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有名不等式の統計学的解釈(ガバ解説つき)

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動機

期待値で有名不等式を解釈することによる見た目の綺麗さと覚えやすさと直感性があるからまとめた.

準備

次の期待値の定義に注意せよ

E[X]:=xXx|X|E[f(X)]:=xXf(x)|X| (f(X):={f(x)|xX})E[XY]:=zXYz|X| (XY:={xiyi|xiX,yiY} , |X|=|Y|)

重みとXの元を大きい順・小さい順に並べた集合を次のように表記する.

W  :={wW|w>0,wWw=1}X+:={xiX|xixj , i<j}X:={xiX|xjxi , i<j}

また,特筆しないが文脈により,Xの元を正とする場合がある(式中にxが出てくる場合など).
|X|としても良かったが,動機である見た目の良さに反するのでつけないこととした.各自で判断せよ.

オーソドックスな

Power mean

E[Xa]1/aE[Xb]1/b (a>b)

E[Xt]1/tは言うまでもなく,t=1で相加平均,t=1で調和平均,t=2で二乗平均平方根だが,実はt0で相乗平均となる.

Hölder's inequality

E[X1n]E[Xnn]E[X1Xn]n

重みを等しくした場合である.E[X1]E[Xn]E[X1Xnn]nという解釈もできる.
言うまでもなく,n=2のときコーシー・シュワルツの不等式
E[X2]E[Y2]E[XY]2
である.

Minkowski's inequality

E[X1p]1/p++E[Xnp]1/pE[X1++Xnp]1/p (p1)

Xi={xi},p=1で三角不等式E[X]E[X] である.

順序絡み

Rearrangement inequality

E[X+Y+]E[XY]E[X+Y]

(空腹の方が美味しく食えるなら)
寿司を食う時は好きなもんから食った方がいいって意味.

Chebyshev's sum inequality

E[X+Y+]E[X]E[Y]E[X+Y]

(xi,yi) (xiX+,yiY+)は共分散が正か0で(xi,yi) (xiX+,yiY)は共分散が負か0だから
Cov[X,Y]=E[XY]E[X]E[Y]より,
E[X+Y+]E[X]E[Y]  ,  E[X+Y]E[X]E[Y] ゆえ,題意を得るというイメージ.

凸関数絡み

Jensen's inequality

f(x)0  (for minxXxxmaxxXx)  (f),

E[Wf(X)]f(E[WX])
特に,重みが等しいとき
E[f(X)]|X|f(E[X]|X|)

fI上で凹関数のときf0 だから,上式のffと置き換えると(f)=f0だから,

E[Wf(X)]f(E[WX])E[Wf(X)]f(E[WX]),

E[f(X)]|X|f(E[X]|X|)E[f(X)]|X|f(E[X]|X|)

Karamata's inequality

XY , f(x)0  (minxXYxxmaxxXYx)  (f),

E[f(X)]E[f(Y)]

Yの元をすべてE[WX]と置くと,WXYだから,この不等式より,
E[f(WX)]E[f(Y)]=E[f(E[WX])]=f(E[WX])

だから,ジェンセンの一般化とも言える.

投稿日:2024826
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投稿者

東北大学工学研究科出身 できるだけ受け売りはせず,自分で思いついた解法や妄想を備忘録がてら書き綴っていこうと思います.

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