テスト

テスト兼11月1日にtwitterで出した問題の解答

問題

$△ABC$について垂心・外心をそれぞれ$H,O$とすると$HO//AB$であった。このとき$\angle C$の取り得る値の範囲を求めよ。

解答

$△ABC$の形状から3つの場合に分けて考える。

1. $△ABC$が鈍角三角形の場合
   $AB$に対して$H$と$O$は互いに反対側にあるため$HO//AB$とはならない。
2. $△ABC$が直角三角形の場合
   $H$は直角である頂点と一致し、$O$はその対辺の中点であるため$HO//AB$とはならない。
3. $△ABC$が鋭角三角形の場合
   $\angle A>\angle B$とする。$C$から$AB$におろした垂線の足を$P$、$AB$の中点を$M$、$△ABC$の重心を$G$とし、$PA=x,PB=y,PH=z$とする。
   $H,G,O$は同一直線上にあり、$HO//AB$なので$CH=2z$である。また、$HO=PM=\frac{x+y}{2}-x=\frac{y-x}{2}$である。
   $\mathrm{△}HOC$に三平方の定理を用いると、$$O{C}^2=C{H}^2+H{O}^2=(2z{)}^2+{\left(\frac{y-x}{2}\right)}^2$$
   次に、$\mathrm{△}AMO$に三平方の定理を用いると、$$O{A}^2=A{M}^2+M{O}^2={\left(\frac{x+y}{2}\right)}^2+z^2$$
   $O$は$\mathrm{△}ABC$の外心なので$OC=OA$となることに注意すれば、$$(2z{)}^2+{\left(\frac{y-x}{2}\right)}^2={\left(\frac{x+y}{2}\right)}^2+z^2\iff \frac{3z}{x}\times \frac{3z}{y}=3$$
   したがって$\tan A\times \tan B=3$となる。ここで、$C$について
   $$\tan C=-\tan (A+B)=-\frac{tanA+\frac{3}{tanA}}{1-3}=\frac{1}{2}(\tan A+\frac{3}{\tan A})$$
   $△ABC$は鋭角三角形なので$\tan A>0$であるから相加相乗平均の関係を使って$\tan C\ge \sqrt{3}$。よって$60°\le \angle C<90°$