Hirsch 微分トポロジーの問題1.2.10

1.問題1.2.4より$G(3,2)\approx G(3,1)$かつ、実射影空間$P^{n-1}$の定義とGrassmann多様体$G(n,1)$の定義は集合や構造レベルから一致する事から$G(3,1)=P^2$。すなわち$G(3,2)\approx P^2$。

2.前提として、$P^3$はその構成方法から、四元数単位空間の各元のプラスマイナスを同一視した空間$S^3/\{\pm1\}$と同じであることに注意する。すなわち$[w:x:y:z]=[w+xi+yj+zk/\sqrt{w^2+x^2+y^2+z^2}]_\pm$
(右辺の$[]_\pm$は、四元数の$\pm$を同一視した商空間の元ということ)という自然な同一視がある。

いま、$R:S^3\to SO(3)$を、$v\in \mathbb R^3$に対して$v\mapsto qvq^{-1}$となるような変換$R(q)$で定義する。(ただし$v$は$v=(x,y,z)$に対して$ix+jy+kz$と同一視されているとする。)
　するとこの$R(q)$は$q=a+bi+cj+dk$に対して、

$\begin{pmatrix} a^2+b^2-c^2-d^2 & 2(bc-ad) & 2(bd+ac) \\ 2(bc+ad) & a^2-b^2+c^2-d^2 & 2(cd-ab)\\ 2(bd-ac) & 2(cd+ab) & a^2-b^2-c^2+d^2\\ \end{pmatrix}$

　と表される。この$R(q)$が$SO(3)$の元になる事は線形代数の問題なので省略する。(簡単には、ノルムでみると内積保存されているため行列式が$\pm1$しかないかつ、その連続性から$R(1)$だけ計算すればよく、よって$SO(3)$の元である事がわかる。)
　特に$R(q)=R(-q)$であることから、この$R$によって、well-defindな連続写像$R:S^3/\{\pm1\}\to SO(3)$を得る。

　ここで、本来なら$R$が2:1の被覆写像になっていることと、コンパクトHausdorff性から、すぐに(ではないかもしれないが)全単射で逆も滑らか(正確には、局所的に滑らか$\to$大域的に滑らか)である事が従うので$R$が微分同相であると言っていいのだが、かなり抽象的な議論になってしまう。
　そのため、Markley,F.L.[1]による初等(?)的に示す方法を紹介する。

　次に、逆となる$F:SO(3)\to P^3$を構成するため、いくつか記号を導入する:
　$A\in SO(3)$に対して、その第$(i,j)$成分を$A_{ij}$、
　$s_0=1+\tr A$、
　$s_1=1+2A_{11} - \tr A$、
　$s_2=1+2A_{22} - \tr A$、
　$s_3=1+2A_{33} - \tr A$、
　$\Delta_{ij}=A_{ij}-A_{ji}$、
　$\Sigma_{ij}=A_{ij}+A_{ji}$、
　$v_0=(s_0,\Delta_{32},\Delta_{13},\Delta_{21})$、
　$v_1=(\Delta_{32},s_1,\Sigma_{12},\Sigma_{13})$、
　$v_2=(\Delta_{13},\Sigma_{12},s_2,\Sigma_{23})$、
　$v_3=(\Delta_{21},\Sigma_{13},\Sigma_{23},s_3)$。

　このとき$F(A)$を、各$s_k$の中で正の値をもつ$k$に対して$[v_k]\in P^3$と定めると、これはwell-defindになる。(具体的には、ロドリゲスの回転公式を用いて気合いでwell-defindである事を確認するか、先に示した$R$が全射である事を示して、$A$に対応する四元数$q$が存在することを使ってwell-defindを確かめるかすれば良い。)
　また、これが$R$の逆写像になることも分かる。(これもやはり、気合いで合成したものを計算したり、$A$に対応する四元数$q$が存在することを使って計算したりすれば良い。)

　よって、この$R$は滑らかな全単射であり、その逆$F$もまた滑らかなので、$SO(3)\approx S^3/\{\pm1\}=P^3$を得る。

3.各$P\in \widetilde{ G _2} (\mathbb R^4)$に対して向き付きなので、その向きに沿った正規直交基底$e_1,e_2$が取れる。それに対して、まず単純2-形式$\omega=e_1\wedge e_2\in \wedge^2\mathbb R^4(:=\wedge^2)$を与える。
　この$\omega$は、正規直交基底の取り方に依らない形式である事に注意する。(つまり、他の任意の向きに沿った正規直交基底$e_1',e_2'$を取った時、$R(\theta)\in SO(2)$に対して$(e_1',e_2')=(e_1,e_2)R(\theta)$と表せて、$e_1'\wedge e_2'=\omega$となる。)

　今、Hodge作用素$\star:\wedge^2 \to \wedge^{2} $を考える。(これは、各$\alpha, \beta \in \wedge^2 $に対して$ \alpha \wedge \star\beta = ⟨\alpha, \beta⟩ \mathrm{vol} $が成り立つようなもの。ただし$\mathrm{vol}$は体積要素で、$\mathbb R^4$の標準基底$r_1,…r_4$に対して$r_1\wedge ⋯ \wedge r_4$のこと。)

　この時、$\star$による自己双対・反自己双対成分への固有空間分解$\wedge^2 \mathbb R^4= \wedge^2_+ \oplus \wedge^2_-,(\wedge^2_\pm=\{\omega\in \wedge^2|\star \omega=\pm\omega\})$があり、各$\wedge^2_\pm$の大きさが1のもの(これを$S\wedge^2_+,S\wedge^2_-$と書く)は単位球面に自然に同相になる。(すなわち$S^2=S\wedge^2_\pm$。)
　また、特に任意の$\omega\in \wedge^2$に対して$\omega_+,\omega_-$を$\omega_\pm\mapsto(\omega\pm \star\omega)/\sqrt 2$で定めると、これらはちょうどそれぞれ自己双対・反自己双対になっていて、これにより元の固有分解表現$\omega\mapsto\omega_++\omega_-$ができる。(特に$\omega$の大きさが$1$なら、Hodge作用素の定義から$\omega_\pm$それぞれの大きさも$1$になる)

　以上により、$\phi: \widetilde G_2(\mathbb R^4) \to S(\wedge^2_+) × S(\wedge^2_-), \phi(V) = (\omega_+, \omega_-)$
がwell-defindに定まり、その構成は明らかに滑らかである。

　また、$\psi:S(\wedge^2_+) × S(\wedge^2_-)\to \widetilde G_2(\mathbb R^4)$を各$(a,b)\in S(\wedge^2_+) × S(\wedge^2_-)$に対して、$\omega=(a+b)/\sqrt 2$が単純な大きさ1の2形式だから、ある$v_1,v_2$で$\omega=v_1\wedge v_2$となることを用いて、これによって張られる向き付けられた2平面$V=span\{v_1,v_2\}$に写す写像$(a,b)\mapsto V$とする。
　これは、定義から$\phi$の逆写像になっている。
　よって$\phi$は全単射滑らか。$\psi$も特異な変換はなく滑らか※なので、$\phi$は微分同相。

　よって、$\widetilde{ G _2} (\mathbb R^4)\approx S^2×S^2$。