APMO2021問2

今年のAPMOの問2について書いてみます。
なぜ問2にしたのかというと、書いてる人がいなそうだったからです。

絶対値記号に苦しめられた人も多いのではないでしょうか。

まず、$P$が$0$次以下のときは明らかに条件をみたさないので$P$は$1$次以上ですね。
絶対値記号があるので$P$と$-P$が置き換えられ、$P$の最高次の係数は正であるとできます。
また、$x$が十分大きいときは$P(x)$は常に正となるので$x$が十分大きいときには絶対値記号が外せますね。

ここからは絶対値記号を外して考察します。
小さい次数で実験してみましょう。

○$P$が$1$次のとき
$P(x)=px+q$とおきます。
$P(a)-P(b)=p(a-b)$となるので、$p≥2$のときには$a-b$が$\displaystyle\frac{n}{p}$の倍数($n$はpの倍数です)となるように取ればよく、$P_n$は$n$のオーダーで増加して、$a,b$が十分大きいとしていても問題がないことがわかりますね。

これにより、$p=1$の場合のみに絞られました。(これはまた後で考えます。)

○$P$が$2$次のとき
$P(x)=px^2+qx+r$とおきます。
$P(a)-P(b)=(a-b)(p(a+b)+q)$となります。
$q\neq\pm1$のときは$q$の約数を適当に1つ取って$m$ ($>1$)とします。
$a+b$が$m$の倍数、$a-b$が$\displaystyle\frac{n}{m}$となるようにします。

これでもいいのですが、記述がめんどくさいという理由で別の構成が思いつきます。

$n=m^2n'$として、$a,b$が$m$の倍数、$a-b$が$mn'$の倍数となるようにします。

こうすると、$P_n$を$n$のオーダーで増やせることがわかりますね。

次に、$q=\pm1$の場合を考えたいところですが、これについては平行移動するだけで$q\neq\pm1$とできるので、結局$q\neq\pm1$の場合に帰着します。

よって、$P$が$2$次のときは不適ですね。

○$P$が$3$次のとき
$P(x)=p_3x^3+p_2x^2+p_1x+p_0$とおきます。
$P(a)-P(b)=(a-b)(p_3(a^2+ab+b^2)+p_2(a+b)+p_1)$となります。
$2$次のときと同じように$p_1≠±1$とできます。
ここで、$2$次のときに「めんどくさいから」ということで考えた構成が役に立ちます。面倒臭がりも悪くないですね。

$4$次以上のときも$2$次のとき同じように示せます。

残されたのは$P(x)=x+c$のときの十分性の確認(ここで絶対値記号を使います！)なんですが、これは下で書きます。

以下、解答です。