Radon-Nikodym導関数の連鎖律について
こんにちは。最近Le Camの理論周りを勉強していて、Radon-Nikodym導関数を具体的に触っていくことが増えたので、主に連鎖律のあたりの性質について書いておこうと思います。
測度空間$(X,\mathcal{F},\mu)$は$\sigma$-有限とする.$\nu$を$\mu$について絶対連続な測度($\nu\ll\mu$)とする.このとき以下が成り立つ:ある非負関数$f\in L^1(X,\mathcal{F},\mu)$が(a.e.の意味で)唯一存在して,任意の$A\in\mathcal{F}$について,
\begin{align}
\nu(A)=\int_{A}fd\mu.
\end{align}
この$f$をRadon-Nikodym derivative (ラドン・ニコディム導関数)と呼び,$\dfrac{d\nu}{d\mu}$と表す.
証明はLebesgue積分論の教科書などに載っていると思います。
次に、いわゆる普通の微分と似た性質である連鎖律についてです。($\sigma$-有限性はいちいち断らないことにします。)
$\nu_1\ll\nu_2\ll\nu_3$であるとき,以下が成り立つ:
\begin{align}
\dfrac{d\nu_1}{d\nu_3}=\dfrac{d\nu_1}{d\nu_2}\dfrac{d\nu_2}{d\nu_3}.
\end{align}
証明には以下の補題を用います。これが証明できればほぼ終わりです。
$f\in L^1(\nu_2)$とする.このとき,
\begin{align*}
\int fd\nu_2=\int f\dfrac{d\nu_2}{d\nu_3}d\nu_3.
\end{align*}
いつもの単関数近似でOKです。
$f\geq 0$として証明できれば十分です。$\{f_n\}_{n\geq 1}$を、$n$について単調増大である非負単関数とします。具体的に、
\begin{align}
f_n(x)=\sum_{i=1}^{m_n}a_i^{(n)}1_{B_i^{(n)}}(x)\quad(m_n\geq 1,a_i^{(n)}>0,B_i^{(n)}\in\mathcal{F})
\end{align}
と表せたとすると、
\begin{align}
\int f_n(x)\dfrac{d\nu_2}{d\nu_3}d\nu_3&=\int\sum_{i=1}^{m_n}a_i^{(n)}1_{B_i^{(n)}}(x)\dfrac{d\nu_2}{d\nu_3}d\nu_3\\
&=\sum_{i=1}^{m_n}a_i^{(n)}\int1_{B_i^{(n)}}(x)\dfrac{d\nu_2}{d\nu_3}d\nu_3\\
&=\sum_{i=1}^{m_n}a_i^{(n)}\int_{B_i^{(n)}}\dfrac{d\nu_2}{d\nu_3}d\nu_3\\
&=\sum_{i=1}^{m_n}a_i^{(n)}\nu_2(B_i^{(n)})\\
&=\int f_n(x)d\nu_2
\end{align}
となり、$n\to\infty$とすると右辺はLebesgue積分の定義から$\int fd\nu_2$に、左辺は単調収束定理より$\int f\cdot(d\nu_2/d\nu_3)d\nu_3$に収束します。これで示されました。
$A\in\mathcal{F}$を任意にとります。補題3より、
\begin{align}
&\int_A\dfrac{d\nu_1}{d\nu_2}\dfrac{d\nu_2}{d\nu_3}d\nu_3=\int1_A\dfrac{d\nu_1}{d\nu_2}\dfrac{d\nu_2}{d\nu_3}d\nu_3=\int1_A\dfrac{d\nu_1}{d\nu_2}d\nu_2=\int_A\dfrac{d\nu_1}{d\nu_2}d\nu_2=\nu_1(A)
\end{align}
となるため、Radon-Nikodym導関数の一意性より
\begin{align}
\dfrac{d\nu_1}{d\nu_3}=\dfrac{d\nu_1}{d\nu_2}\dfrac{d\nu_2}{d\nu_3}
\end{align}
が成立します。これで示されました。
これによって、以下の系が成立します。
- $\mu\ll\nu, \nu\ll\mu$であれば, $\dfrac{d\mu}{d\nu}=\dfrac{1}{d\nu/d\mu}$.
- $\nu_1\ll\nu_2\ll\mu$であれば, $\dfrac{d\nu_1}{d\nu_2}=\dfrac{d\nu_1/d\mu}{d\nu_2/d\mu}$.
与えられた2つの測度$\nu_1,\nu_2$について、$ \nu_1,\nu_2\ll\mu$となる測度$\mu$は必ず存在します。例えば、$\mu=\nu_1+\nu_2$とすればOKです。
今日はこの辺りにしておきましょう。
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