中学数学の図形問題を積分で破壊しよう
こんちくは
こんにちは。近頃数学よりもピアノのほうがやっている時間が長いんですけど、どういうことですかね？
三か月くらいずっと練習している曲がまだ弾き終わりません。ピアノを習ったことがない素人ですからね、仕方ないね。
今回は中学数学の範囲で解くような図形問題を積分でぶち壊すお話です。
いくつか例を挙げてそれの解き方を見せ、最後に発想を思いつく限り並べようと思います。
本題
1問目
一問目はこちら
出典は「令和七年度神奈川県公立高等学校学力検査問題(追試)」です。
普通に解こうとするととてつもない時間とひらめき力を問われてしまいます。
そこを計算量の暴力で沈めてしまいましょう！
こいつも座標に置いて解くのですが、その前に基本的な情報を探りましょう。
$\text{AD}=\text{CD}$と$\text{AE}\perp\text{BD}$、$\triangle{\text{AFD}}\sim\triangle{\text{DCB}}$より、$\text{AD}=2\sqrt{5}$がわかります。
これで充分ですね。座標においてしまいましょう。
先ほどの情報も一緒に盛り込んでおきました。
さて、問題は$\triangle{\text{DFG}}$の面積でした。
ですがその前に、点$\text{F,G}$の座標を出してしまいましょう。この過程は省略します。(直線の交点を計算するだけ)
\begin{align*}
&\text{F}\left(\frac{2\sqrt{5}}{5},\frac{6\sqrt{5}}{5}\right)\\
&\text{G}\left(\frac{14\sqrt{5}}{11},\frac{6\sqrt{5}}{11}\right)
\end{align*}
よしっ。
今回求めたい面積$S$は
\begin{align*}
S=[\text{直線FDを[F,D]で積分した値}]-\left\{[\text{直線FGを[F,G]で積分した値}]+[\text{直線GDを[G,D]で積分した値}]\right\}
\end{align*}
となります。
前半部分は
\begin{align*}
\int_{\frac{2\sqrt{5}}{5}}^{2\sqrt{5}}\frac{1}{2}x+\sqrt{5}dx&=\left[\frac{1}{4}x^2+\sqrt{5}x\right]_{\frac{2\sqrt{5}}{5}}^{2\sqrt{5}}\\
&=\frac{1}{4}\left(20-\frac{4}{5}\right)+\sqrt{5}\cdot\frac{8\sqrt{5}}{5}\\
&=\frac{64}{5}
\end{align*}
後半の中かっこの中身は
\begin{align*}
\int_{\frac{2\sqrt{5}}{5}}^{\frac{14\sqrt{5}}{11}}-\frac{3}{4}x+\frac{3\sqrt{5}}{2}dx+\int_{\frac{14\sqrt{5}}{11}}^{2\sqrt{5}}2x-2\sqrt{5}dx&=\left[-\frac{3}{8}x^2+\frac{3\sqrt{5}}{2}x\right]_{\frac{2\sqrt{5}}{5}}^{\frac{14\sqrt{5}}{11}}+\left[x^2-2\sqrt{5}x\right]_{\frac{14\sqrt{5}}{11}}^{2\sqrt{5}}\\
&=-\frac{3}{8}\left(\frac{196\cdot5}{121}-\frac{4}{5}\right)+\frac{3\sqrt{5}}{2}\left(\frac{14\sqrt{5}}{11}-\frac{2\sqrt{5}}{5}\right)+20-\frac{196\cdot5}{121}-2\sqrt{5}\left(2\sqrt{5}-\frac{14\sqrt{5}}{11}\right)\\
&=\frac{464}{55}
\end{align*}
結構計算量えぐいですね。まあ、いいでしょう。$[\text{前半}]-[\text{後半}]$を計算すると、
\begin{align*}
S&=\int_{\frac{2\sqrt{5}}{5}}^{2\sqrt{5}}\frac{1}{2}x+\sqrt{5}dx-\left\{\int_{\frac{2\sqrt{5}}{5}}^{\frac{14\sqrt{5}}{11}}-\frac{3}{4}x+\frac{3\sqrt{5}}{2}dx+\int_{\frac{14\sqrt{5}}{11}}^{2\sqrt{5}}2x-2\sqrt{5}dx\right\}\\
&=\frac{64}{5}-\frac{464}{55}\\
&=\frac{48}{11}
\end{align*}
これが答えとなります。そして、模範解答と同じ答えになっています^^
この感覚がたまりませんね。「やってやったぜ」感。最高です。
2問目
図3において、四角形$\text{ABCD}$は正方形であり、点$\text{E}$は辺$\text{BC}$上で$\text{BE}:\text{CE}=3:1$となる点で、点$\text{F}$は辺$\text{CD}$の中点である。そして、点$\text{F}$から線分$\text{DE}$に垂線を引き、その足と線分$\text{DE}$の交点を$\text{G}$とする。
$\text{CE}=1$のとき、線分$\text{FG}$の長さを求めよ。
多分中学数学で解くような幾何の問題としても最難な気もします。(実際、これは自分の解いた模試を改変したもの。当時も正攻法がわからず積分で破壊して事なきを得ました。)
まあ、解ければいいんです。座標平面上に置きましょう。
よいしょ～。これ全部$\text{TeX}$で書いてるんですからね。いい労働ですよ。
さて、点$\text{G}$の座標を知るために線分$\text{DE}$と線分$\text{FG}$の直線の方程式を知りたいですね。ここでポイントなのは、次の性質です。
二つの直線
\begin{align*}
y&=p_{1}x+q_{1}\\
y&=p_{2}x+q_{2}
\end{align*}
が垂直に交わる条件は
\begin{align*}
p_{1}p_{2}=-1
\end{align*}
である。
さて、とりあえず線分$\text{DE}$の式は出せますね。($\text{D,E}$の座標より)
\begin{align*}
\text{DE}:y=-\frac{1}{4}x+\frac{3}{2}
\end{align*}
これと垂直に交わるのが線分$\text{FG}$なので、線分$\text{FG}$の傾きは$4$とわかります。そしたら切片ももちろんわかって、
\begin{align*}
\text{FG}:y=4x+2
\end{align*}
これらの交点が$\text{G}$でした。交点を計算すると、
\begin{align*}
\text{G}\left(-\frac{2}{17},\frac{9}{17}\right)
\end{align*}
また、こんな素晴らしい定理があるんです。
$y=f(x)$が$x\in[a,b]$で微分可能で$f'(x)$が連続であるとき、
$f(x)$が区間$[a,b]$で描く曲線の長さ$L$は
\begin{align*}
L=\int_{a}^{b}\sqrt{1+(f'(x))^2}dx
\end{align*}
となる。
微小な変化に三平方の定理を使いそれを足し合わせることで証明することができます。
今回の問題にこれを使ってみましょう。
関数は$y=4x+2$、区間は$[-\frac{2}{17},0]$です。すると求めたかった$\text{FG}$の長さは
\begin{align*}
\text{FG}&=\int_{-\frac{2}{17}}^{0}\sqrt{1+(4)^2}dx\\
&=\sqrt{17}[x]_{-\frac{2}{17}}^{0}\\
&=\frac{2\sqrt{17}}{17}
\end{align*}
と計算できます！実際にこれは正しい答えとなり、我々の脳に危ない物質がほとばしるわけです。
発想のまとめ
めんどくさそうな図形問題を見たら...
$\fbox{1}$面積を求める問題だった
$\rightarrow$図形全体を上手に座標平面上に置き、必要な関数の方程式、座標をもとめて定積分。
$\fbox{2}$長さを求める問題だった
$\rightarrow$図形全体を上手に座標平面上に置き、直線の式と区間の両端の座標をもとめて弧長積分。
また、角度が出されている場合$\cos,\tan$を巧みに使いこなして余弦定理。
$\fbox{3}$番外編
円や正方形など、性質が良い図形が題材だったら即座標平面においてもいいかもしれません。たいていこれで解けます^^
おわり
いかがだったでしょうか。本当は中学校の数学の範囲内で解くのが理想ですが、最終手段として持っておいて損は絶対にないと思います。またほかの発想を思いついたら随時更新しようと思います。ほな、さいなら
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