【必勝法】ウサギと猟犬

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ウサギと猟犬とは、任天堂のゲーム『世界のアソビ大全51』に収録されたボードゲームの一種です。
ここではこのゲームに関する定理、必勝法を記述します。
（必勝法と言いながら未解決なことをお詫び申し上げます。）

ルール説明

ウサギと猟犬　盤面
上記の盤面を用意する。
※文字は説明のために置いたものであり、ゲームでは非表示

プレイヤーを2人用意し、ウサギ、犬を操作するプレイヤーを決定する。
犬を上図のA、D、Iに配置し、ウサギをHに配置する。
向きは、犬はDからH方向、ウサギはHからD方向に向ける。
※ウサギをランダムに配置するルールもあるが、ここでは考慮しない。
先攻、後攻を決める。
プレイヤーがコマを1マス動かし、プレイヤーのターンを交代する。
ウサギは線でつながったマスを自由に移動できる。
犬は縦移動ができるが、後ろに下がることはできない。
また、犬は同じマスに2つ以上配置することはできない。
（例えば、ウサギはFから8方向に移動が可能だが、犬はFから、F→B、F→C、F→Gは移動できるが、F→A、F→E、F→Iは移動できない。）

次のターン、ウサギが動けなくなったとき。
つまり、犬が勝利する盤面は上下対称を同一視すると2パターンあり、

ウサギ中心定理

ウサギがFにいるかつウサギのターンのとき、前方に少なくとも犬が3匹いなければウサギの勝利

ウサギと猟犬　盤面

ウサギがFにいるとし、ウサギのターンとする。

1.2.3.から、ウサギの前に犬が3匹いなければウサギの勝利

犬の勝利条件定理

ウサギは自身が敗北しないような最善手で行動した場合、犬は犬の勝利条件1.で勝利することはない。

ウサギと猟犬　盤面

以下、犬がA、D、I、ウサギがHにいる場合、(A,D,I|H)と表記する。

犬の勝利条件1.となる盤面を想定し、矛盾を導く。

犬の勝利盤面を(A,F,G|B)とする。
その1つ前の盤面を(A,F,G|X)とすると、ウサギX→BとなるマスXは存在しない。
よって、犬のターンにより盤面(A,F,G|B)が作られたことがわかる。

(A,F,G|B)の1つ前の盤面を(X,F,G|B)と仮定する。
1-1. X=Dのとき
　　(D,F,G|B)の1つ前の盤面でウサギはA→Bと移動する必要があるが、ウサギはAにいる時点で勝利するため矛盾。
1-2. X=Eのとき
　　1-1.と同様に矛盾。
(A,F,G|B)の1つ前の盤面を(A,X,G|B)と仮定する。
2-1. X=Eのとき
　　(A,E,G|B)の1つ前の盤面でウサギはF→Bと移動する必要があるが、ウサギが最善手で動くと「ウサギ中心定理」により、ウサギはFにいる状態からウサギが勝利する移動が存在するため矛盾。
2-2. X=I、X=J、X=K、X=Gのとき
　　2-1.と同様に矛盾。
(A,F,G|B)の1つ前の盤面を(A,F,X|B)と仮定する。
3-1. X=Hのとき
　　(A,F,H|B)の1つ前の盤面でウサギはC→Bと移動する必要があるが、ここでC→Gと移動すれば、犬の勝利条件1.があてはまることはなくなる。
3-2. X=Gのとき
　　(A,F,G|B)の1つ前の盤面でウサギはC→Bと移動する必要があるが、ここでC→Hと移動すれば、犬の勝利条件1.があてはまることはなくなる。