多重総和と二項係数と無限等比数列の一般化について
何をしたのか
$$
\frac{1}{1-x} = \sum_{k=0}^\infty x^k
$$
を一般化した
結果
$ 4つの公式+\alpha$が手に入った
1.
$$
T_n = \sum_{k=0}^\infty {}_{n+k-1} \mathrm{ C }_{n-1} x^k = \frac{1}{(1-x)^n}
$$
2.
$$
{}_{k+n-1} \mathrm{ C }_{n} = \sum_{a_1=1}^k\sum_{a_2=1}^{a_1} \cdots
\sum_{a_n=1}^{a_{n-1}} 1
$$
3.
$$
{}_{a+b} \mathrm{ C }_{b} = \frac{1}{b!}\ \prod_{i=1}^{b}(a+i)
$$
4.
$$
\frac{dT_n}{dx}=nT_{n+1}
$$
それぞれの導出とか
1.と2.は自分で考えたのでよくわかりません
それっぽいの
せや
$$
\frac{1}{1-x} = \sum_{k=0}^\infty x^k
$$
一般化したろ
とりあえず$T_{n,k}とT_n$を定める
$$
T_n = \sum_{k=0}^\infty T_{n,k}x^k = \frac{1}{(1-x)^n}
$$
例1.
$$
T_1 = 1+x+x^2 +\cdots
$$
あっ
$$
T_n-T_nx=T_{n-1}
$$
$$
T_n = \frac{T_{n-1}}{1-x}
$$
より$T_n$は存在する
$T_{n,x}$はその前の$T_{n-1}$を因数に持つから
$$
T_{k+1.n-1} = \sum_{a_1=1}^k\sum_{a_2=1}^{a_1} \cdots
\sum_{a_n=1}^{a_{n-1}} 1
$$
$T_n$規則性あるな..
$$
T_1 = 1+x+x^2+x^3+x^4\cdots
$$
$$
T_2 = 1+2x+3x^2+4x^3+5x^4\cdots
$$
$$
T_3 = 1+3x+6x^2+10x^3+20x^4\cdots
$$
二項係数っぽいから調整して
$$
T_n = \sum_{k=0}^\infty {}_{n+k-1} \mathrm{ C }_{n-1} x^k = \frac{1}{(1-x)^n}
$$
1.を手に入れた
二項係数..!
$$
{}_{k+n-1} \mathrm{ C }_{n} = \sum_{a_1=1}^k\sum_{a_2=1}^{a_1} \cdots
\sum_{a_n=1}^{a_{n-1}} 1
$$
2.を手に入れた
3.は4.の証明に必須なので
$$
{}_{a+b} \mathrm{ C }_{b} = \frac{1}{b!}\ \prod_{i=1}^{b}(a+i)
$$
を証明する
変形によって簡単に求めれる
$$
{}_{a+b} \mathrm{ C }_{b} = \frac{(a+b)!}{b!a!}=\frac{1}{b!}\prod_{i=1}^b(a+i)
$$
4.証明
\begin{eqnarray} \frac{dT_n}{dx} &=& \sum_{k=0}^\infty {}_{n+k-1} \mathrm{ C }_{n-1} \frac{dx^k}{dx}\\ &=&\sum_{k=1}^\infty {}_{n+k-1} \mathrm{ C }_{n-1} kx^{k-1}\\ &=&\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{(n-1)!}\prod_{i=1}^{n-1}(k+i) kx^{k-1}\\ &=&\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{(n-1)!}\prod_{i=1}^{n-1}(k+i+1) (k+1)x^k\\ &=&\sum_{k=0}^\infty x^k\frac{k+1}{(n-1)!}\prod_{i=2}^{n}(k+i) \\ &=&\sum_{k=0}^\infty x^k\frac{1}{(n-1)!}\prod_{i=1}^{n}(k+i) \\ &=&\sum_{k=0}^\infty x^k\frac{n}{n!}\prod_{i=1}^{n}(k+i) \\ &=&\sum_{k=0}^\infty n\cdot x^k\frac{1}{n!}\prod_{i=1}^{n}(k+i) \\ &=&\sum_{k=0}^\infty n\cdot x^k {}_{k+n} \mathrm{ C }_{n} \\ &=&n\sum_{k=0}^\infty {}_{k+n} \mathrm{ C }_{n} x^k\\ &=&nT_{n+1}\\ より完了 \end{eqnarray}
これらを利用した$k^n$総和の導出
2.3.を使う
2.
$$
{}_{k+n-1} \mathrm{ C }_{n} = \sum_{a_1=1}^k\sum_{a_2=1}^{a_1} \cdots
\sum_{a_n=1}^{a_{n-1}} 1
$$
3.
$$
{}_{a+b} \mathrm{ C }_{b} = \frac{1}{b!}\ \prod_{i=1}^{b}(a+i)
$$
2.3.を利用し
$$
\frac{1}{n!}\ \prod_{i=0}^{n-1}(k+i) = \sum_{a_1=1}^k\sum_{a_2=1}^{a_1} \cdots
\sum_{a_n=1}^{a_{n-1}} 1
$$
これを使い$ \sum_{a=0}^ka^2 $を求める
$n=3$($ \sum_{a=0}^ka^s $の時$n=s+1$)
総和
\begin{eqnarray}
\sum_{a_1=1}^k\sum_{a_2=1}^{a_1}\sum_{a_3=1}^{a_2} 1
&=&\sum_{a_1=1}^k\sum_{a_2=1}^{a_1}a_2\\
&=&\sum_{a_1=1}^k\frac{1}{2}a_1(a_1+1)\\
&=&\sum_{a_1=1}^k\frac{1}{2}a_1^2 +a_1\\
これは\sum_{a=0}^ka^2が\\求めれないので\\ここから計算できない\\
ここで3.を使用\\
与式&=& \frac{1}{3!}\ \prod_{i=0}^{2}(k+i)\\
&=& \frac{1}{6}k(k+1)(k+2)\\
\sum_{a_1=1}^k\frac{1}{2}a_1^2 +\frac{1}{2}a_1 &=& \frac{1}{6}k(k+1)(k+2)\\
\frac{1}{4}k(k+1)+\sum_{a_1=1}^k\frac{1}{2}a_1^2 &=& \frac{1}{6}k(k+1)(k+2)\\
\sum_{a_1=1}^k\frac{1}{2}a_1^2 &=& \frac{1}{6}k(k+1)(k+2)-\frac{1}{4}k(k+1)\\
&=& \frac{1}{12}k(k+1)(2k+1)\\
\sum_{a_1=1}^k\frac{1}{2}a_1^2 &=& \frac{1}{12}k(k+1)(2k+1)\\
両辺を二倍し\\
\sum_{a_1=1}^ka_1^2 &=& \frac{1}{6}k(k+1)(2k+1)\\
\end{eqnarray}
こんな感じ
おーわり
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