名古屋大理系第1問(2022)

(1)
\begin{align*} x^{3}&=\{(x-a)+a\}^{3}=(x-a)^{3}+3(x-a)^{2}a+3(x-a)a^{2}-a^{3}=(x-a)^{2}\{(x-a)+3a\}+3a^{2}x-2a^{3} \end{align*}
だから, 求める答えは
\begin{align*} 3a^{2}x-2a^{3}. \end{align*}
(2)
\begin{align*} x^{3}=(x^{2}-\alpha{x}+\beta)(x+\alpha)+(\alpha^{2}-\beta)x-\alpha\beta. \end{align*}
\begin{equation*} \begin{aligned} \left\{ \, \begin{aligned} & \alpha^{2}-\beta=3\\ & -\alpha\beta=b \end{aligned} \right. &\iff \left\{ \, \begin{aligned} & \beta=3-\alpha^{2}\\ & \alpha(3-\alpha^{2})=b \end{aligned} \right. \end{aligned} \end{equation*}
だから
\begin{align*} x^{3}\equiv{3x+b}\quad \pmod{f(x)} \end{align*}
を満たす$f(x)$の個数を$N$とすると, $N$は
\begin{align*} b=\alpha(3-\alpha^{2})=-\alpha^{3}+3\alpha^{2} \end{align*}
を満たす実数$\alpha$の個数と一致する。
\begin{align*} \dfrac{db}{d\alpha}=-3(\alpha-1)(\alpha+1) \end{align*}
だから, $b$の増減表は以下のようになる。

$b$の増減表

よって
\begin{equation*} N= \left\{ \, \begin{aligned} & 1\quad (b<-2, 2< b)\\ & 2\quad (b=\pm{2})\\ & 3\quad (-2< b<2)\\ \end{aligned} \right. \end{equation*}