メジャーを使わずに家具のサイズを測る

ある紐を用意し、長さを$x$とする。$(x\in \mathbb{R},x>0)$
紐の一端を軸にし、180°回転することで$x\times 2^1$の長さが測定可能。

今度は、軸にしなかった方の一端を軸にし、180°回転することで$x\times 2^0+x\times 2^1$の長さが測定可能。

さらに、軸にしなかった方の一端を軸にし、180°回転することで$x\times 2^2$が測定可能。

これを繰り返すと
$m=x(2^0{a}_0+2^1{a}_1+...+2^k{a}_k+...)$　$a_i=0または1 (0\le i)$
のとき$m$は測定可能。$\cdots \mathrm{①}$

また、紐を半分にすることで$x\times 2^{-1}$が測定可能。
さらに半分にすると$x\times 2^{-2}$が測定可能。
これを繰り返すと
$n=x(2^{-1}{b}_1+2^{-2}{b}_2+...+2^{-l}{b}_l+...)$　$b_j=0または1 (1\le j)$
のとき$n$は測定可能。$\cdots \mathrm{②}$

①、②より、$m+n$も測定可能
$m+n=x(2^0{a}_0+2^1{a}_1+...+2^k{a}_k+...)+x(2^{-1}{b}_1+2^{-2}{b}_2+...+2^{-l}{b}_l+...)$
　　　 $=x(2^0{a}_0+2^1{a}_1+...+2^k{a}_k+...+2^{-1}{b}_1+2^{-2}{b}_2+...+2^{-l}{b}_l+...)$
　　　 $=x(...+2^k{a}_k+...+2^1{a}_1+2^0{a}_0+2^{-1}{b}_1+2^{-2}{b}_2+...+2^{-l}{b}_l+...)$

正の実数は2進数で表されるので
$$\mathrm{\exists }y\in \mathbb{R},y>0 s.t. y=...+2^k{a}_k+...+2^1{a}_1+2^0{a}_0+2^{-1}{b}_1+2^{-2}{b}_2+...+2^{-l}{b}_l+...$$
$$xy=zとおくと、x,y\in \mathbb{R},x,y>0より、z\in \mathbb{R},z>0$$
$$\therefore m+n=xy=z$$
$$m+nは測定可能なので、z\in \mathbb{R}(z>0)も測定可能$$
よって、任意の長さの紐1本で、任意の長さを測定できる。