文献あり

二進数みたいな数列

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はじめに

2021年3月24日現在、私のTwitterアカウントがなぜかロックされています。誤BANだと思うので現在異議申請中ですが、しばらくツイートすることができません。3月20日7時過ぎにロックされてすぐに異議申請したときにTwitter社から、Twitter社で調査中なので調査が完了するまでお待ちくださいとの自動返信メールが来ましたが、その後一切連絡がなく、なぜロックされたのか、いつになったら解除されるのかさっぱりわかりません。

それはさておき、二進数みたいな数列を作る式を新たに作りましたので投稿します。

二進数みたいな数列の一般項

${\displaystyle a_n=n+\sum_{k=1}^{\log_2 (n+1)} 2\cdot 5^{k-1} \left( 2n+1-2^k-\frac{2^{k+1}}{\pi}\tan^{-1} \left( \tan \left( \frac{ \left( 2n+1-2^{k} \right)\pi }{2^{k+1}} \right) \right) \right) }$

$\{a_n\}=\{0,1,10,11,100,101,110,111,1000,1001,1010,1011,\cdots\}\qquad(n\ge0)$

Desmosによる検算

仕組みの解説

この式の仕組みは言葉で説明するより下の表を見てもらった方が分かりやすいと思います。まずは表をじっと見てください。

A	B	C	D	E	A+B+C+D+E
0	0	0	0	0	0
1	0	0	0	0	1
2	8	0	0	0	10
3	8	0	0	0	11
4	16	80	0	0	100
5	16	80	0	0	100
6	24	80	0	0	110
7	24	80	0	0	111
8	32	160	800	0	1000
9	32	160	800	0	1001
10	40	160	800	0	1010
11	40	160	800	0	1011
12	48	240	800	0	1100
13	48	240	800	0	1101
14	56	240	800	0	1110
15	56	240	800	0	1111
16	64	320	1600	8000	10000
17	64	320	1600	8000	10001
18	72	320	1600	8000	10010
19	72	320	1600	8000	10011
20	80	400	1600	8000	10100
$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$

おわかりいただけましたでしょうか。
各列は規則的に数値が増加しており、横方向に足した結果が二進数みたいな数列になっていますね。
上記の式と表の対応関係は、式の最初の $"n"$ が表の $A$ 列に、$"\sum"$ の部分が表の $B$ 列以降に対応しています。

$\tan^{-1}(\tan(x))$ の部分は床関数のような働きをしています。

過去の作品

同じ数列の別表現について、過去にツイートしたことがありますので、ここに再掲しておきます。

別表現(その1)

${\displaystyle a_n=\frac{1}{5}\left( n+\sum_{k=0}^{n} 2^{k+2}5^{k}\left\lfloor \frac{n}{2^k} \right\rfloor \right) }$

$\{a_n\}=\{0,1,10,11,100,101,110,111,1000,1001,1010,1011,\cdots\}\qquad(n\ge0)$

別表現(その2)

${\displaystyle a_n= \sum_{k=0}^{n} 10^k \left( \frac{1}{2}- \frac{ \sqrt{1-\cos\frac{(2n+1)\pi}{2^k}} }{ 2\sqrt{2}\sin\frac{(2n+1)\pi}{2^{k+1}} } \right) }$

$\{a_n\}=\{0,1,10,11,100,101,110,111,1000,1001,1010,1011,\cdots\}\qquad(n\ge0)$

それぞれの式の仕組みを考えてみても楽しいかもしれません。