初等幾何の問題の解説

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かえでです．
Twitter(@ka_Arc_math) に投稿した初等幾何の問題の解答を書きます．

問題

鋭角三角形 $A B C$ において，その外接円を $Γ$ とし，劣弧 $B C, C A, A B$ の中点をそれぞれ $M_{A}, M_{B}, M_{C}$ とする．また，
$M_{A} M_{C}$ と $A B, B C$ の交点をそれぞれ $P, D$ ， $M_{A} M_{B}$ と $C A, B C$ の交点をそれぞれ $Q, E$ とする．このとき，
(1) $M_{B}, M_{C}, D, E$ の共円を示せ．
(2) $M_{B}, M_{C}, P, Q$ の共円を示せ．

↓解答↓
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解答

$∠ M_{C} D E = ∠ M_{C} B C + ∠ B M_{C} M_{A} = 180 ° - ∠ M_{C} M_{B} C + ∠ C M_{B} M_{A} = 180 ° - ∠ M_{C} M_{B} E$
よって対角の和が $180 °$ になり示される．//
(1)より，これは $P Q / / D E$ であることと同値である．
$B P : A P = B M_{A} : A M_{A} = C M_{A} : A M_{A} = C Q : A Q$
より， $P Q / / B C$ であるから示される．//