はさみうちの原理を使わないと解けないって誰が決めつけたんだ！

(1)$P_n$における円$C$の接線の方程式は
$xcosθ_n+ysinθ_n=1$(…$l$とおく).
$l$と$y$軸との交点は,$x=0$を代入して,
$y=\frac{1}{sinθ_n}=a_n$ $ \therefore Q_n(0,a_n)$
よって直線$AQ_n$の方程式は,$y=-a_nx+a_n$(…$m$とおく).
$m$と円$C$との$A$でない交点は
$P_{n+1}(\frac{a_n^2-1}{a_n^2+1},\frac{2a_n}{a_n^2+1})$
他方,$P_{n+1}(cosθ_{n+1},sinθ_{n+1})$と表せることから,
$sinθ_{n+1}=\frac{2a_n}{a_n^2+1}$
$\therefore a_{n+1}=\frac{1}{2}(a_n+\frac{1}{a_n})$

(2)$a_{n+1}-1$
$=\frac{(a_n-1)^2}{2a_n}$
$=\frac{1}{2}(1-\frac{1}{a_n})(a_n-1)$
$0<θ_n<\frac{π}{2}$より,$0< sinθ_n<1$

ゆえに$a_n-1>0$かつ$\frac{1}{2}(1-\frac{1}{a_n})<\frac{1}{2}$であるから,
$0< a_n-1<\frac{1}{2}(a_{n-1}-1)<(\frac{1}{2})^{n-1}\cdot(a_1-1)$

$$\lim_{n \to \infty} (\frac{1}{2})^{n-1}\cdot(a_{1}-1)=0$$ であるから,はさみうちの原理により
$$\lim_{n\to\infty}(a_n-1)=0$$
$$\therefore \lim_{n\to \infty}a_n=1$$

(3)$a_n-a_{n+1}=\frac{1}{2}(a_n-\frac{1}{a_n})$
$a_n-\frac{1}{a_n}=2(a_n-a_{n+1})$
$$\lim_{n\to \infty}S_n=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}2(a_k-a_{k+1})$$
$=2(a_1-1)$
$=2(\because a_1=\frac{1}{sin\frac{π}{6}}=2) $

$a_{n+1}-1=\frac{(a_n-1)^2}{2a_n}$

$a_n-1=b_n$とおくと,$b_{n+1}=\frac{b_n^2}{2(b_n+1)}$
$b_n=a_n-1>0$より,$\frac{1}{b_{n+1}}=\frac{2}{b_n}+\frac{2}{b_n^2}$

$ \frac{1}{b_n}=c_n$とおくと,$c_{n+1}=2c_n^2+2c_n$
$c_{n+1}+\frac{1}{2}=2(c_n+\frac{1}{2})^2$

$c_n+\frac{1}{2}=d_n$とおくと,$d_{n+1}=2d_n^2$
$$\log_2d_{n+1}=1+2\log_2d_{n}$$
$\log_2d_n=e_n$とおくと,
$e_{n+1}=1+2e_n$
$e_{n+1}+1=2(e_n+1)$
$e_{n}+1=2^{n-1}(e_{1}+1)$

ここで,
$e_1$
$=\log_2d_1$
$=\log_2(c_1+\frac{1}{2})$
$=\log_2(\frac{1}{b_1}+\frac{1}{2})$
$=\log_2(\frac{1}{a_1-1}+\frac{1}{2})$
$=\log_23-1$
であるから,

$e_n=2^{n-1}\log_23-1$
$d_n=2^{2^{n-1}\log_23-1}$
$=\frac{1}{2}\cdot 3^{2^{n-1}}$
$c_n=\frac{1}{2}\cdot 3^{2^{n-1}}-\frac{1}{2}$
$=\frac{1}{2}(3^{2^{n-1}}-1)$
$b_n=\frac{2}{3^{2^{n-1}}-1}$
$\therefore a_n=\frac{2}{3^{2^{n-1}}-1}+1$

$$\lim_{n\to\infty}a_n=1$$