二次方程式の解の公式の導出
目的
- 解と係数の関係を用いて二次方程式の解の公式を導く
導出
二次方程式$x^2+bx+c=0$の解を$α,β$とおく。$α$は
$$
\BEQ
α&=&α\\
&=&\frac{α+α}2\\
&=&\frac{α+β+α-β}2\\
&=&\frac{α+β+\sqrt{(α-β)^2}}2\\
&=&\frac{α+β+\sqrt{α^2+β^2-2αβ}}2\\
&=&\frac{α+β+\sqrt{(α+β)^2-4αβ}}2\\
&=&\frac{-b+\sqrt{b^2-4c}}2 & \because α+β=-b,αβ=c\\
\EEQ
$$となる。同様に$β$は
$$
\BEQ
β&=&β\\
&=&\frac{β+β}2\\
&=&\frac{α+β-α+β}2\\
&=&\frac{α+β-(α-β)}2\\
&=&\frac{α+β-\sqrt{(α-β)^2}}2\\
&=&\frac{α+β-\sqrt{α^2+β^2-2αβ}}2\\
&=&\frac{α+β-\sqrt{(α+β)^2-4αβ}}2 & \because α+β=-b,αβ=c\\\\
&=&\frac{-b-\sqrt{b^2-4c}}2\\
\EEQ
$$となり、2つの式をまとめると二次方程式の解の公式の$x^2$の係数を$1$としたときの公式
$$
x=\frac{-b±\sqrt{b^2-4c}}2
$$が得られる。
$x^2$の係数が$a≠0$のときは二次方程式の
$$
ax^2+bx+c=0
$$の両辺を$a$で割ると
$$
x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0
$$となり先の二次方程式$x^2+bx+c=0$において$b$を$\frac{b}{a}$、$c$を$\frac{c}{a}$に置き換えた場合に帰着するので
$$
\BEQ
x
&=&\frac{-\frac{b}{a}±\sqrt{\left(\frac{b}{a}\right)^2-4\cdot \frac{c}{a}}}2\\
&=&\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\
\EEQ
$$となり二次方程式の解の公式が得られる。
