Andrews-Roseの恒等式
MacMahonによる$q$級数を
\begin{align}
A_k(q)&:=\sum_{0< m_1<\cdots< m_k}\prod_{i=1}^k\frac{q^{m_i}}{(1-q^{m_i})^2}\\
C_k(q)&:=\sum_{0< m_1<\cdots< m_k}\prod_{i=1}^k\frac{q^{2m_i-1}}{(1-q^{2m_i-1})^2}
\end{align}
と定義する. ただし, $A_0(q)=C_0(q)=1$とする. また, Chebyshev多項式を
\begin{align}
T_n(\cos\theta):=\cos(n\theta)
\end{align}
と定義する. このとき, 以下が成り立つ.
\begin{align}
{(q^2;q^2)_{\infty}^3}\sum_{0\leq k}A_k(q^2)x^{2k+1}&=2\sum_{0\leq n}T_{2n+1}\left(\frac x2\right)q^{n^2+n}\\
\frac{(q;q)_{\infty}}{(-q;q)_{\infty}}\sum_{0\leq k}C_k(q)x^{2k}&=1+2\sum_{0< n}T_{2n}\left(\frac x2\right)q^{n^2}
\end{align}
が成り立つ.
$x=2\cos \theta$とすると, Jacobiの三重積より,
\begin{align}
2\sum_{0\leq n}T_{2n+1}(\cos \theta)q^{n^2+n}&=2\sum_{0\leq n}\cos((2n+1)\theta)q^{n^2+n}\\
&=\sum_{0\leq n}(e^{i(2n+1)\theta}+e^{-i(2n+1)\theta})q^{n^2+n}\\
&=\sum_{n\in\ZZ}e^{i(2n+1)\theta}q^{n^2+n}\\
&=e^{i\theta}(-e^{2i\theta}q^2,-e^{-2i\theta},q^2;q^2)_{\infty}\\
&=(e^{i\theta}+e^{-i\theta})(q^2;q^2)_{\infty}\prod_{0< n}(1+2\cos(2\theta)q^{2n}+q^{4n})\\
&=x(q^2;q^2)_{\infty}\prod_{0< n}((1-q^{2n})^2+x^2q^{2n})\\
&=x(q^2;q^2)_{\infty}^3\prod_{0< n}\left(1+\frac{x^2q^{2m}}{(1-q^{2m})^2}\right)\\
&=(q^2;q^2)_{\infty}^3\sum_{0\leq k}A_k(q^2)x^{2k+1}
\end{align}
となって1つ目の等式が示される. 同様に,
\begin{align}
1+2\sum_{0< n}T_{2n}\left(\frac x2\right)q^{n^2}&=1+2\sum_{0< n}\cos(2n\theta)q^{n^2}\\
&=\sum_{n\in\ZZ}e^{2ni\theta}q^{n^2}\\
&=(-e^{2i\theta},-e^{-2i\theta}q,q^2;q^2)_{\infty}\\
&=(q^2;q^2)_{\infty}\prod_{0< n}(1+2\cos(2\theta)q^{2n-1}+q^{4n-2})\\
&=(q^2;q^2)_{\infty}\prod_{0< n}((1-q^{2n-1})^2+x^2q^{2n-1})\\
&=(q,q,q^2;q^2)_{\infty}\prod_{0< n}\left(1+\frac{x^2q^{2n-1}}{(1-q^{2n-1})^2}\right)\\
&=\frac{(q;q)_{\infty}}{(-q;q)_{\infty}}\sum_{0\leq k}C_k(q)x^{2k}
\end{align}
Chebyshev多項式は
\begin{align}
T_n(x)&=\frac n2\sum_{k=0}^{\lfloor\frac n2\rfloor}(-1)^k\frac{(n-k-1)!}{k!(n-2k)!}(2x)^{n-2k}
\end{align}
と表されるので, これを用いると
\begin{align}
2T_{2n}\left(\frac x2\right)&=2n\sum_{k=0}^n(-1)^{n-k}\frac{(n+k-1)!}{(n-k)!(2k)!}x^{2k}\\
2T_{2n+1}\left(\frac x2\right)&=(2n+1)\sum_{k=0}^n(-1)^{n-k}\frac{(n+k)!}{(n-k)!(2k+1)!}x^{2k+1}
\end{align}
が得られる. よって, 定理1の両辺の$x^{2k},x^{2k+1}$の係数を比較して以下を得る.
\begin{align} A_k(q)&=\frac{1}{(2k+1)!(q;q)_{\infty}^3}\sum_{0\leq n}(-1)^{n-k}(2n+1)\frac{(n+k)!}{(n-k)!}q^{\frac 12n(n+1)}\\ C_k(q)&=\frac{(-q;q)_{\infty}}{(2k)!(q;q)_{\infty}}\sum_{0\leq n}(-1)^{n-k}2n\frac{(n+k-1)!}{(n-k)!}q^{n^2} \end{align}
これらはある意味で多重ゼータ値, 多重$t$値の公式
\begin{align}
\zeta(\{2\}^k)&=\frac{\pi^{2k}}{(2k+1)!}\\
t(\{2\}^k)&=\frac{\pi^{2k}}{2^{2k}(2k)!}
\end{align}
の$q$類似と言えるかもしれない.
