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現代数学解説
文献あり

環上の加群圏から両側イデアルのなす順序集合とイデアルの積演算を復元する

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概要

Λ上の全ての右Λ加群のなす圏をModΛとします。ここで次の自然な疑問があります。

ModΛの圏論的な構造のみから環Λの情報がどれだけ取り出せるか?

一般に2つの環Λ1Λ2の加群圏が同値になる(ModΛ1ModΛ2)とき2つは森田同値と呼ばれるので、上の問いは環の森田同値に対する不変量は何があるかと見なせます。

今回は、次の定理を示すことです。

環の両側イデアルのなす順序集合は森田不変量である、つまり加群圏ModΛから圏論的な操作のみで両側イデアルのなす順序集合を復元できる。

これ自体は昔から知られていた結果かも知れませんが、イデアルと部分圏との対応を与えるこの記事の手法はRosenbergという人の仕事としてよく引用されます(参考文献[1]参照)

前提知識

環と両側イデアルの定義を知っていること、アーベル圏を知っていること、順序集合(poset)を知っていること

戦略

具体的にどう取り出すかが問題ですが、一般にアーベル圏からなにか順序集合を取り出すときには、ある条件を満たすアーベル圏の部分圏を考えることがよくあります(包含によってこれは順序集合になります)。なので、戦略は

Λの両側イデアル全体の集合と、ある条件を満たすModΛの部分圏の集合との間の一対一対応(順序同型)を与える

というものです。

本記事を通して、部分圏は常に充満部分圏で同型で閉じることを仮定する。

閉部分圏

さっそく鍵となる部分圏の定義を与えます。

Aを無限直積を持つアーベル圏とする。このときAの部分圏X閉部分圏(closed subcategory)であるとは、次の条件を満たすときをいう。

  1. 任意のAの短完全列
    0LMN0
    に対して、MXに属するなら、LNXに属する。つまりXは部分対象と商対象を取る操作で閉じている.
  2. Aの対象の族{Ma}aAが全てMaXなら、その直積aAMaXに属する。つまりXは(無限)直積を取る操作で閉じている
  3. 任意のMAに対して、あるXMXへの全射πM:MXMが存在し、次の性質を満たす:任意のXXへの任意の射f:MXは必ずπMを経由する、つまり次を可換にするf:XMXが存在する:
    MfπXXMfX
  • 最後の条件3は見慣れない方もいるかも知れませんが、これは「包含XAが左随伴を持つ」ことや、「XAの共変有限な部分圏である」こととも言い換えられます。
  • 後で、ModΛの場合は実は最後の条件3は自動的だということを示します。が主定理の証明を証明するには上の定義を採用したほうが早いです。

さて閉部分圏全体の集合は包含によって自然に順序集合になります。後で使いやすいように名前をつけます。

無限直積を持つアーベル圏Aに対してcl.sub.Aで閉部分圏のなす順序集合を表す。

主定理とその証明

さて環の方でも対応する順序集合の名前をつけておきます。

(非可換)環Λに対して、idealΛにより、Λの両側イデアルのなす順序集合を表す。

主定理を軽く述べると、idealΛcl.sub.(ModΛ)は順序反同型というものです。そのため対応を与える写像を予め定義しておきます。

Λに対して次を定義する。

  1. ModΛの部分圏Xに対して、annXというΛの部分集合を、
    annX:={λΛ|任意のXXに対してXλ=0}
    で定義する(すなわちXに属する全ての加群を消すようなΛの元)
  2. Λの両側イデアルIに対して、ModIΛというModΛの部分圏を次で定義する:
    ModIΛ:={XModΛ|任意のλIに対してXλ=0}
    (すなわちIをかけて消えるような加群全体のなす部分圏)

Λの両側イデアルIについて、自然な関手Mod(Λ/I)ModΛは忠実充満で、その本質的像が上で書いたModIΛになっています。よってMod(Λ/I)ModIΛは圏同値です。

さて主定理を述べることができます。

主定理

Λに対して、Mod()Λannは写像Mod()Λ:idealΛcl.sub.(ModΛ)ann:cl.sub.(ModΛ)idealΛを定め、これは互いに逆写像であり順序を逆にする、つまり順序反同型
Mod()Λ:idealΛcl.sub.(ModΛ):ann
を与える。

左辺は純環論的な対象ですが、右辺はModΛの圏論的な性質のみにより定まる集合なので、次が分かります。

主定理の

Λに対して両側イデアルのなす順序集合idealΛを対応させる対応は森田不変量である。すなわちModΛ1ModΛ2が圏同値ならばidealΛ1idealΛ2は順序同型である。

主定理の証明

一つ一つやれば怖くないです。

写像のwell-defined性

まずannMod()ΛがそれぞれちゃんとidealΛcl.sub.(ModΛ)の間の写像を与えることを示します。

  • ModΛの部分圏Xに対してannXΛの両側イデアルなこと:簡単にチェックできるので略
  • Λの両側イデアルIに対してModIΛModΛの閉部分圏なこと。まず明らかにModIΛは同型で閉じる。また直積で閉じることもすぐ確認でき、商と部分加群で閉じるのもすぐ確認できる。最後の条件は、任意のΛ加群Mに対して、部分加群MIを考え、自然な全射MM/MIを考えればそれが欲しい物になっていることがすぐに確認できる。

2つがともに順序を逆にすること

2つが順序集合の間の反順序写像になっている(順序をひっくり返す)ことですが、これも用意に確認できます。

両側イデアルIに対してann(ModIΛ)=Iなこと

Iann(ModIΛ)は定義から明らか。逆を示す。λann(ModIΛ)とする。落ち着いて考えると、これは「Λ加群XXI=0を満たすならばXλ=0である」といいかえられる。

ここでΛ/Iという右Λ加群を考えると、Λ/IModIΛである。よって条件から(Λ/I)λ=0であるが、これは落ち着いて考えるとλIを意味する。よってann(ModIΛ)Iが示せた。

閉部分圏Xに対してModannXΛ=Xであること

多分これが一番非自明です。

XModannXΛは落ち着けば定義から明らかなので、ModannXΛXを示せばよい。

まず第一ステップとして、Λ/annXXを示す。Xが閉部分圏なことと、閉部分圏の最後の条件から、Λのある部分加群(=右イデアル)Lが存在して、その自然な全射ΛΛ/Lが条件のような普遍性を満たす(つまりΛ/LXであって、かつXへの射のなかで普遍的な射になっている)。このとき実はL=annXであることを示せばΛ/annXXが示される。

実際、Λ/LXであることから(Λ/L)annX=0なので、落ち着けばannXLが分かる。逆に、Lの任意の元λをとる。任意にXXを取ったとき、その元xをとると、準同型x():ΛXが定まるが、ΛΛ/Lの普遍性から、この射はΛ/Lを経由するはずである:
Λx()Λ/LX
この可換図式に、左上にλを置いて追いかければxλ=0が分かる。なのでXλ=0であり、λannXが従う。

さて今のことからΛ/annXXが成り立つ。次にMModannXΛを任意に取ると、MΛ/annX加群と見れる(annXをかけると消えるので)。よって全射(Λ/annX)Mが取れる。しかしXが直積で閉じるので一般に(Λ/annX)Xに属し、その部分加群である(Λ/annX)Xが部分加群で閉じるのでXに属する。よってMXに属する元の商なので、Xが商で閉じることからMXに属する。証明終わり。

イデアルの積は?

idealΛには、両側イデアルの積I1I2という非自明な二項演算が存在します。これは、主定理の全単射のもとで、閉部分圏側ではどう記述できるでしょうか?

答えは次です。

Gabriel積

アーベル圏Aの2つの部分圏XYに対して、そのGabriel積 XYを、次のような短完全列
0XMY0
XXかつYYなるようなものが存在するようなM全体のなす部分圏として定める。

これが両側イデアルの積に対応しています:

主定理の全単射idealΛcl.sub.(ModΛ)において、イデアルの積は閉部分圏のGabriel積の逆と対応する。すなわち、I1,I2idealΛについて、
(ModI2Λ)(ModI1)=ModI1I2Λ
が成り立つ。

(ModI2Λ)(ModI1Λ)ModI1I2Λをまず示す。左辺からMを取ると、短完全列
0LMπN0
LI2=0NI1=0なるものが取れる。このときM(I1I2)=0を示せばよい。実際、MI1の元をπで飛ばすと、NI1=0なことからπ(MI1)=0となる。よってMI1Kerπ=Lとなる。この両辺にI2をかければ、M(I1I2)LI2=0、よってM(I1I2)=0が従う。

逆に、ModI1I2Λ(ModI2Λ)(ModI1Λ)を示す。MModΛM(I1I2)=0を満たすとする。このとき、MI1というMの部分加群を考え、次の短完全列を得る:
0MI1MM/MI10
このとき(MI1)I2=M(I1I2)=0なのでMI1ModI2Λであり、(M/MI1)I1=0なのでM/MI1ModI1Λである。よって上の短完全列からM(ModI2Λ)(ModI1Λ)が分かる。

とくにGabriel積は圏論的に定義されているので、イデアルのなす順序集合は「積についても」森田不変なことが従います:

2つの環Λ1Λ2ModΛ1ModΛ2を満たすならば、Λ1Λ2のイデアルの間の順序同型で、しかもイデアルの積を保つものが存在する。

以上のイデアル積とGabriel積との対応が、右アルティン環の場合にmodΛで考えてうまくいっていることなどをチェックするのは演習問題とします。またこれにより、「Λの冪等イデアル」と「拡大・部分加群・商加群・無限直積で閉じたModΛの部分圏」が一対一対応するという面白そうなことも言えますね。この後者のものはbilocalizing subcategoryとか呼ばれているっぽいです。

閉部分圏の定義について

この記事での閉部分圏は、証明を簡単にするためにこの定義を採用しましたが、加群圏の場合は実はそれはいらないです:

Λの加群圏ModΛの部分圏Xについて次は同値。

  1. XModΛの閉部分圏である。
  2. Xは部分加群・商加群・無限直積で閉じる。

1ならば2は定義なので、2の仮定のもと1を示す。任意にMModΛを考えたとき、Xへの普遍的な全射MXMを作りたい。

まずMの部分加群Rを次で定義する:
R:={mM|任意のXXf:MXに対してf(m)=0}
Xの対象に射をうったら死ぬ元全体)(いわゆる部分圏Xに対するMのrejectionとか呼ばれます)
このときM/RXを示せば、Rの定義から明らかに自然な全射MM/Rは閉部分圏の最後の条件の射を与える。以下M/RXを示していく。

大雑把にアイデアを述べると、「RはちょうどMから全てのXの対象への可能な射を全部直積した射の核になっている」というものである。が、Xの対象全体が集合とは限らないので、ちょっとだけ工夫する必要がある。

まずMの部分加群全体は集合である。この集合の中で、さらにM/LXとなる部分加群L全体ももちろん集合である。この集合をMと書く。このとき各LMに対して自然な全射MM/Lが定まるので、これを直積して次の射がModΛの中で構成できる:
f:MLMM/L

このとき、各M/LXに属するので、fのcodomainの右側はXの元である(Xが無限直積で閉じるので)。よって準同型定理からM/KerfXの元である(Xが部分加群・同型で閉じるので)。ゆえにR=Kerfを示せばよい

まずRKerfなことは、Rの元はXのどの対象へのどの射でも消えるという定義なので、M/LXに飛ばしてもゼロになるので、f(R)=0が従い、そこから分かる。

逆にKerfRなことをみる。左辺からmを取ると、f(m)=0であるが、一方任意にXXと準同型φ:MXを考える。このときφ(m)=0を示せばmRが分かる。実際、φMM/Kerφを経由するが、M/KerφImφImφXの部分加群なので、Xが部分加群と同型で閉じていたことからM/KerφXである。つまりKerφMなので、自然な全射MM/kerφは上のfを経由する:
MφfXM/KerφLMM/L
なので左上のMのところにmを置いて図式を追えばφ(m)=0が従う。

有限生成加群のなす圏の場合

気になるのは、ModΛではなく有限生成加群のみに制限してmodΛでやるとどうなるのか?ということです。実は上の証明から、少なくとも右アルティン環の場合には、同様の全単射がmodΛの範疇で作れます。

Λを右アルティン環とすると、次の2つの間に順序反同型が存在する。

  1. idealΛΛの両側イデアルのなす順序集合)
  2. modΛの部分圏のうち、有限直和、部分加群・商加群で閉じている部分圏のなす順序集合

写像は、イデアルIに対してはIかけて消える有限生成Λ加群全体のなす部分圏(つまり上の記号でModIΛmodΛ)、逆は部分圏Xに対してannXを対応させる。

証明は全く同様です、証明には先程の命題4(集合論に気をつかったやつ)に相当するものが必要ですが、アルティン性を使ってやればちゃんとできます。具体的には、命題4の証明のM/RXに属することが、M/Rが実はX有限直和の部分加群になることがアルティン性から分かり、そこからだいたい従います。

詳しくはみんな考えてみてください。

展望

Rosenbergのより有名な結果に、準連接層のなす圏から代数多様体を復元するというものがあり、Rosenbergがこういう非可換環でのことを考えたのはいわゆる非可換代数幾何の視点からっぽいです。このようにアーベル圏のよい部分圏がどれだけあるかという問題は、環上の加群論だけでなく代数幾何的にも面白いらしく、詳しく知りたい人は、スキーム上の準連接層のなす圏上で閉部分圏を含め様々な部分圏の分類を与えた 神田先生の論文(参考文献[2]) (とそこの引用先)を見てみると面白いかもしれません。

参考文献

[1]
A. L. Rosenberg, Noncommutative algebraic geometry and representations of quantized algebras, Mathematics and its Applications, Kluwer Academic Publishers Group, 1995
[2]
R. Kanda, Classification of categorical subspaces of locally noetherian schemes, Doc. Math., 2015, 1403-1465
投稿日:2021410
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H.E.
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某大ポスドク、詳しくはtwitterまで。自分の分野(環の表現論)でよく使われるfolkloreの解説記事を主に書いています。

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  1. 概要
  2. 戦略
  3. 閉部分圏
  4. 主定理とその証明
  5. 主定理の証明
  6. イデアルの積は?
  7. 閉部分圏の定義について
  8. 有限生成加群のなす圏の場合
  9. 展望
  10. 参考文献