自作問題No.21

問題

$n$を正の整数とし、$e$は$e=\displaystyle\lim_{s\to\infty}\left(1+\frac{1}{s}\right)^s$で定義される定数とする。$a_n=\displaystyle\frac{1}{n!}\int_0^1 t^ne^{-t}dt$とおくとき、以下の問に答えよ。

(1)$a_{n+1}$を$a_n$と$n$を用いて表せ。

(2)$e=\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!}$を示せ。

(3)$\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{(n+k)!}<\frac{1}{n!}$を示せ。

$x$を正の実数、$x$を超えない最大の整数を$[x]$とし、$f(x)=[x](x-[x]+1)$とおく。また、関数$f(x)$を$n$回合成した関数を$f_n(x)$とおく。すなわち、$f_1(x)=f(x),f_{n+1}(x)=f(f_n(x))$が成り立つとする。

(4)$[f_n(e)]=n+2$を示せ。