概要
環上の全ての右加群のなす圏をとします。ここで次の自然な疑問があります。
の圏論的な構造のみから環の情報がどれだけ取り出せるか?
一般に2つの環との加群圏が同値になる()とき2つは森田同値と呼ばれるので、上の問いは環の森田同値に対する不変量は何があるかと見なせます。
今回は、次の定理を示すことです。
環の両側イデアルのなす順序集合は森田不変量である、つまり加群圏から圏論的な操作のみで両側イデアルのなす順序集合を復元できる。
これ自体は昔から知られていた結果かも知れませんが、イデアルと部分圏との対応を与えるこの記事の手法はRosenbergという人の仕事としてよく引用されます(参考文献[1]参照)
前提知識
環と両側イデアルの定義を知っていること、アーベル圏を知っていること、順序集合(poset)を知っていること
戦略
具体的にどう取り出すかが問題ですが、一般にアーベル圏からなにか順序集合を取り出すときには、ある条件を満たすアーベル圏の部分圏を考えることがよくあります(包含によってこれは順序集合になります)。なので、戦略は
の両側イデアル全体の集合と、ある条件を満たすの部分圏の集合との間の一対一対応(順序同型)を与える
というものです。
本記事を通して、部分圏は常に充満部分圏で同型で閉じることを仮定する。
閉部分圏
さっそく鍵となる部分圏の定義を与えます。
を無限直積を持つアーベル圏とする。このときの部分圏が閉部分圏(closed subcategory)であるとは、次の条件を満たすときをいう。
- 任意のの短完全列
に対して、がに属するなら、ともに属する。つまりは部分対象と商対象を取る操作で閉じている. - の対象の族が全てなら、その直積もに属する。つまりは(無限)直積を取る操作で閉じている
- 任意のに対して、あるへの全射が存在し、次の性質を満たす:任意のへの任意の射は必ずを経由する、つまり次を可換にするが存在する:
- 最後の条件3は見慣れない方もいるかも知れませんが、これは「包含が左随伴を持つ」ことや、「がの共変有限な部分圏である」こととも言い換えられます。
- 後で、の場合は実は最後の条件3は自動的だということを示します。が主定理の証明を証明するには上の定義を採用したほうが早いです。
さて閉部分圏全体の集合は包含によって自然に順序集合になります。後で使いやすいように名前をつけます。
無限直積を持つアーベル圏に対してで閉部分圏のなす順序集合を表す。
主定理とその証明
さて環の方でも対応する順序集合の名前をつけておきます。
(非可換)環に対して、により、の両側イデアルのなす順序集合を表す。
主定理を軽く述べると、とは順序反同型というものです。そのため対応を与える写像を予め定義しておきます。
環に対して次を定義する。
- の部分圏に対して、というの部分集合を、
で定義する(すなわちに属する全ての加群を消すようなの元) - の両側イデアルに対して、というの部分圏を次で定義する:
(すなわちをかけて消えるような加群全体のなす部分圏)
の両側イデアルについて、自然な関手は忠実充満で、その本質的像が上で書いたになっています。よってとは圏同値です。
さて主定理を述べることができます。
主定理
環に対して、とは写像とを定め、これは互いに逆写像であり順序を逆にする、つまり順序反同型
を与える。
左辺は純環論的な対象ですが、右辺はの圏論的な性質のみにより定まる集合なので、次が分かります。
主定理の
環に対して両側イデアルのなす順序集合を対応させる対応は森田不変量である。すなわちとが圏同値ならばとは順序同型である。
主定理の証明
一つ一つやれば怖くないです。
写像のwell-defined性
まずとがそれぞれちゃんととの間の写像を与えることを示します。
- の部分圏に対してがの両側イデアルなこと:簡単にチェックできるので略
- の両側イデアルに対してがの閉部分圏なこと。まず明らかには同型で閉じる。また直積で閉じることもすぐ確認でき、商と部分加群で閉じるのもすぐ確認できる。最後の条件は、任意の加群に対して、部分加群を考え、自然な全射を考えればそれが欲しい物になっていることがすぐに確認できる。
2つがともに順序を逆にすること
2つが順序集合の間の反順序写像になっている(順序をひっくり返す)ことですが、これも用意に確認できます。
両側イデアルに対してなこと
は定義から明らか。逆を示す。とする。落ち着いて考えると、これは「加群がを満たすならばである」といいかえられる。
ここでという右加群を考えると、である。よって条件からであるが、これは落ち着いて考えるとを意味する。よってが示せた。
閉部分圏に対してであること
多分これが一番非自明です。
は落ち着けば定義から明らかなので、を示せばよい。
まず第一ステップとして、を示す。が閉部分圏なことと、閉部分圏の最後の条件から、のある部分加群(=右イデアル)が存在して、その自然な全射が条件のような普遍性を満たす(つまりであって、かつへの射のなかで普遍的な射になっている)。このとき実はであることを示せばが示される。
実際、であることからなので、落ち着けばが分かる。逆に、の任意の元をとる。任意にを取ったとき、その元をとると、準同型が定まるが、の普遍性から、この射はを経由するはずである:
この可換図式に、左上にを置いて追いかければが分かる。なのでであり、が従う。
さて今のことからが成り立つ。次にを任意に取ると、は加群と見れる(をかけると消えるので)。よって全射が取れる。しかしが直積で閉じるので一般にはに属し、その部分加群であるもが部分加群で閉じるのでに属する。よってはに属する元の商なので、が商で閉じることからもに属する。証明終わり。
イデアルの積は?
には、両側イデアルの積という非自明な二項演算が存在します。これは、主定理の全単射のもとで、閉部分圏側ではどう記述できるでしょうか?
答えは次です。
Gabriel積
アーベル圏の2つの部分圏とに対して、そのGabriel積 を、次のような短完全列
でかつなるようなものが存在するような全体のなす部分圏として定める。
これが両側イデアルの積に対応しています:
主定理の全単射において、イデアルの積は閉部分圏のGabriel積の逆と対応する。すなわち、について、
が成り立つ。
をまず示す。左辺からを取ると、短完全列
ででなるものが取れる。このときを示せばよい。実際、の元をで飛ばすと、なことからとなる。よってとなる。この両辺にをかければ、、よってが従う。
逆に、を示す。がを満たすとする。このとき、というの部分加群を考え、次の短完全列を得る:
このときなのでであり、なのでである。よって上の短完全列からが分かる。
とくにGabriel積は圏論的に定義されているので、イデアルのなす順序集合は「積についても」森田不変なことが従います:
2つの環とがを満たすならば、とのイデアルの間の順序同型で、しかもイデアルの積を保つものが存在する。
以上のイデアル積とGabriel積との対応が、右アルティン環の場合にで考えてうまくいっていることなどをチェックするのは演習問題とします。またこれにより、「の冪等イデアル」と「拡大・部分加群・商加群・無限直積で閉じたの部分圏」が一対一対応するという面白そうなことも言えますね。この後者のものはbilocalizing subcategoryとか呼ばれているっぽいです。
閉部分圏の定義について
この記事での閉部分圏は、証明を簡単にするためにこの定義を採用しましたが、加群圏の場合は実はそれはいらないです:
環の加群圏の部分圏について次は同値。
- はの閉部分圏である。
- は部分加群・商加群・無限直積で閉じる。
1ならば2は定義なので、2の仮定のもと1を示す。任意にを考えたとき、への普遍的な全射を作りたい。
まずの部分加群を次で定義する:
(の対象に射をうったら死ぬ元全体)(いわゆる部分圏に対するのrejectionとか呼ばれます)
このときを示せば、の定義から明らかに自然な全射は閉部分圏の最後の条件の射を与える。以下を示していく。
大雑把にアイデアを述べると、「はちょうどから全てのの対象への可能な射を全部直積した射の核になっている」というものである。が、の対象全体が集合とは限らないので、ちょっとだけ工夫する必要がある。
まずの部分加群全体は集合である。この集合の中で、さらにとなる部分加群全体ももちろん集合である。この集合をと書く。このとき各に対して自然な全射が定まるので、これを直積して次の射がの中で構成できる:
このとき、各はに属するので、のcodomainの右側はの元である(が無限直積で閉じるので)。よって準同型定理からもの元である(が部分加群・同型で閉じるので)。ゆえにを示せばよい。
まずなことは、の元はのどの対象へのどの射でも消えるという定義なので、に飛ばしてもゼロになるので、が従い、そこから分かる。
逆になことをみる。左辺からを取ると、であるが、一方任意にと準同型を考える。このときを示せばが分かる。実際、はを経由するが、ではの部分加群なので、が部分加群と同型で閉じていたことからである。つまりなので、自然な全射は上のを経由する:
なので左上ののところにを置いて図式を追えばが従う。
有限生成加群のなす圏の場合
気になるのは、ではなく有限生成加群のみに制限してでやるとどうなるのか?ということです。実は上の証明から、少なくとも右アルティン環の場合には、同様の全単射がの範疇で作れます。
を右アルティン環とすると、次の2つの間に順序反同型が存在する。
- (の両側イデアルのなす順序集合)
- の部分圏のうち、有限直和、部分加群・商加群で閉じている部分圏のなす順序集合
写像は、イデアルに対してはかけて消える有限生成加群全体のなす部分圏(つまり上の記号で)、逆は部分圏に対してを対応させる。
証明は全く同様です、証明には先程の命題4(集合論に気をつかったやつ)に相当するものが必要ですが、アルティン性を使ってやればちゃんとできます。具体的には、命題4の証明のがに属することが、が実はの有限直和の部分加群になることがアルティン性から分かり、そこからだいたい従います。
詳しくはみんな考えてみてください。
展望
Rosenbergのより有名な結果に、準連接層のなす圏から代数多様体を復元するというものがあり、Rosenbergがこういう非可換環でのことを考えたのはいわゆる非可換代数幾何の視点からっぽいです。このようにアーベル圏のよい部分圏がどれだけあるかという問題は、環上の加群論だけでなく代数幾何的にも面白いらしく、詳しく知りたい人は、スキーム上の準連接層のなす圏上で閉部分圏を含め様々な部分圏の分類を与えた
神田先生の論文(参考文献[2])
(とそこの引用先)を見てみると面白いかもしれません。