二次方程式の解の公式の導出

目的

• 解と係数の関係を用いて二次方程式の解の公式を導く

導出

二次方程式$x^2+bx+c=0$の解を$\alpha ,\beta$とおく。$\alpha$は
$$\begin{array}{rcl}\alpha & =& \alpha \\ & =& \frac{\alpha +\alpha }{2}\\ & =& \frac{\alpha +\beta +\alpha -\beta }{2}\\ & =& \frac{\alpha +\beta +\sqrt{(\alpha -\beta {)}^2}}{2}\\ & =& \frac{\alpha +\beta +\sqrt{{\alpha }^2+{\beta }^2-2\alpha \beta }}{2}\\ & =& \frac{\alpha +\beta +\sqrt{(\alpha +\beta {)}^2-4\alpha \beta }}{2}\\ & =& \frac{-b+\sqrt{b^2-4c}}{2}& \because \alpha +\beta =-b,\alpha \beta =c\end{array}$$となる。同様に$\beta$は
$$\begin{array}{rcl}\beta & =& \beta \\ & =& \frac{\beta +\beta }{2}\\ & =& \frac{\alpha +\beta -\alpha +\beta }{2}\\ & =& \frac{\alpha +\beta -(\alpha -\beta )}{2}\\ & =& \frac{\alpha +\beta -\sqrt{(\alpha -\beta {)}^2}}{2}\\ & =& \frac{\alpha +\beta -\sqrt{{\alpha }^2+{\beta }^2-2\alpha \beta }}{2}\\ & =& \frac{\alpha +\beta -\sqrt{(\alpha +\beta {)}^2-4\alpha \beta }}{2}& \because \alpha +\beta =-b,\alpha \beta =c\\ \\ & =& \frac{-b-\sqrt{b^2-4c}}{2}\end{array}$$となり、2つの式をまとめると二次方程式の解の公式の$x^2$の係数を$1$としたときの公式
$$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4c}}{2}$$が得られる。
$x^2$の係数が$a\ne 0$のときは二次方程式の
$$a{x}^2+bx+c=0$$の両辺を$a$で割ると
$$x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0$$となり先の二次方程式$x^2+bx+c=0$において$b$を$\frac{b}{a}$、$c$を$\frac{c}{a}$に置き換えた場合に帰着するので
$$\begin{array}{rcl}x& =& \frac{-\frac{b}{a}\pm \sqrt{{\left(\frac{b}{a}\right)}^2-4\cdot \frac{c}{a}}}{2}\\ & =& \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\end{array}$$となり二次方程式の解の公式が得られる。