{N} \to \mathbb{N})$　は存在するか？

$f(n+f(m))=f(n)-m$　$(\mathbb{Z} \to \mathbb{Z})$　は存在するか？

$f(m+f(n))=f(m)-n$　$(\mathbb{Z} \to \mathbb{Z})$　は存在しないことを示せ.

$f(m + f(n)) = f(m) - n$　$(\mathbb{N} \to \mathbb{N})$　は存在しないことを示せ.

$f(mn)=f(m)+f(n)+3f(m)f(n)$　$(\mathbb N \to \mathbb{N}_{0})$
をみたす全単射な関数$f$は存在しないことを示せ.

$ f (n^2f (m ) )=m{f (n )}^2$　$(\mathbb{N} \to \mathbb{N})$
$f(1998)$の可能な最小値を求めよ.

$f (m+n )\geq f (m )+f (f (n ) )-1 $　$(\mathbb{N} \to \mathbb{N})$
$f(2007)$の可能な値を全て求めよ.

$f:\mathbb{N} \to \mathbb{N}_0$が$f(2)=0,f(3)>0,f(9999)=3333,$
$f(m+n)-f(m)-f(n)=0 $または$1 \quad\forall m,n \in \mathbb{N}$
をみたすとき，$f(1982)$を求めよ.

$f (m+f (n ) )=n+f (m+95 ) $　$(\mathbb{N} \to \mathbb{N})$
がただ一つ存在することを示し、$\displaystyle \sum_{k=1}^{19}f (k )$ を求めよ。

$ m^2+{f (n )}^2+ (m-f (n ) )^2\geq{f (m )}^2+n^2$　$(\mathbb{N} \to \mathbb{N})$

$f(n)+mf(f(n))\le n(1+f(m))$　$(\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N})$

$f(m)+f(n)\mid m+n$　$(\mathbb{N} \to \mathbb{N})$

$f(n)-f(m) \mid n^2-m^2$　$(\mathbb{N}_0 \to \mathbb{Z})$

$f(a) + f(b) \mid 2(a + b - 1)$　$(\mathbb{N} \to \mathbb{N})$

$n+f(m)\mid f(n)+nf(m)$　$(\mathbb{N} \to \mathbb{N})$

$f(a)+b \mid a^2+f(a)f(b)$　$(\mathbb{N} \to \mathbb{N})$

$ f^a(b) + f^b(a) \mid 2(f(ab) +b^2 -1)$　$(\mathbb{N} \to \mathbb{N})$

$f(a) + 2ab + 2f(b) \mid f(a)^2 + 4f(b)^2$　$(\mathbb{N} \to \mathbb{N})$

$f(a) + f(b) \mid (a + b)^2$　$(\mathbb{N} \to \mathbb{N})$

$ {f (m )}^2+f (n )\mid (m^2+n )$　$(\mathbb{N} \to \mathbb{N})$

$f (x )-f (y )\mid x^n-y^n $　$(\mathbb{N} \to \mathbb{N})$
$n$は与えられた正の奇数.

$m^2+f (n )\mid mf (m )+n $　$(\mathbb{N} \to \mathbb{N})$

$f(m) + n \mid f(n)f(f(n) + m) + m$　$(\mathbb{N}_0 \to \mathbb{N})$

$f(x)+y \mid x^3 +2xy+ y^3 + f(xy)$　$(\mathbb{Z} \to \mathbb{Z})$
ただし, 「$m\mid n \Longleftrightarrow n = km$ をみたす$k \in \mathbb{Z}$ が存在」とする.

$f(m)+f(n)-mn \neq 0$かつ
$f(m)+f(n)-mn \mid mf(m)+nf(n)$　$(\mathbb{N} \to \mathbb{N})$

$f(m^2)−nf(m) \neq 0$かつ
$f(m^2)−nf(m) \mid mf(m − n) \quad \forall m,n \in \mathbb{N},m > n$　$(\mathbb{N} \to \mathbb{N})$

$f (m+n )\mid f (m )+f (n )$　$(\mathbb{N} \to \mathbb{N}^{\geq 2})$
$f$のすべての値を割り切る正の実数$c$が存在することを示せ.

$a+f (b )\mid a^2+bf (a ) \quad\forall a,b \in \mathbb{N} ,a+b>2019$　$(\mathbb{N} \to \mathbb{N})$

$n!+f(m)!\mid f(n)!+f(m!)$　$(\mathbb{N} \to \mathbb{N})$

$m!!+n!!\mid f(m)!!+f(n)!!$　$(\mathbb{N} \to \mathbb{N})$

$f(n!)=f(n)!$
$m-n \mid f(m)-f(n) \quad\forall m,n \in \mathbb{N}, m \neq n$　$(\mathbb{N} \to \mathbb{N})$

$f (m-n ) \mid f (m )-f (n ) $　$(\mathbb{Z} \to \mathbb{N})$ のとき
$f(m)\mid f(n) \quad\forall m,n \in \mathbb{Z}, f(m) \leq f(n)$ を示せ.

$n\mid m \Longleftrightarrow f(n) \mid f(m)-n \quad\forall n,m \in \mathbb{N}$　$(\mathbb{N} \to \mathbb{N})$

$ f (n! )=f (n )!$
$m-n \mid f(m)-f(n) \quad\forall m,n \in \mathbb{N}, m \neq n$　$(\mathbb{N} \to \mathbb{N})$

$p \mid f(m + n) \Longleftrightarrow p \mid f(m) + f(n) \quad\forall m,n \in \mathbb{N}, p \in \mathbb{P}$　$( \mathbb{N} \to \mathbb{N})$
ただし，$f$は全射.

定数関数でない$f:\mathbb{N} \to \mathbb{N}$が
$a-b \mid f(a)-f(b) \quad\forall a,b \in \mathbb{N}, a\neq b$
をみたすとき，$p \mid f(c)$をみたす$c \in \mathbb{N}$が存在するような素数$p$は無数に存在することを示せ.

${f(m)}^n \equiv mf(n) \;\pmod {f(n)^m}$　$(\mathbb{N} \to \mathbb{N})$

$f(a)f(a+b)-ab$が平方数　$(\mathbb{N} \to \mathbb{N})$

$f(f(a)-b)+bf(2a)$が平方数　$(\mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z})$

$(f (m )+n ) (f (n )+m )$が平方数　$(\mathbb{N} \to \mathbb{N})$

$f(n)+2mn+f(m)$が平方数　$(\mathbb{N} \to \mathbb{N})$

$nf(n) + f ^2(m) + 2nf(m)$が平方数　$(\mathbb{N} \to \mathbb{N})$

$n^2-m^2+2m(f(n)+f(m))$が平方数　$(\mathbb{N}\to\mathbb{N})$

$2f(m)f(n)-f(n-m)-1$が平方数　$(\mathbb{Z} \to \mathbb{Z})$
ただし，$f$は非有界.

相異なる$x,y,z \in \mathbb{N}$に対し，$x+y+z$が平方数であることと$f(x)+f(y)+f(z)$が平方数であることが同値.　$(\mathbb{N} \to \mathbb{N})$

$f(x, y)^2 + f(y^4 , z) + 2xy^4z$が平方数　$(\mathbb{N} \times \mathbb{N} \to \mathbb{N})$

$f(x+y)+f(x-y)=\max\{f(2x),2f(y)\}$　$(\mathbb{Z} \to \mathbb{Z})$

$f^{f(n)}(m)+mn=f(m)f(n)$　$(\mathbb{N} \to \mathbb{N})$

$f^m(n)+f(mn)=f(m)f(n)$　$(\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N})$

$ f^{a^2+b^2} (a+b )=af (a )+bf (b )$　$(\mathbb{Z}\to \mathbb{Z})$

$f^{bf (a )} (a+1 )= (a+1 )f (b ) $　$(\mathbb{N} \to \mathbb{N})$

$f^{f(m)} (n) = f(m) + f(m + n)$　$(\mathbb{N} \to \mathbb{N})$

$n \in \mathbb{N}$とし，$S= \lbrace 1,2,⋯,n \rbrace $とする.
$f^{f (m)} (m)= n + 1 − m \quad\forall m \in S$
をみたす$f:S \to S$が存在するとき，$n$は奇数であることを示せ.

$f^{f^{f(x)} (y)} (z) = x + y + z + 1$　$(\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N})$

$f^{f(n)}(q)=f(nq) \quad\forall n \in \mathbb{N}, q \in \mathbb{Q}^{+}$　$(\mathbb{Q}^{+}\rightarrow \mathbb{Q}^{+})$

$f^{b}(a) + f^{f(b)}(a) = n$　$(\mathbb{Z} \to \mathbb{Z})$
ただし$f$は全単射，$n$は与えられた整数.

$\mathrm{lcm}(m, f(m + f(n))=\mathrm{lcm}(f(m), f(m) +n)$　$(\mathbb{N} \to \mathbb{N})$

$f(mn) = \operatorname{lcm} (m,n) \cdot \gcd( f(m), f(n) )$　$(\mathbb{N} \to \mathbb{N})$

$f(xy) \cdot\gcd(f(x),y)=f(x)f(y)$　$(\mathbb{N} \to \mathbb{N})$

$a \neq b$なる$a,b \in \mathbb{N}^{\geq 2}$に対し$f(a)f(b)=f(a^2b^2)$　$(\mathbb{N}^{\geq 2} \to \mathbb{N}^{\geq 2})$

全ての$a,b \in \mathbb{N}^{\geq 2}$に対し，
$ f(a f(n)) = bn$をみたす$f:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$が存在することを示せ

$2f(a^2+b^2+c^2)-2f(ab+bc+ca)=f(a-b)^2+f(b-c)^2+f(c-a)^2$　　$(\mathbb{Z} \to \mathbb{Z})$

${f (a )}^2+{f (b )}^2+{f (c )}^2=2f (a )f (b )+2f (b )f (c )+2f (c )f (a ) \quad\forall a,b,c \in \mathbb{Z}, a+b+c=0$　$(\mathbb{Z} \to \mathbb{Z})$

$af(bc)+bf(ac)+cf(ab)=(a+b+c)f(ab+bc+ac)$　$(\mathbb{N} \to \mathbb{N})$

$f(a^3) + f(b^3) + f(c^3) + 3f(a + b)f(b + c)f(c + a) = {f(a + b + c)}^3$　$(\mathbb{Z}\to \mathbb{Z})$

$f(a)+f(b)+f(c)=a^2+b^2+c^2 \quad\forall a,b,c \in \mathbb{Z}, a+b+c=0$　$(\mathbb{Z}\to \mathbb{Z})$

$f(a + b) = f(a) + f(b) + f(c) + f(d) \quad\forall a,b,c,d \in \mathbb{N}_0, 2ab = c^2 + d^2$　$(\mathbb{N}_0 \to \mathbb{N}_0)$

$f (g(x)+y) = g( f (y)+x) $　$(f,g :\mathbb{Z} \to \mathbb{Z})$
ただし$g$は単射.

$f(g(x)+y)=g(f(y)+x)$　$(f,g: \mathbb Z \to \mathbb Z)$
$f$が有界なら，$g$は周期関数であることを示せ。

$f (g (n ) )=f (n )+1,\ g (f (n ) )=g (n )+1 $　$(\mathbb{N} \to \mathbb{N})$
のとき，$f(n)=g(n)$を示せ.

$a,\ f (b ),\ f (b+f (a )-1 )$ が非退化な三角形をなす　$\forall a,b \in \mathbb{N}$　$(\mathbb{N} \to \mathbb{N})$

全ての$a,b \in \mathbb{N}$に対し，以下の2条件が成り立つ$f:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$を全て求めよ.
(1)　$f(ab) = f(a)f(b)$
(2)　$f(a),f(b),f(a+b)$のうち少なくとも$2$つが等しい　

$f(mn) = mf(n) + nf(m)$　$(\mathbb{N} \to \mathbb{N}_0)$
かつ$f(2024)=10120$　のとき，$f$は単射でないことを示せ.

$f(f(x)-y)=f(y)-f(f(x))$　$(\mathbb{Z} \to \mathbb{Z})$
のとき，$f$は(上下に)有界であることを示せ。

$m$と$n$が互いに素$\Longleftrightarrow f(mn)^2 = f(m^2)f(f(n))f(mf(n)) \quad\forall m,n \in \mathbb{N}$　$(\mathbb{N} \to \mathbb{N})$

$f(xy+c)=f(x)+f(y)$　$(S \to \mathbb{Z})$
ただし$S$は$10^{100}$以上の整数の集合，$c$は与えられた正の整数.

すべての$a,b \in \mathbb{N}$に対し，以下のいずれか一方のみが常に成り立つような
全射な$f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$をすべて求めよ.
$f(a)=f(b)$
$f(a+b)=\min\{f(a),f(b)\}$

以下をみたす$f,g:\mathbb{N} \to \mathbb{N}$が存在する正の整数$k$を全て求めよ.
$ f^{g(n)}(n)=f(n)+k \quad\forall n \in \mathbb{N}$
$g$が無限に多くの値をとる

$f(mn)=f(m)f(n)$
$\{1, 2, ..., n\}=\{f(1), f(2), ... f(n)\} \quad\forall n \in \mathbb{N}$　$(\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N})$

$f:\mathbb{N} \to \mathbb{N}$が次の条件をみたすとき，$f$は単射であることを示せ.
「$f(x)+y$が平方数$ \Longleftrightarrow x+f(y)$が平方数」

$f(m+n)=f(m)+f(n)+2mn$　$(\mathbb{N} \to \mathbb{N})$
かつ$f(n)$は平方数

任意の$g:\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$に対し$f(g(n)) - g(f(n))$が$n$によらないような$f:\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$を全て求めよ.

$f(p)^{f(q)}+q^p=f(q)^{f(p)}+p^q$　$(\mathbb{P} \to \mathbb{P})$

$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}f(k)$が平方数　かつ　$f(n) \mid n^3\quad\forall n \in \mathbb{N}$　$(\mathbb{N} \to \mathbb{N})$

次の3条件をみたす$f:\mathbb{N} \to \mathbb{N}_0$を全て求めよ.
(a)　$f(mn)=f(m)+f(n) \quad\forall m,n \in \mathbb{N}$
(b)　$f(n) \neq 0$なる$n$が少なくとも1つ存在する.
(c)　$f(k)=f(n-k) \quad\forall k< n$　をみたす$n \in \mathbb{N}$が無数に存在する.　

正の整数がそれぞれ赤か青に塗られている. $f:\mathbb{N} \to \mathbb{N}$が次をみたすとき，
$f(x)\le ax \quad\forall x \in \mathbb{N}$をみたす$a \in \mathbb{N}$が存在することを示せ.
(a) $x\le y$のとき$f(x)\le f(y)$
(b) $x,y,z \in \mathbb{N}$がすべて同色かつ$x+y=z$をみたすとき，$f(x)+f(y)=f(z)$

関数$f(x,y)$がすべての非負実数$x,y$に対し，
$f(0,y)=y+1$
$f(x+1,0)=f(x,1)$
$f(x+1,y+1)=f(x,f(x+1,y))$
をみたすとき，$f(4,1981)$を求めよ.