フィボナッチ数の最大公約数が循環する

以下の議論ではフィボナッチ数列の隣り合う項が互いに素であることと$m \mid n \Leftrightarrow F_{m} \mid F_{n}$と$F_{m+n}=F_{m-1}F_{n}+F_{m}F_{n+1}$(ここではフィボナッチ数の加法定理という)を認める.
なお,自分はこれらの定理の証明を見ていないのでもしやこの証明は循環論法になっているかもしれない.(流石にこれらの定理の証明に自分のこの定理を使ってるはずはないと思うが)
$k,n \in \mathbb{N}$を任意にとる.
定義によって,$G_{n_{k}}$=gcd($F_{n}$,$F_{n+k}$)である.
フィボナッチ数の加法定理によって,
$F_{n+k}$=$F_{n-1}F_{k}+F_{n}F_{k+1}$であるから,
gcd($F_{n}$,$F_{n+k}$)=gcd($F_{n}$,$F_{n-1}F_{k}$)
また,$F_{n}$と$F_{n-1}$は互いに素であるからgcd($F_{n}$,$F_{n-1}F_{k}$)=gcd($F_{n}$,$F_{k}$)
ゆえに,$G_{n_{k}}$=gcd($F_{n}$,$F_{k}$)
同様にして,$G_{n+k_{k}}$=gcd($F_{n+k}$,$F_{n+2k}$)=gcd($F_{n+k}$,$F_{n+k-1}F_{k}+F_{n+k}F_{k+1}$)=gcd($F_{n+k}$,$F_{k}$)
以上より,gcd($F_{n}$,$F_{k}$)=gcd($F_{n+k}$,$F_{k}$)を示せば十分である.

n=pk+r (p,r$\in \mathbb{N}_{0}$)とする.このような(p,r)は必ず存在している.(除法の定理)
n+k=(p+1)k+rが従う.
gcd($F_{n}$,$F_{k}$)=gcd($F_{pk+r}$,$F_{k}$)=gcd($F_{pk-1}F_{r}+F_{pk}F_{r+1}$,$F_{k}$)
$k \mid pk$より$F_{k} \mid F_{pk}$であることと$F_{pk}$と$F_{pk-1}$が互いに素であることによって$F_{pk-1}$と$F_{k}$は互いに素であるからgcd($F_{pk-1}F_{r}+F_{pk}F_{r+1}$,$F_{k}$)=gcd($F_{r}$,$F_{k}$)
また,gcd($F_{n+k}$,$F_{k}$)=gcd($F_{(p+1)k+r}$,$F_{k}$)=gcd($F_{(p+1)k-1}F_{r}+F_{(p+1)k}F_{r+1}$,$F_{k}$)
$k \mid (p+1)k$より$F_{k} \mid F_{(p+1)k}$であることと$F_{(p+1)k}$と$F_{(p+1)k-1}$は互いに素であることによって$F_{(p+1)k-1}$と$F_{k}$が互いに素であるからgcd($F_{(p+1)k-1}F_{r}+F_{(p+1)k}F_{r+1}$,$F_{k}$)=gcd($F_{r}$,$F_{k}$)
したがってgcd($F_{n}$,$F_{k}$)=gcd($F_{n+k}$,$F_{k}$)