メジャーを使わずに家具のサイズを測る

ある紐を用意し、長さを$x$とする。$(x \in \mathbb{R}, x>0)$
紐の一端を軸にし、180°回転することで$x×2^{1}$の長さが測定可能。

今度は、軸にしなかった方の一端を軸にし、180°回転することで$x×2^{0}+x×2^{1}$の長さが測定可能。

さらに、軸にしなかった方の一端を軸にし、180°回転することで$x×2^{2}$が測定可能。

これを繰り返すと
$ m=x(2^{0}a_{0}+2^{1}a_{1}+...+2^{k}a_{k}+...)$　$a_i=0または1　(0 \leq i) $
のとき$m$は測定可能。$\cdots①$

また、紐を半分にすることで$x×2^{-1}$が測定可能。
さらに半分にすると$x×2^{-2}$が測定可能。
これを繰り返すと
$ n=x(2^{-1}b_{1}+2^{-2}b_{2}+...+2^{-l}b_{l}+...)$　$b_j=0または1　(1 \leq j) $
のとき$n$は測定可能。$\cdots②$

①、②より、$m+n$も測定可能
$ m+n=x(2^{0}a_{0}+2^{1}a_{1}+...+2^{k}a_{k}+...)+x(2^{-1}b_{1}+2^{-2}b_{2}+...+2^{-l}b_{l}+...) $
　　　 $=x(2^{0}a_{0}+2^{1}a_{1}+...+2^{k}a_{k}+...+2^{-1}b_{1}+2^{-2}b_{2}+...+2^{-l}b_{l}+...)$
　　　 $=x(...+2^{k}a_{k}+...+2^{1}a_{1}+2^{0}a_{0}+2^{-1}b_{1}+2^{-2}b_{2}+...+2^{-l}b_{l}+...)$

正の実数は2進数で表されるので
$$ \exists y \in \mathbb{R},y>0　s.t.　y=...+2^{k}a_{k}+...+2^{1}a_{1}+2^{0}a_{0}+2^{-1}b_{1}+2^{-2}b_{2}+...+2^{-l}b_{l}+... $$
$$ xy=zとおくと、 x,y\in \mathbb{R},x,y>0より、z\in \mathbb{R},z>0 $$
$$ \therefore m+n=xy=z $$
$$ m+nは測定可能なので、z\in \mathbb{R}(z>0)も測定可能 $$
よって、任意の長さの紐1本で、任意の長さを測定できる。