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はさみうちの原理を使わないと解けないって誰が決めつけたんだ!

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こんにちは半額です。
本日は数3頻出の、分数型漸化式のはさみうちの原理による解法に一石を投じたいと思います。実は特別なことをしなくても一般項が出せるんです!
例として、以下の問題を用意しました。

xy座標において,
Oを原点,円C:x2+y2=1,点A(1,0)と定め,円C上にAOP1=θnとなるよう第1象限に点P1をとる.
いま自然数nに対して,AOPn=θn(0<θ<π2)となる円C上の点Pnにおける円Cの接線とy軸との交点をQn,直線AQnと円CとのAでない交点をPn+1とする.
sinθ1=π6,an=1sinθ1であるとき,
(1)an+1anで表せ.

(2)limnanの値を求めよ.

(3)Sn=k=1n(ak1ak) とする. limnSnを求めよ.

(1)は本題ではないので簡潔に。

(1)Pnにおける円Cの接線の方程式は
xcosθn+ysinθn=1(…lとおく).
ly軸との交点は,x=0を代入して,
y=1sinθn=an Qn(0,an)
よって直線AQnの方程式は,y=anx+an(…mとおく).
mと円CとのAでない交点は
Pn+1(an21an2+1,2anan2+1)
他方,Pn+1(cosθn+1,sinθn+1)と表せることから,
sinθn+1=2anan2+1
an+1=12(an+1an)

(2)ですが、まずは正攻法から。
特性方程式を解くと、極限値が1と予想できます。

(2)an+11
=(an1)22an
=12(11an)(an1)
0<θn<π2より,0<sinθn<1

ゆえにan1>0かつ12(11an)<12であるから,
0<an1<12(an11)<(12)n1(a11)

limn(12)n1(a11)=0 であるから,はさみうちの原理により
limn(an1)=0
limnan=1

それでは本題…の前に(3)を済ませておきますね。少し発想力が必要です。

(3)anan+1=12(an1an)
an1an=2(anan+1)
limnSn=limnk=1n2(akak+1)
=2(a11)
=2(a1=1sinπ6=2)

お待たせいたしました。お待たせしすぎたかもしれません。
では、本題の漸化式an+1=12(an+1an)を解いていきましょう。

an+11=(an1)22an

an1=bnとおくと,bn+1=bn22(bn+1)
bn=an1>0より,1bn+1=2bn+2bn2

1bn=cnとおくと,cn+1=2cn2+2cn
cn+1+12=2(cn+12)2

cn+12=dnとおくと,dn+1=2dn2
log2dn+1=1+2log2dn
log2dn=enとおくと,
en+1=1+2en
en+1+1=2(en+1)
en+1=2n1(e1+1)

ここで,
e1
=log2d1
=log2(c1+12)
=log2(1b1+12)
=log2(1a11+12)
=log231
であるから,

en=2n1log231
dn=22n1log231
=1232n1
cn=1232n112
=12(32n11)
bn=232n11
an=232n11+1

よって

limnan=1

となり、同様の結果が得られました。
少々煩雑ですが、全て高校で学習する基礎的な解法の連続なので、漸化式の練習にはもってこいだと思います。

はさみうちのやり方がわからないときに、ゴリ押しの解法のひとつとして頭の片隅に潜ませておいていただければ幸いです。
それではまた。人生に、数学の視点を!

投稿日:2024227
更新日:202438
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