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初等幾何の問題の解説

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かえでです.
Twitter(@ka_Arc_math) に投稿した初等幾何の問題の解答を書きます.

問題

鋭角三角形$ ABC $において,その外接円を$ Γ $とし,劣弧$ BC,CA,AB $の中点をそれぞれ$ M_A,M_B,M_C $とする.また,
$ M_AM_C $$ AB,BC $の交点をそれぞれ$ P,D $$ M_AM_B $$ CA,BC $の交点をそれぞれ$ Q,E $とする.このとき,
(1)$ M_B,M_C,D,E $の共円を示せ.
(2)$ M_B,M_C,P,Q $の共円を示せ.

↓解答↓








解答

  1. $ ∠M_CDE=∠M_CBC+∠BM_CM_A=180°-∠M_CM_BC+∠CM_BM_A=180°-∠M_CM_BE $
    よって対角の和が$ 180° $になり示される.//
  2. (1)より,これは$ PQ//DE $であることと同値である.
    $ BP:AP=BM_A:AM_A=CM_A:AM_A=CQ:AQ $
    より,$ PQ//BC $であるから示される.//

最後に

初めてのMathlogへの投稿でした.
この問題を機に,幾何における逆平行や所謂Aminoの補題(Reim's Theorem)と言われるものについて知って頂けると嬉しいです.(おそらく検索したらどちらも出てくる)
以上です.

投稿日:20231029
更新日:20231110

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投稿者

競技数学を嗜む一般人

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