エンタメ解説

電車の遅延を見越して出社することは可能か？

なんでも数式化,実用,全単射

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今日も会社から上司の怒鳴り声が聞こえます。

「お前は何で毎回毎回遅刻するんだ！」

「すみません！電車が遅延していまして――」

「言い訳するな！『電車が遅延してもいいように早く来ればいい』話だろうが！」

果たして、これは本当でしょうか？

検証してみます。

電車遅延を見越して出社することは可能か？

条件を設定します。

時刻は分単位までとする。
電車通勤とする。
終電から始発の間は電車は動かないものとする。

$以下、 24 時間制時刻の表記を分単位で Z_{1440} として扱うものとする$
$例えば、午前 9 : 00 \Rightarrow 540 (分)$
$午後 23 : 59 \Rightarrow 1439 (分)$
$としてもよい$
$(時刻を Z_{1440} で扱ってもよいという証明は後述の補足に記載)$
$S, Z, y, a, X \in Z_{1440} をそれぞれ$
$S : 始発時刻 Z : 出発時刻 y : 通勤時間 a : 電車の遅延時間 X : 出社時刻$
$とし、 0 < y とする$
$遅刻しない条件は$
$Z + y + a \leq X \dots ①$
$電車が動いている時間にしか電車には乗れないので$
$S \leq Z$
$S - Z \leq 0 \dots ②$
$a = X - S + 1 のとき (遅延時間 = 始発から出社時間までの時間 + 1 分のとき)$
$① に代入して$
$Z + y + X - S + 1 \leq X$
$Z + y - S + 1 \leq 0$
$y + 1 \leq S - Z$
$② より$
$y + 1 \leq S - Z \leq 0$
$y \leq S - Z - 1 \leq - 1$
$y > 0 と矛盾$

$よって、必ず遅刻するような電車の遅延時間が存在する。$
$つまり、遅刻しないように出社することは不可能$

補足

$写像 f ： Z_{24} \times Z_{60} \to Z_{1440}$
$(h, m) \mapsto 60 \times h + m$
$f は全単射$
$これは、 h 時 m 分と、 (60 \times h + m) 分が 1 対 1 対応である$
$つまり、同じとみなしてよいということを表す$
$また、同様に$
$写像 g ： Z_{24} \times Z_{60} \times Z_{60} \to Z_{86400}$
$(h, m, s) \mapsto 3600 \times h + 60 \times m + s$
$g は全単射$
$これは、 h 時 m 分 s 秒と、 (3600 \times h + 60 \times m + s) 秒を同じとみなしてよいということを表す$