動機
期待値で有名不等式を解釈することによる見た目の綺麗さと覚えやすさと直感性があるからまとめた.
準備
次の期待値の定義に注意せよ
重みとの元を大きい順・小さい順に並べた集合を次のように表記する.
また,特筆しないが文脈により,の元を正とする場合がある(式中にが出てくる場合など).
としても良かったが,動機である見た目の良さに反するのでつけないこととした.各自で判断せよ.
オーソドックスな
は言うまでもなく,で相加平均,で調和平均,で二乗平均平方根だが,実はで相乗平均となる.
重みを等しくした場合である.という解釈もできる.
言うまでもなく,のときコーシー・シュワルツの不等式
である.
で三角不等式 である.
順序絡み
(空腹の方が美味しく食えるなら)
寿司を食う時は好きなもんから食った方がいいって意味.
Chebyshev's sum inequality
は共分散が正か0では共分散が負か0だから
より,
ゆえ,題意を得るというイメージ.
凸関数絡み
が上で凹関数のとき だから,上式のと置き換えるとだから,
の元をすべてと置くと,だから,この不等式より,
だから,ジェンセンの一般化とも言える.