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二次方程式の解の公式の導出

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$$\newcommand{BEQ}[0]{\begin{eqnarray}} \newcommand{C}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{ceil}[1]{\left\lceil#1\right\rceil} \newcommand{div}[0]{\mathrm{div}} \newcommand{division}[0]{÷} \newcommand{EEQ}[0]{\end{eqnarray}} \newcommand{floor}[1]{ \left\lfloor#1\right\rfloor} \newcommand{grad}[0]{\mathrm{grad}\ } \newcommand{hgf}[5]{{}_{#1}F_{#2}\left(\genfrac{}{}{0pt}{}{#3}{#4}\,;\,#5\right)} \newcommand{Iz}[0]{\int_z^{\infty} } \newcommand{IZT}[1]{\mathcal{Z^{-1}}\left[#1\right]} \newcommand{N}[0]{\mathbb{N}} \newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{R}[0]{\mathbb{R}} \newcommand{rot}[0]{\mathrm{rot}\ } \newcommand{SI}[1]{\sum_{#1=1}^{\infty}} \newcommand{SO}[1]{\sum_{#1 = 0}^{\infty}} \newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}} \newcommand{ZT}[1]{\mathcal{Z}\left[#1\right]} $$

目的

  • 解と係数の関係を用いて二次方程式の解の公式を導く

導出

二次方程式$x^2+bx+c=0$の解を$α,β$とおく。$α$
$$ \BEQ α&=&α\\ &=&\frac{α+α}2\\ &=&\frac{α+β+α-β}2\\ &=&\frac{α+β+\sqrt{(α-β)^2}}2\\ &=&\frac{α+β+\sqrt{α^2+β^2-2αβ}}2\\ &=&\frac{α+β+\sqrt{(α+β)^2-4αβ}}2\\ &=&\frac{-b+\sqrt{b^2-4c}}2 & \because α+β=-b,αβ=c\\ \EEQ $$となる。同様に$β$
$$ \BEQ β&=&β\\ &=&\frac{β+β}2\\ &=&\frac{α+β-α+β}2\\ &=&\frac{α+β-(α-β)}2\\ &=&\frac{α+β-\sqrt{(α-β)^2}}2\\ &=&\frac{α+β-\sqrt{α^2+β^2-2αβ}}2\\ &=&\frac{α+β-\sqrt{(α+β)^2-4αβ}}2 & \because α+β=-b,αβ=c\\\\ &=&\frac{-b-\sqrt{b^2-4c}}2\\ \EEQ $$となり、2つの式をまとめると二次方程式の解の公式の$x^2$の係数を$1$としたときの公式
$$ x=\frac{-b±\sqrt{b^2-4c}}2 $$が得られる。
$x^2$の係数が$a≠0$のときは二次方程式の
$$ ax^2+bx+c=0 $$の両辺を$a$で割ると
$$ x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0 $$となり先の二次方程式$x^2+bx+c=0$において$b$$\frac{b}{a}$$c$$\frac{c}{a}$に置き換えた場合に帰着するので
$$ \BEQ x &=&\frac{-\frac{b}{a}±\sqrt{\left(\frac{b}{a}\right)^2-4\cdot \frac{c}{a}}}2\\ &=&\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\ \EEQ $$となり二次方程式の解の公式が得られる。

投稿日:202147

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zeta
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