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APMO2021問2

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今年のAPMOの問2について書いてみます。
なぜ問2にしたのかというと、書いてる人がいなそうだったからです。

多項式$P$と正の整数$n$について,$P_n$$a< b≤n$をみたす正の整数の組$(a,b)$であって$|P(a)|-|P(b)|$$n$で割りきれるようなものの個数とする.任意の$n$について$P_n≤2021$となるような整数係数多項式$P$をすべて求めよ.
https://www.imojp.org/archive/mo2021/apmo2021/problems/apmo33q.jpg

絶対値記号に苦しめられた人も多いのではないでしょうか。

まず、$P$$0$次以下のときは明らかに条件をみたさないので$P$$1$次以上ですね。
絶対値記号があるので$P$$-P$が置き換えられ、$P$の最高次の係数は正であるとできます。
また、$x$が十分大きいときは$P(x)$は常に正となるので$x$が十分大きいときには絶対値記号が外せますね。

ここからは絶対値記号を外して考察します。
小さい次数で実験してみましょう。

$P$$1$次のとき
$P(x)=px+q$とおきます。
$P(a)-P(b)=p(a-b)$となるので、$p≥2$のときには$a-b$$\displaystyle\frac{n}{p}$の倍数($n$はpの倍数です)となるように取ればよく、$P_n$$n$のオーダーで増加して、$a,b$が十分大きいとしていても問題がないことがわかりますね。

これにより、$p=1$の場合のみに絞られました。(これはまた後で考えます。)

$P$$2$次のとき
$P(x)=px^2+qx+r$とおきます。
$P(a)-P(b)=(a-b)(p(a+b)+q)$となります。
$q\neq\pm1$のときは$q$の約数を適当に1つ取って$m$ ($>1$)とします。
$a+b$$m$の倍数、$a-b$$\displaystyle\frac{n}{m}$となるようにします。

これでもいいのですが、記述がめんどくさいという理由で別の構成が思いつきます。

$n=m^2n'$として、$a,b$$m$の倍数、$a-b$$mn'$の倍数となるようにします。

こうすると、$P_n$$n$のオーダーで増やせることがわかりますね。

次に、$q=\pm1$の場合を考えたいところですが、これについては平行移動するだけで$q\neq\pm1$とできるので、結局$q\neq\pm1$の場合に帰着します。

よって、$P$$2$次のときは不適ですね。

$P$$3$次のとき
$P(x)=p_3x^3+p_2x^2+p_1x+p_0$とおきます。
$P(a)-P(b)=(a-b)(p_3(a^2+ab+b^2)+p_2(a+b)+p_1)$となります。
$2$次のときと同じように$p_1≠±1$とできます。
ここで、$2$次のときに「めんどくさいから」ということで考えた構成が役に立ちます。面倒臭がりも悪くないですね。

$4$次以上のときも$2$次のとき同じように示せます。

残されたのは$P(x)=x+c$のときの十分性の確認(ここで絶対値記号を使います!)なんですが、これは下で書きます。

以下、解答です。

$P$$0$次以下のときは$|P(a)|-|P(b)|=0$となるので、$P_n=n(n-1)/2$であり、$n≥65$のときに$P_n≥2080>2021$となり、不適である。
よって、$P$$1$次以上の多項式である。
$P$の最高次の係数が正であるときを考える。
$\lim_{x\to\infty}P(x)=\infty$であるので、ある正の整数cが存在して、$x≥c\Rightarrow P(x)≥0$が成り立つ。
(i)$P$$2$次以上の多項式であるとき
$c_0$$P(x-c_0)$$x$の係数が$±1$とならないような非負整数のうち最小のものとする。(このような$c_0$が存在しないとすると$\displaystyle\frac{d}{dx}P(x)=±1$が無数の解をもつことになり矛盾)
$P(x-c_0)=a_mx^m+a_{m-1}x^{m-1}+...+a_0$とおく。
$c≤a< b$であるとき、
$|P(a)|-|P(b)|=P(a)-P(b)=(a-b)(a_m((a+c_0)^{m-1}+(a+c_0)^{m-2}(b+c_0)+...+(b+c_0)^{m-1})+...+a_1)$
となる。
ここで、$a_1≠±1$であるので、$a_1$の正の約数のうち$1$でないものが存在する。そのようなもののひとつを$k$とおく。
$n=k^2n'$とおき、$a+c_0,b+c_0$$k$の倍数で$b-a=kn'$となるようにする。
このとき、$a-b$$kn'$の倍数で、$(a_m((a+c_0)^{m-1}+(a+c_0)^{m-2}(b+c_0)+...+(b+c_0)^{m-1})+...+a_1)$$k$の倍数であるので、$|P(a)|-|P(b)|$$n$の倍数になる。
また、このような$a,b$の取り方は$\displaystyle\left[\frac{(k-1)n-kc}{k^2}\right]$通り以上存在するので、$n$が十分大きいとき$P_n>2021$となる。よって、$P$$2$次以上であるときは条件をみたす多項式は存在しない。
(ii)$P$$1$次の多項式であるとき
$P(x)=px+q$とおく。
$c≤a< b$のとき、
$|P(a)|-|P(b)|=P(a)-P(b)=p(a-b)$
となるので、$p≥2$のときは$n=pn'$とおいて、$a-b=n'$となるように取ればよく、$P_n≥\left[\frac{(p-1)n-pc}{p}\right]$となり、$n$が十分大きいとき$P_n>2021$となる。
$p=1$のときを考える。
$||P(a)|-|P(b)||<|P(a)-P(b)|=|a-b|< n$であるので、$|P(a)|-|P(b)|$$n$の倍数となるとき、$|P(a)|-|P(b)|=0$である。
$a< b$より、$P(a)=P(b)$とはならないので
$|P(a)|-|P(b)|=0\Leftrightarrow P(a)=-P(b)\Leftrightarrow a+b=-2q$
ここで、$0< a< b$なので、
「任意の$n$について$P_n≤2021$$\Leftrightarrow q≥-2022$ となる。
よって、$P$の最高次の係数が正のときの条件をみたす多項式は$P(x)=x+c(c≥-2022)$である。

$P$の最高次の係数が負のときについては、$P$が問題の条件をみたすことと$-P$がみたすことは同値であるので、条件をみたす多項式は$P(x)=-(x+c)(c≥-2022)$である。

よって、条件をみたす多項式は$P(x)=x+c,-(x+c) (c≥-2022)$である。

投稿日:202148

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