こんにちは半額です。
本日は数3頻出の、分数型漸化式のはさみうちの原理による解法に一石を投じたいと思います。実は特別なことをしなくても一般項が出せるんです!
例として、以下の問題を用意しました。
いま自然数
(1)
(2)
(3)
(1)は本題ではないので簡潔に。
(1)
よって直線
他方,
(2)ですが、まずは正攻法から。
特性方程式を解くと、極限値が1と予想できます。
(2)
ゆえに
それでは本題…の前に(3)を済ませておきますね。少し発想力が必要です。
(3)
お待たせいたしました。お待たせしすぎたかもしれません。
では、本題の漸化式
ここで,
であるから,
よって
となり、同様の結果が得られました。
少々煩雑ですが、全て高校で学習する基礎的な解法の連続なので、漸化式の練習にはもってこいだと思います。
はさみうちのやり方がわからないときに、ゴリ押しの解法のひとつとして頭の片隅に潜ませておいていただければ幸いです。
それではまた。人生に、数学の視点を!