自作問題No.21

問題

$n$を正の整数とし、$e$は$e={\displaystyle \underset{s\to \mathrm{\infty }}{lim}{(1+\frac{1}{s})}^s}$で定義される定数とする。$a_n={\displaystyle \frac{1}{n!}{\int }_0^1{t}^n{e}^{-t}dt}$とおくとき、以下の問に答えよ。

(1)$a_{n+1}$を$a_n$と$n$を用いて表せ。

(2)$e={\displaystyle \sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k!}}$を示せ。

(3)${\displaystyle \sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(n+k)!}<\frac{1}{n!}}$を示せ。

$x$を正の実数、$x$を超えない最大の整数を$[x]$とし、$f(x)=[x](x-[x]+1)$とおく。また、関数$f(x)$を$n$回合成した関数を$f_n(x)$とおく。すなわち、$f_1(x)=f(x),f_{n+1}(x)=f(f_n(x))$が成り立つとする。

(4)$[f_n(e)]=n+2$を示せ。