2
高校数学解説
文献あり

二進数みたいな数列

108
0
$$$$

はじめに

2021年3月24日現在、私のTwitterアカウントがなぜかロックされています。誤BANだと思うので現在異議申請中ですが、しばらくツイートすることができません。3月20日7時過ぎにロックされてすぐに異議申請したときにTwitter社から、Twitter社で調査中なので調査が完了するまでお待ちくださいとの自動返信メールが来ましたが、その後一切連絡がなく、なぜロックされたのか、いつになったら解除されるのかさっぱりわかりません。

それはさておき、二進数みたいな数列を作る式を新たに作りましたので投稿します。

二進数みたいな数列の一般項

${\displaystyle a_n=n+\sum_{k=1}^{\log_2 (n+1)} 2\cdot 5^{k-1} \left( 2n+1-2^k-\frac{2^{k+1}}{\pi}\tan^{-1} \left( \tan \left( \frac{ \left( 2n+1-2^{k} \right)\pi }{2^{k+1}} \right) \right) \right) }$

$\{a_n\}=\{0,1,10,11,100,101,110,111,1000,1001,1010,1011,\cdots\}\qquad(n\ge0)$

Desmosによる検算

仕組みの解説

この式の仕組みは言葉で説明するより下の表を見てもらった方が分かりやすいと思います。まずは表をじっと見てください。

ABCDEA+B+C+D+E
000000
100001
2800010
3800011
4168000100
5168000100
6248000110
7248000111
83216080001000
93216080001001
104016080001010
114016080001011
124824080001100
134824080001101
145624080001110
155624080001111
16643201600800010000
17643201600800010001
18723201600800010010
19723201600800010011
20804001600800010100
$\vdots$$\vdots$$\vdots$$\vdots$$\vdots$$\vdots$

おわかりいただけましたでしょうか。
各列は規則的に数値が増加しており、横方向に足した結果が二進数みたいな数列になっていますね。
上記の式と表の対応関係は、式の最初の $"n"$ が表の $A$ 列に、$"\sum"$ の部分が表の $B$ 列以降に対応しています。

$\tan^{-1}(\tan(x))$ の部分は床関数のような働きをしています。

過去の作品

同じ数列の別表現について、過去にツイートしたことがありますので、ここに再掲しておきます。

別表現(その1)

${\displaystyle a_n=\frac{1}{5}\left( n+\sum_{k=0}^{n} 2^{k+2}5^{k}\left\lfloor \frac{n}{2^k} \right\rfloor \right) }$

$\{a_n\}=\{0,1,10,11,100,101,110,111,1000,1001,1010,1011,\cdots\}\qquad(n\ge0)$

別表現(その2)

${\displaystyle a_n= \sum_{k=0}^{n} 10^k \left( \frac{1}{2}- \frac{ \sqrt{1-\cos\frac{(2n+1)\pi}{2^k}} }{ 2\sqrt{2}\sin\frac{(2n+1)\pi}{2^{k+1}} } \right) }$

$\{a_n\}=\{0,1,10,11,100,101,110,111,1000,1001,1010,1011,\cdots\}\qquad(n\ge0)$

それぞれの式の仕組みを考えてみても楽しいかもしれません。

おわりに

今回は、床関数を使わずに床関数のような関数を作ることにチャレンジすることで以前の式を変形してみました。
二進数のような数列をつくる方法は他にもあると思いますので、探してみても面白いと思います。

参考文献

投稿日:2021324

この記事を高評価した人

高評価したユーザはいません

この記事に送られたバッジ

バッジはありません。

投稿者

apu_yokai
apu_yokai
445
54494

コメント

他の人のコメント

コメントはありません。
読み込み中...
読み込み中