名古屋大理系第1問(2022)

$a, b$ を実数とする。
$(1)$ 整式 $x^{3}$ を $(x - a)^{2}$ で割ったときの余りを求めよ。
$(2)$ 実数を係数とする2次式 $f (x) = x^{2} + α x + β$ で整式 $x^{3}$ を割った余りが $3 x + b$ とする。 $b$ の値に応じて, このような $f (x)$ が何個あるか求めよ。

(1)
$\begin{aligned} x^{3} & = {(x - a) + a}^{3} = (x - a)^{3} + 3 (x - a)^{2} a + 3 (x - a) a^{2} - a^{3} = (x - a)^{2} {(x - a) + 3 a} + 3 a^{2} x - 2 a^{3} \end{aligned}$
だから, 求める答えは
$\begin{array}{r} 3 a^{2} x - 2 a^{3} . \end{array}$
(2)
$\begin{array}{r} x^{3} = (x^{2} - α x + β) (x + α) + (α^{2} - β) x - α β . \end{array}$
$\begin{aligned} {\begin{aligned} α^{2} - β = 3 \\ - α β = b \end{aligned} & ⟺ {\begin{aligned} β = 3 - α^{2} \\ α (3 - α^{2}) = b \end{aligned} \end{aligned}$
だから
$\begin{array}{r} x^{3} \equiv 3 x + b (\mod f (x)) \end{array}$
を満たす $f (x)$ の個数を $N$ とすると, $N$ は
$\begin{array}{r} b = α (3 - α^{2}) = - α^{3} + 3 α^{2} \end{array}$
を満たす実数 $α$ の個数と一致する。
$\begin{array}{r} \frac{d b}{d α} = - 3 (α - 1) (α + 1) \end{array}$
だから, $b$ の増減表は以下のようになる。