初等幾何の問題の解説

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かえでです．
Twitter(@ka_Arc_math) に投稿した初等幾何の問題の解答を書きます．

問題

鋭角三角形$ ABC $において，その外接円を$ Γ $とし，劣弧$ BC,CA,AB $の中点をそれぞれ$ M_A,M_B,M_C $とする．また，
$ M_AM_C $と$ AB,BC $の交点をそれぞれ$ P,D $，$ M_AM_B $と$ CA,BC $の交点をそれぞれ$ Q,E $とする．このとき，
(1)$ M_B,M_C,D,E $の共円を示せ．
(2)$ M_B,M_C,P,Q $の共円を示せ．

↓解答↓
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解答

$ ∠M_CDE=∠M_CBC+∠BM_CM_A=180°-∠M_CM_BC+∠CM_BM_A=180°-∠M_CM_BE $
よって対角の和が$ 180° $になり示される．//
(1)より，これは$ PQ//DE $であることと同値である．
$ BP:AP=BM_A:AM_A=CM_A:AM_A=CQ:AQ $
より，$ PQ//BC $であるから示される．//